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1、学习好资料 欢迎下载 余弦三角函数值及知识点汇总【本讲教育信息】一.教学内容：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 1.3.3 已知三角函数值求角 二.教学目的 1、掌握余弦函数、正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，了解正切函数的渐近线。2、会由已知的三角函数值求角，并了解反正弦、反余弦、反正切的意义，且会用符号 arcsinx、arccosx、arctanx表示角。三.教学重点、难点 重点：1、余弦函数和正切函数的图象及其主要性质；2、已知三角函数值求角。难点：1、利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，利用正切线画出函数的图象，并使直线确实成为此图象的两条渐近线。
2、2、（1）根据0，2 范围确定有已知三角函数值的角；（2）对符号 arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；（3）用符号 arcsinx、arccosx、arctanx表示所求角。四.知识分析 学习好资料 欢迎下载 1、余弦函数的图象变换（1）函数图象的左右变换，即由变换得到的图象。函数的图象，可以看作把的图象上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位而得到的。（2）函数图象的横向伸缩变换，即由变换得到图象。函数（且）的图象，可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。（3）函数图象的纵向伸缩变换，即由变换得到的图象 函
3、数（A0且 A 1）的图象，可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长（当 A1时）或缩短（当 0A1）或缩短（0A0）的最小正周期 T。注意：如果则最小正周期为 T。（3）余弦函数的奇偶性。由图像可以看出余弦曲线关于 y 轴对称，因而是偶函数。也可由诱导公式 cos(x)cosx 知，余弦函数为偶函数。（4）余弦函数的单调性。三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值
4、的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料 欢迎下载 由余弦曲线可以知道：余弦函数 ycosx 在每一个闭区间上，都从1 增大到 1，是增函数，在每一个闭区间上，都从 1 减小到1，是减函数，也不是说，余弦函数的单调区间是及。4、正切函数的性质（1）定义域：x|x R且 x，kz（2）值域：R，函
5、数无最大值、最小值；（3）周期：；（4）奇偶性：是奇函数；（5）单调性：在每一个开区间，kz 内均为增函数，须注意的两个问题：正切函数 ytanx，x（kz）是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调增函数；函数 yAtan()(A0，0)，其定义域由不等式（kz）得到，其周期为。5、正切函数的图象 根据正切函数的定义域和周期，我们取，利用单位圆中的正切线，通过平行移动，作出的图象（如图 1），而后向左、右扩展得到函的图象（如图 2），并把它叫做正切曲线。三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正
6、弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料 欢迎下载 图1 图 2 6、正切函数与正、余弦函数的比较 正切函数，其定义域不是 R，又正切函数与正、余弦函数对应法则不
7、同，因此一些性质与正、余弦函数的性质有了较大的差别，如正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；正、余弦函数是连续函数，反应在图象上是连续无间断点，而正切函数在 R上不连续，它有无数条垂直于 x轴的渐近线，图象被这些渐近线分隔开来；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个区间上都是增函数。它们也存在大量的共性，如均为周期函数，且对而言，是奇函数，它的图像既可以类似地用正切线的几何方法作图，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为（）、（）、（），直线，直线（其中）。作出这三个点和这两条渐近线，便可得到在一个周期上的简图；正弦函数与正切函数同是中心对称图
8、形（注意余弦函数同时也是轴对称图形）。函数的对称中心的坐标是，的值域为 R是显然的。三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩
9、变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料 欢迎下载 还须注意的是，对正、余切函数相关的表示式的一些性质不能由正、余弦函数的结论作一般的推广，须论证后加以应用，例如：的周期是的周期的一半，而与的周期却相同，均为。再如的周期可用最小公倍数法求，而的周期用最小公倍数计算时不一定是最小正周期。7、已知三角函数值求角的有关概念 根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件 sinx a(1a1)的角 x有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件 sinx a(1a1)的角 x，记作 arcsina，即 xarcsina，其
10、中 x，且 asinx。根据余弦函数的图象的性质，为了使符合条件 cosx a(1a1)的角 x有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件 cosx a(1a1)的角 x，记作 arccosa，即 xarccosa，其中 x，且 acosx.。根据正切函数的图象的性质，为了使符合条件 tanx a(a 为任意实数)的角 x有且只有一个，我们选择开区间（）作为基本的范围。在这个开区间内，符合条件 tanx a(a为任意实数)的角 x，记作 arctana，即 xarctana，其中x（），且 atanx。注意：（1）arcsina、arccosa、arctana都表示一
11、个角，它们的正弦值、余弦值、正切值分别都是 a。并且 arcsina、arccosa、arctana（）。（2）arcsina、arccosa中的 a，而 arctana中的 aR。8、已知三角函数值时角的表示 三角函数值与角都在某一范围内变化时，三角函数值与角的对应关系如下表：三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学
12、习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料 欢迎下载 9、已知三角函数值求角应注意的问题（1）已知角 x 的一个三角函数值求 x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定。如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可分为以下几步求解：第一步，确定角 x 的可能是第几象限角。第二步，若函数值为正数，
13、则先求出对应的锐角 x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角 x1。第三步，如果函数值为负数，则根据角 x 可能是第几象限角得出（0，2）内对应的角如果它是第二象限角，那么可表示为x1+；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为或。第四步，如果要求出以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果。（2）arcsinx、arccosx、arctanx这些符号，在解决某些非特殊角的问题（例如立体几何中求两条异面直线的角、直线与平面所成的角、二面角等）时常用，所以应该了解它们的意义，并学会正确使用它们。（3）如果求得的角是特殊角，则最好用弧度来表示。三角函数值求角二教
14、学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料
15、欢迎下载 【典型例题】例 1.画出函数 ycosx，的简图。分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线。解析：按五个关键点列表：x 0 cosx 1 0 1 0 1 cosx 1 0 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：点评：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数的图象来得到的图象？同样的，能否从函数的图象得到函数的图象？例 2.求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）分析：根据基本函数的单调性来求解。解析：（1）求函数的单调递增区间由下式确定：，三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会
16、由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料 欢迎下载 即函数的单调递增区间是。（2）函数 的单调递增区间，由下式确定：，x，即函数的
17、单调递增区间是 点评：求形如的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“”视为一个“整体”；时，所列不等式的方向与的单调区间对应的不等式方向相同或相反。例 3.求下列函数的周期：（1）（2）；（3）。分析：（1）先用诱导公式将转为正值，再用 T；（2）可利用绝对值的意义；（3）可用最小公倍数法。解析：（1）。三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三
18、角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料 欢迎下载（2）因为 y|sinx|的周期是，故 y|sin2x|的周期是。（3）y1cos3x 的周期是 T1，y2sin2x 的周期 T2。因为且 4 与 6 的最小公倍数是 12，所以。点评：周期的求法除应用定义及有关结论外，还可作出函数的图
19、象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法。如（2）题作出图象容易观察得出周期为。例 4.求函数的定义域、周期和单调区间。分析：根据正切函数的定义域、值域、单调性求解。解析：函数的自变量 应满足：即。函数的定义域为 由于 因此函数的周期为。由是增函数。三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的
20、图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料 欢迎下载 即。因此，函数的单调递增区间为 点评：一般地，函数的周期为，常常使用此公式来求周期，此函数周期可直接由得到。例 5.若()，且 tancot，则必有（）A.B.C.+分析：利用诱导公式化为同名的三角函数，再利用单调性进行比较。解析：、。，且在（）上单调递增，【答案】C 点评：比较三角函数值的大小要注意将不同名的三角函
21、数转化为同名的三角函数，再将自变量化在同一单调区间内，利用单调性比较大小。三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变
22、换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料 欢迎下载 例 6.已知 sin ，若满足：（1）（2）；（3）为第三象限角；（4）R。试分别求。分析：根据正弦函数图象的性质及诱导公式求解。解析：（1）因为正弦函数在闭区间上是增函数，所以符合 sin 条件的角只有一个。又因为 sin，sin()，所以。（2）因为 sin 0，所以是第三或第四象限角，由正弦函数的单调性，符合 sin 的角有两个。根据三角式 sin()sin和sin(2)sin()得或。（3）因为是第三象限角，在闭区间内有，所以符合条件sin 的第三象限角的集合是z。（4）由正弦函数的周
23、期性可知：当或(k z)时，sin，即所求的角的集合是 或，kz。点评：对于，|a|1，这个方程的角可以表示成x1+arcsina或 x2+arcsina，kZ。三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的
24、所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到学习好资料 欢迎下载 例 7.已知 tanx 1，若满足：（1）x()；（2）xR，试分别求角x。分析：根据正切函数的图象的性质及诱导公式求解。解析：（1）因为正切函数在()上单调递增，所以在()内满足tanx 1 的角有且只有一个。因为。所以满足条件的角为 x。（2）根据正切函数的周期性知：当（kz）时，tanx 1。所以所求的角 x 的集合为，k z。点评：方程 tanx a，az 的解集为x|x k+arctana，k z
25、。三角函数值求角二教学目的掌握余弦函数正切函数的图象定义域值域单调性奇偶性周期性等性质了解正切函数的渐近线会由已知的三角函数值求角并了解反正弦反余弦反正切的意义且会用符号表示角三教学重点难点重点余弦函数和数的图象并使直线确实成为此图象的两条渐近线根据范围确定有已知三角函数值的角对符号的正确认识用符号表示所求角四知识分析学习好资料欢迎下载余弦函数的图象变换函数图象的左右变换即由象变换得到的图函数左当时或向象函数且的图象可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短当坐标不变而得到的时或伸长当时到原来的倍纵函数图象的纵向伸缩变换即由变换得到的图象函数且的图象可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长当时或缩短当时到