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1、精品资料 欢迎下载 三角函数经典解题方法与考点题型(教师)1最小正周期的确定。例 1 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】首先，T=2是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 cos|x|=cosx）；其次，当且仅当 x=k+2时，y=0（因为|2 cosx|2）,所以若最小正周期为 T0，则 T0=m,mN+，又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以 T0=2。过手练习 1.下列函数中，周期为2的是 （）Asin2xy Bsin 2yx Ccos4xy Dcos 4yx 2.cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则=3.（04 全国）
2、函数|2sin|xy 的最小正周期是（）.4.（1）（04 北京）函数xxxfcossin)(的最小正周期是 .（2）（04 江苏）函数)(1cos22Rxxy的最小正周期为（）.5.(09 年广东文)函数1)4(cos22xy是 ()A 最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为2的奇函数 D.最小正周期为2的偶函数 6.（浙江卷 2）函数的最小正周期是 .2三角最值问题。例 2 已知函数 y=sinx+x2cos1，求函数的最大值与最小值。2(sincos)1yxx精品资料 欢迎下载【解法一】令 sinx=4304sin2cos1,cos22x,则有 y=).4sin
3、(2sin2cos2 因为4304，所以42，所以)4sin(01，所以当43，即 x=2k-2(kZ)时，ymin=0，当4，即 x=2k+2(kZ)时，ymax=2.【解法二】因为 y=sinx+)cos1(sin2cos1222xxx,=2（因为(a+b)22(a2+b2)），且|s inx|1x2cos1，所以 0sinx+x2cos12，所以当x2cos1=sinx，即 x=2k+2(kZ)时,ymax=2，当x2cos1=-s inx，即 x=2k-2(kZ)时,ymin=0。注：三角函数的有界性、|s inx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函
4、数的单调性等是解三角最值的常用手段。过手练习 1.（09 福建）函数()sincosf xxx最小值是=。2.（09 上海）函数22cossin 2yxx的最小值是 .3将函数xxycos3sin的图像向右平移了 n 个单位，所得图像关于 y 轴对称，则 n的最小正值是 A 67 B3 C6 D2 的周期事实上因为所以其次当且仅当时因为所以若最小正周期为则又所以过手练习下列函数中周期为的是的最小正周期为其中则全国函数的最小正周期是北京函数的最小正周期是江苏函数的最小正周期为年广东文函数是最小正周期最值问题例已知函数求函数的最大值与最小值精品资料欢迎下载解法一令则有因为所以所以所以当即时当即时解
5、法二因为因为且所以所以当即时当即时注三角函数的有界性和差化积与积化和差公式均值不等式柯西不等式函数的单调得图像关于轴对称则的最小正值是精品资料欢迎下载若动直线与函数和的图像分别交于两点则的最大值为函数在区间上的最大值是换元法的使用例求的值域解设因为所以又因为所以所以所以因为所以所以所以函数值域为函数单调性精品资料 欢迎下载 4.若动直线xa与函数()sinf xx和()cosg xx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（）A1 B2 C3 D 2 5.函数2()s i n3s i nc o sfxxxx在区间,4 2上的最大值是 ()A.1 B.132 C.32 D.1+3 3换元法的使
6、用。例 4 求xxxxycossin1cossin的值域。【解】设 t=sinx+cosx=).4sin(2cos22sin222xxx 因为,1)4sin(1x 所以.22t 又因为 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx=212t，所以211212ttxy，所以.212212y 因为 t-1，所以121t，所以 y-1.所以函数值域为.212,11,212y 4.函数单调性练习 1.（04天 津）函 数),0()26sin(2xxy为 增 函 数 的 区 间 是 的周期事实上因为所以其次当且仅当时因为所以若最小正周期为则又所以过手练习下列函数中周期为的是的最小正周期为其中则全
7、国函数的最小正周期是北京函数的最小正周期是江苏函数的最小正周期为年广东文函数是最小正周期最值问题例已知函数求函数的最大值与最小值精品资料欢迎下载解法一令则有因为所以所以所以当即时当即时解法二因为因为且所以所以当即时当即时注三角函数的有界性和差化积与积化和差公式均值不等式柯西不等式函数的单调得图像关于轴对称则的最小正值是精品资料欢迎下载若动直线与函数和的图像分别交于两点则的最大值为函数在区间上的最大值是换元法的使用例求的值域解设因为所以又因为所以所以所以因为所以所以所以函数值域为函数单调性精品资料 欢迎下载（）.A.3,0 B.127,12 C.65,3 D.,65 2.函数sinyx的一个单调
8、增区间是 （）A，B3 ，C，D32，3.函数()sin3cos(,0)fxxxx的单调递增区间是 （）A5,6 B5,66 C,03 D,06 4（07 天津卷）设函数()sin()3f xxxR，则()f x （）A在区间2736，上是增函数 B在区间2，上是减函数 C在区间3 4，上是增函数 D在区间536，上是减函数 5.函数22cosyx的一个单调增区间是 ()A(,)4 4 B(0,)2 C3(,)44 D(,)2 6 若函数f(x)同时具有以下两个性质：f(x)是偶函数，对任意实数x，都有f(x4)=f(x4)，则f(x)的解析式可以是 （）Af(x)=cosx Bf(x)=co
9、s(2x2)Cf(x)=sin(4x2)Df(x)=cos6x 5.函数对称性练习 1.（08 安徽）函数sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是 （）的周期事实上因为所以其次当且仅当时因为所以若最小正周期为则又所以过手练习下列函数中周期为的是的最小正周期为其中则全国函数的最小正周期是北京函数的最小正周期是江苏函数的最小正周期为年广东文函数是最小正周期最值问题例已知函数求函数的最大值与最小值精品资料欢迎下载解法一令则有因为所以所以所以当即时当即时解法二因为因为且所以所以当即时当即时注三角函数的有界性和差化积与积化和差公式均值不等式柯西不等式函数的单调得图像关于轴对称则的最小正值是精品资料欢迎下
10、载若动直线与函数和的图像分别交于两点则的最大值为函数在区间上的最大值是换元法的使用例求的值域解设因为所以又因为所以所以所以因为所以所以所以函数值域为函数单调性精品资料 欢迎下载 A6x B12x C6x D12x 2 函数sin 23yx的图象 （）关于点03，对称 关于直线4x 对称 关于点04，对称 关于直线3x 对称 3（09 全国）如果函数3cos(2)yx的图像关于点4(,0)3中心对称，那么的最小值为（）(A)6 (B)4 (C)3 (D)2 6.综合练习 1.（04 年天津）定义在 R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当2,0 x时，xxfsin
11、)(，则)35(f的值为 2(04年广东)函数f(x)22sinsin44fxxx（）（）（）是 （）A周期为的偶函数 B周期为的奇函数 C 周期为 2的偶函数 D.周期为 2的奇函数 3（09四 川）已 知 函 数)(2sin()(Rxxxf，下 面 结 论 错 误 的 是 ()A.函数)(xf的最小正周期为 2 B.函数)(xf在区间0，2上是增函数 C.函数)(xf的图象关于直线x0 对称 D.函数)(xf是奇函数 的周期事实上因为所以其次当且仅当时因为所以若最小正周期为则又所以过手练习下列函数中周期为的是的最小正周期为其中则全国函数的最小正周期是北京函数的最小正周期是江苏函数的最小正周
12、期为年广东文函数是最小正周期最值问题例已知函数求函数的最大值与最小值精品资料欢迎下载解法一令则有因为所以所以所以当即时当即时解法二因为因为且所以所以当即时当即时注三角函数的有界性和差化积与积化和差公式均值不等式柯西不等式函数的单调得图像关于轴对称则的最小正值是精品资料欢迎下载若动直线与函数和的图像分别交于两点则的最大值为函数在区间上的最大值是换元法的使用例求的值域解设因为所以又因为所以所以所以因为所以所以所以函数值域为函数单调性精品资料 欢迎下载 4(07 安徽卷)函数)32sin(3)(xxf的图象为C,如下结论中正确的是 图象C关于直线1211x对称;图象 C关于点)0,32(对称;函数1
13、25,12()(在区间xf)内是增函数;由xy2sin3的图象向右平移3个单位长度可以得到图象 C.5.（08广 东 卷）已 知 函 数2()(1cos 2)sin,f xxx xR，则()f x是 （）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为2的奇函数 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数 6.在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 7若是第三象限角，且cos20，则2是 （）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 8已知函数()2sin()f xx对任意x都有()()
14、66fxfx，则()6f等于 （）A、2 或 0 B、2或 2 C、0 D、2或 0 的周期事实上因为所以其次当且仅当时因为所以若最小正周期为则又所以过手练习下列函数中周期为的是的最小正周期为其中则全国函数的最小正周期是北京函数的最小正周期是江苏函数的最小正周期为年广东文函数是最小正周期最值问题例已知函数求函数的最大值与最小值精品资料欢迎下载解法一令则有因为所以所以所以当即时当即时解法二因为因为且所以所以当即时当即时注三角函数的有界性和差化积与积化和差公式均值不等式柯西不等式函数的单调得图像关于轴对称则的最小正值是精品资料欢迎下载若动直线与函数和的图像分别交于两点则的最大值为函数在区间上的最大
15、值是换元法的使用例求的值域解设因为所以又因为所以所以所以因为所以所以所以函数值域为函数单调性精品资料 欢迎下载 7.解答题练习 1（05 福建文）已知51cossin,02xxx.（）求xxcossin的值；（）求xxxtan1sin22sin2的值.2（06 福建文）已知函数22()sin3sincos2cos,.f xxxxx xR （I）求函数()f x的最小正周期和单调增区间；（II）函数()f x的图象可以由函数sin 2()yx xR的图象经过怎样的变换得到？的周期事实上因为所以其次当且仅当时因为所以若最小正周期为则又所以过手练习下列函数中周期为的是的最小正周期为其中则全国函数的最
16、小正周期是北京函数的最小正周期是江苏函数的最小正周期为年广东文函数是最小正周期最值问题例已知函数求函数的最大值与最小值精品资料欢迎下载解法一令则有因为所以所以所以当即时当即时解法二因为因为且所以所以当即时当即时注三角函数的有界性和差化积与积化和差公式均值不等式柯西不等式函数的单调得图像关于轴对称则的最小正值是精品资料欢迎下载若动直线与函数和的图像分别交于两点则的最大值为函数在区间上的最大值是换元法的使用例求的值域解设因为所以又因为所以所以所以因为所以所以所以函数值域为函数单调性精品资料 欢迎下载 3（2006 年辽宁卷）已知函数22()sin2sincos3cosf xxxxx，xR.求:(I
17、)函数()f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合；(II)函数()f x的单调增区间.的周期事实上因为所以其次当且仅当时因为所以若最小正周期为则又所以过手练习下列函数中周期为的是的最小正周期为其中则全国函数的最小正周期是北京函数的最小正周期是江苏函数的最小正周期为年广东文函数是最小正周期最值问题例已知函数求函数的最大值与最小值精品资料欢迎下载解法一令则有因为所以所以所以当即时当即时解法二因为因为且所以所以当即时当即时注三角函数的有界性和差化积与积化和差公式均值不等式柯西不等式函数的单调得图像关于轴对称则的最小正值是精品资料欢迎下载若动直线与函数和的图像分别交于两点则的最大值为函数在区间上的最大值是换元法的使用例求的值域解设因为所以又因为所以所以所以因为所以所以所以函数值域为函数单调性