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1、2022年江西高考文科数学真题及答案B.4一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符甲乙合题目要求的.1.集 合M=2,4,6,8,10,N=H TV X 6 ,则M N=()A.2,4 B.2,4,6 C 2,4,68 D.24,6.8,106 18 5 3 07 5 3 26 4 2 14 25.6.7.8.9.34 612 2 50 2 3 86 6 6 6【答案】A【解析】则下列结论10.中错误1的 是（)【分析】根据集合的交集运算即可解出.【详解】因为M=2,4,6,8,10,N=X|TV K V6 ,所以M N=2,4.故选：A.2.设
2、(l +2i)a+b =2 i,其 中 为 实 数，则()A.a=,b-B.a=,b=C.a=i,b=D.a=A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【解析】【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为卫上=7.4,A选项结论正确.2【详解】因为ab i R，(
3、a+b)+2 ai=2 i,所以。+6=0,=2,解得：a=,b=-.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：故选：A.3.已知向量。=（2,1）石二（一2,4）,则|（）6.3+7.4+7.6+8.14-8.2+8.24-8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1 。16B选项结论正确.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值4 =0.375 0.6,16【详解】因为a 二（2）（2,4）=（4,-3）,所以卜一q二54?+（-3）?=5.故选：DD选项结论正确.故 选:Cx+y.2,工+
4、2为4,则z =2 x-y的最大值是()y.0.4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h）,得如下茎叶图：5.若x,y满足约束条件C.8D.12A.-2【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示,7.执行下边的程序框图，输出的=()/出 /转化目标函数z =2x-y为y =2x-z,上下平移直线y =2 x-z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以2皿=2 4-0=8,故选：C.6.设尸为抛物线C:/=4 x的焦点，点A在C上，点8(3,0),A F=B F,贝“A B|=()A.2 B.272
5、 C.3 D.372【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，尸(1,0),则|A尸|=忸尸|=2,即点A到准线X =T的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1，不妨设点A在X 轴上方，代入得，4(1,2),所以|4用二 J(3-i y+(0_2)2=2 V 2.(结 束)A.3 B.4 C.5【答案】B【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，6=8+2。=1 +2=3,a=b-a =3-=2,n=n+1=2,髀卜根斗卜。：执行第二次循环，=8+幼=3+4=7,a=b-a =
6、l-2 =5,n=n+=3,b+bT总 。1：执行第三次循环，b=b+2 a =7+0=7,。=一。=17 5=12,=+1 =4,D.6故选：B及 172 1 7-2=-7 2=0.01,此时输出 =4.a2 12-144故选：B8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3的大致图像，则该函数是（）【答案】A2XCOSA-y=eTTD.y=2s inxx2+1【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设/（1）=营：，则/。）=0,故排除B;/、2x co s x （兀1 口 八设九（工）=-?+,当J 时，（）8 S X 1,所以人（x）=W 0.故排除D
7、.故 选:A.9.在正方体A B C。-4 4 GA中，E,产分别为A 6,6。的中点，则（）又M u平面A8CO,所以EF上DD因为瓦尸分别为A a BC的中点，所以E F|AC,所以EF上B D,又 B D f W D i =D,所以E尸上平面B U R,又EFu平面片M,所以平面用石尸J.平面故A正确：如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A 4 =2，则 4（2,2,2）,E（2 J O）,/（L N O）,8（2,2,O），A（2,O,2）,A（2,O,O）,C（O,2,O）,C,（0,2,2）,则 E F =（-l,l,0）,E B,=（0,1,2）,O ff=（2,2,0）,
8、D A,=（2,0,2）,A 4,=（0,0.2）,A C =（-2,2,0）,A C,=（-2,2,0）,设平面B E F的法向量为质=（占,乂，4）,=F+J U，可取机=（2,2,-1）,=弘+2马=o同理可得平面4 8D的法向量为平面AAC的法向量为=（i,i,o）,平面AG。的法向量为%=（1,1,-1）,则八=2-2+1 =1二0,所以平面片石尸与平面不垂直，故B错误；U U因为?与出 不平行，所以平面与石户与平面AAC不平行，故c错误；因 为 与 3不平行，所以平面与石尸与平面不平行，故D错误，故选：A.则有m-E Fm-E BXA.平面B.E F 1平面B D D,B.平面B.
9、E F _ L平面 B DC.平面4 E F/平面AAC【答案】A【解析】D.平面平面AC。【分析】证 明 所1.平面8。，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A 8 =2,分别求出平面向尸，A/D,AG。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断B C D.【详解】解：在正方体A 3C O A4 G。中，A C 1 B D W.D D、_ L 平面 ABCD,10.已知等比数列/的前3项和为16 8,/-4=4 2,则 必=(A.14B.12C.6D.3?.D【解析】【分析】设等比数列 q的公比为4应工0,易得9/1,根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详
10、解】解：设等比数列 6的公比为小夕工0,若4=1，则%=0,与题意矛盾,所以4工1，则4 +%+q0,即“X)单调递增：在区间停引上/即 X)单调递减，又 0)=21t)=2,/用=2,/(一传+1)+1=-与,所以/(可 在区间(),2可 上的最小值为一 号，最大值为+2.故选：D12.已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时,其 高 为()AA.1 oR._1 c百.cU.32 3 2【答案】C【解析】【分析】先证明当四枝锥 顶点O到底面A B C D所在小圆距离一定时，底面A 5 C O面积最大值为2J，进而得到四棱锥体积表达式，再利
11、用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形A 8 C D,四边形A 8 C。所在小圆半径为八设四边形A 8 C。对角线夹角为“，(当且仅当四边形A B C D为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点。到底面A 8 C D所在小圆距离一定时，底面A 8 C。面积最大值为2/又/+/=jH.函数x)=c os x+(x+l)s in.E+l在区间 0,2兀 的最小值、最大值分别为()7 t nA.-,一2 2n 3冗 7 CB.-,一2 2 会23兀 兀 D.-，I-22 2当且仅当r2=l h2即h吟时等号成立,【J D【解析】故选：C二
12、、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.记S”为等差数列 4的前项和.若2 s 3=3SZ+6,则公差d=.【答案】2【解析】【分析】转化条件为2(q+Z/)=2 q+d +6,即可得解.【详解】由2 s 3 =3 S 2+6可得2(“+生+。3)=3(4 +4)+6,化简得2 a 3 =4+/+6 ,即2(q+%)=/+d+6,解得d=2.故答案为：2.1 4.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为.3【答案】#0.31 0【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C；=1 03甲、乙都入选的方法数为C；=
13、3,所以甲、乙都入选的概率P二而3故答案为：1 5.过四点(0,0),(4,0),(U),(4,2)中的三点的一个圆的方程为【答案】(x-2+(y-3)2=1 3 或(x-2)2+(y-l=5 或+【解析】z 1 2 1 6 9+(3【分析】设圆的方程为V+y 2 +nr+y +尸=0,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可;【详解】解：依题意设圆的方程为F +y 2 +z)x+a+/=o,若过(0,0),(4,0),(-U),则尸=01 6 +4。+产=0 ,解得l +l-D+E+F =0F =0D=-4,E=-6F =0F=0若过(0,0)，(4,0),(4,2),则、1 6 +40+尸=
14、0 ,解得。二一4,1 6 +4 +4 O+2 E+尸=0E=-2所以圆的方程为r+y 2-4 x-2 y =0,即(x-2)2+(y-l)2 =5：F =0尸=0若过(0,0),(4,2),(-1.1),则 1+-D +E+F=0,解得，1 6 +4 +4 O+2 E+尸=0D=-3 143所以圆的方程为X?+)3 -3工一号y =0 ,即(x-g)=竺.9,r1 6r-l +l-D+E+F =05若过(-覃)，(4,0),(4,2),则1 6 +40+/=0 ,解得1 6 +4 +4。+2石+尸=05E=-2所以圆的方程为V+户事2)，一?=0,即fx 号 +(y-l)2=：5 -5 I
15、5)，2 5故答案为：(x _ 2 1+(y _ 3)2=3或(1 _ 2)2+()，_ 1)2=5或(x g)=蔡 或6 5 -9 卜 _1+&-1)2%1 6.若 x)=lna +，+b 是奇函数，则 4=_ _ _,b=_.【答案】.-1：.M 2.2【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出.【详解】因为函数f(x)=hi卜+占 卜6为奇函数，所以其定义域关于原点对称.所以圆的方程为f +y 2-4 x 6 y =0,R|J(x-2)24-(y-3)2=1 3；由a +!一声0可得，(l-A)(a +l-a r)*O.所 以 工=四=-1,解得：a =-l,即函数的定义域为1-xa2(-
16、oo,-l)u(-l,l)u(l,4 o),再由/(0)=0可得，力=l n 2 .即+-|+I n 2 =I n|-|,在定义域内满足T)=一/(，符合题意.故答案为：一一；I n 2.2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.1 7.记s A B C的内角 A,B,C的对边分别为小 b,c,已知s i n C s i n(A 8)=s i n 8 s i n(C-A).(1)若 A =2B,求 C；(2)证 明:2a2=b2+c2【答窠】(1)v=O(2)证明见解析.【解析】【分析
17、】(1)根据题意可得，s i n C =s i n(C-A),再结合三角形内角和定理即可解出；(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得s i n C(s i n A co s B-co s A s i n 8)=s i n 8(s i n C co s A-co s C s i n A),再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出.【小 问1详解】由 A =2 8，s i n C s i n(A-8)=s i n 5 s i n(C-A)可得，s i n C s i n B =s i n B s i n(C-A),而08 0,而0 (7 兀,0 (7 A=。，D E,B D 1 平面BE D，所以A
18、C _ L平面3 O，由于ACu平面A C ),所以平面B E D _ L平面A C O.【小问2详解】依题意A B =B D =B C =2,Z A C B =6 0,：角形A B C是等边三角形，所以 AC=2,AE=CE=1,3E=X/5,由于A O =C Z),A O _ L C。，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以O E =1.DE2+BE2=BD2 所以 DE 上 BE,由于A C c B E =E,A C B E u平面A B C,所以OE_L平面ABC.由于A O 8 2/X C Q B,所以 NFBA=NFBC,BF=BF由 于/尸8A=/尸8。，所以二fB A二 二 月
19、B C,AB=CB10 1 0 1 0并计算得：=0.038,y；=1.6 1 5 8,=0.2 4 7 4 .i=l i=l i=l样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.05().050.070.070.060.6材积量为0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9所以A F u C F，所 以 所J_4C,由于S.c=g.A CE F，所以当石户最短时，三角形A/C的面积最小值.过七作 瓦 _ L 8 D,垂足为尸，在 R tZBEO 中，-BE DE=-BD E F,解得 EF=曲,FH BF
20、3过产作F H L B E,垂足为，则F H/O E,所以F H JL平面A 3 C,且一=二一，DE BD 43所以F H=,4所以=；.S 八8c”=；*；入2乂6乂 =9.1 9.某地经过多年的环境治理，己将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m?）和材积量（单位：m D，得到如下数据：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关 系 数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横做面积，并得到所有这种树木的根部横截面积
21、总和为186m,已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正 比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.力（王一5）（尤一历附：相关系数，.=-枢 鸣（f2【答案】0.06m2；0.39m3（2）0.97（3）1209m3【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横被面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值.小 问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值了二器 二0.06
22、3 9样本中10棵这种树木的材积量的平均值歹二k=0.3 9据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,平均一棵的材积量为0.39m，小问2详解】1010斗(“可(-为 卒x-1问=0.2 4 7 4-1 0*0.0 6 x 0.3 9 =0 0 1 3 4 =0.0 1 3 4 =7(0.0 3 8 -1 0 x 0.0 62)(1.6 1 5 8 -1 0 x 0.3 92)V 0.0 0 0 1 8 9 6 0.0 1 3 7 7则 r =0.9 7【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可 得 粽 二 竿，解之得
23、丫=1 2 9 m t则该林区这种树木的总材积量估计为1 2 0 9 m 32 0.已知函数 f(x)=ar-(+1)I n x.x(1)当。=0时,求/(x)的最大值;(2)若八x)恰有一个零点，求。的取值范围.【答案】(1)-1(2)(O,-H )【解析】【分析】(I)由导数确定函数的单调性，即可得解；(2)求导得/(#)=(一)!一),按照。4 0、0。1结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小 问1详解】当 =0时，/(x)=-l-l n x,x 0,则/(x)=9_J=m，当人(o,l)时，/v)0,/(大)单调递增；当X (l,中功 时，.盟x)v(),“X)单调递
24、减；所以“力皿=1)=T；【小问2详解】/(x)=a v-(f l +l)l n.r,x 0 ,贝i j/=+!-!=_ 华_1 1,x x X x当a V O时，a v-l 0,所以当x e(O,l)时，/(),.f(x)单调递增：当x e(l,+8)时，/)0,/(X)单调递减：所以J (x)1 1 t B i=f(l)=a-l 0,此时函数无零点，不合题意：当0 1,在(01).田)匕 /.v)0,/(x)单调递增；在(日)上，盟x)0./(x)单调递减：又/(l)=a-l 1 时，:(),/(X)单调递增：在 弓,1)上，第x)0,又+(a +l)l n”，当 趋近正无穷大时，/(5)
25、趋近负无穷，所以/(x)在(0,：)有一个零点，在(：,+8)无零点，所以/(a)有唯一零点，符合题意：综上，”的取值范围为(0,o).【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导致研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.2 1.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、，轴，且过两点.(1)求E的方程;(2)设 过 点 的 直 线 交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点”满足MT=7H 证 明：直线HN过定点62(2+2)8(2+外T iT 组.X.+X,=；-1 3 +42=3二+4nJ偈3A(4+k)4(4+4攵 -2,加3公+4-24
26、 jt且若、+4(*)【答案】(I)工+二=14 3(2)(0,-2)【解析】【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可：(2)设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小 问1详解】解:设 椭 圆E的方程为的+叫2=1,过A(O,-2),呜4n=l则 9，解得，=；，=-.m+n=3 44所以椭圆E的方程为：-+=1.4 3【小问2详解】32A(0,2),8(5,1),所以 A 8:y+2=Q.r,若过点P(l，-2)的直线斜率不存在，直线x=l.代入工+二=1,3 4可得“(1,半)，N(l,-半)，代入A8方程y=|x-2,可得7(6+3,半)，由MT=T
27、H得到”(2 +5,半).求得HN方程:/=(2-半”-2,过点(0,-2).若过点P(1.-2)的直线斜率存在，设h -)，-(A+2)=0,M(X,%),N ,%).k x-y-(k +2)=0联立|x2 v2，得(3攵？+4)x?-6左(2+2)x+34(2+4)=0,+=1联立 2 一，可得丁(学+3,%),“(3乂+6-芭,%).y=-x-2 2I 3可求得此时“N:y-y?=-好&-(x-x2),3y+6 一 耳一 x2将(0,-2),代入整理得2 a +工2)-6(x +必)+X)y2+x?yi-3 yiy2-l2 =0,将(*)代 入,得24%+1 2/+96+48%-24k-
28、4 8-48k+24k2-365 -48=0,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,-2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关：直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.选修I：坐标系与参数方程22.在 直 角 坐 标 系 中，曲线C的参数方程 为 卜=GCS2,，(，为参数)，以坐标原点为极点，*轴正半轴为 y=2sinr极轴建立极坐标系
29、，已知直线/的极坐标方程为0sin(e+?)+?=().(1)写出/的直角坐标方程：(2)若/与C有公共点，求加的取值范围.【答案】(1)y/3x+y+2m=0【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标 互化公式处理即可；（2）联 立/与C的方程，采用换无法处理，根据新设a的取值范用求解m的范闱即可.【小 问1详解】因为/：psin（e+）+，=0,所 以;psine+pcose+7 =0，又因为夕。由6=），,夕05。=%,所以化简为_ L ，+立 工+加=o，2,2整理得/的直角坐标方程：y/3x+y+2m=0【小问2详解】联 立/与C的方程，即将X=GCOS2八y=2sin/代入y+2z
30、 =0中，可得3cos2f+2sin，+2?=0,所以 3（l-2sin20+2sinr+2m=0,化简为-6sin?F +2sin/+3+2/=0，要使l与C有公共点,则2m=6sin2 r 2sinf 3有解,令 sinr=a,则 f（a）=6a2-2 a-3,（-IWaWl）,对称轴为。=!,开口向上，所以 f（a）M=J（T）=6+2-3=5,小 1、1 2 2 19/（a）m in =J（7）=7-7 _3=_T,O O O O19所以-2tn 5619 5，的取值范围为-m .12 2 选 修45：不等式选讲23.已知0,仇c都是正数，且+1=1，证明：（1）abc 0,b0,c 0，则。；0，o-%（），所以”+庐+八废酒.3,3即（欣）昊g,所以a b c w g,当且仅当/=/=%，即a=b=c=Q时取等号【小问2详解】证明：因为。0,。0,0.所以b+c?2/，a+c 2fac a+b2/cib*3 3 3所 以a a _层，b b _户,c工c _ b+c 2bc：2abc a+c 2/ac 21abe a+b 2ab 21abe3 3 3 3 3 3a+c 由+82+c2 _ a2+b2+e2 _ 1b+c a+c a+b 2abc 2&ibc 2.4abc 2abc 2Jabc当且仅当a=/?=c时取等号.