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1、学习必备 欢迎下载 一次函数的图象和性质教案 例 1 已知正比例函数且它的图像通过第二、四象限，求m的值及函数解析式 分析：与 y=kx(k 0)相比较，则 m-2 0 且 m2-2m-14=1 从而建立关于 m的方程又由正比例的性质和已知，有 m-2 0，最后求出 m 解：由此得 m=-3，m=5 又已知它的图象通过第二、四象限 所以 m-2 0 得 m=-3合适 m=5应舍去 函数的解析式为y=-3x 说明：在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念，有时还要根据函数性质，在求正比例函数 y=kx 时一定要使 x 的次数为 1 且 k0，还要根据图象或性质确定 k 为正或负，图象过一、三象限
2、 k 为正，图象过二、四象限 k 为负，y 随x 的增大而增大 k 为正，y 随 x 的增大而减小 k 为负 例 2 已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)求函数解析式且画出图象根据图象回答：(1)当 x=-1 时 y 的值；(2)当 y=2 时 x 的值；(3)图象与 x轴交点 A的坐标，与 y 轴交点 B的坐标；当x为何值时0,0,0yyy；当41x时y的取值范围；当41y时x的取值范围；求AOB的面积；方程0321 x的解。分析：一次函数的图象是一条直线，由两点很容易就得到图象，用待定系数法可以求出解析式，利用图象或解析式可解答许多问题 解：学习必备 欢迎下载 列表：描点连线得图
3、象 (2)当 y=2 时，x=2；(3)A(6，0)、B(0，3)；(4)x 6 时，y0；x=6 时，y=0；x6 时，y0；(6)当-1y4 时，-2x8；说明：从图象上对应点的坐标来求(1)已知 x 值可求 y 的值；(2)已知 y 的值可求 x 的值；(3)已知 x 的变化范围可求 y 的变化范围，反之也可求 分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图
4、象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 的解，函数、方程、不等式三者是紧密联系的 例 3 一次函数 y=-kx-k 的图象大致是 分析：一次函数 y=kx+b，对于 y=kx-k 即 b=-k所以 k 与 b 互为相反数，由定义知 k0 图象不过原点 解：b=-k，k 与-k是互为相反数且k0
5、 (A)中正比例函数图象b=0，不合要求 说明：k0 时一次函数的图象从左至右是向上的即y 的值随 x 值的增大而增大，k0 时相反 b0 时一次函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴上方，b0 时在下方 一般情况下要判断一次函数图象的大致情况就是根据k、b 的正负 例 4 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定 k、b 的情况：分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图
6、象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 分析：看图象自左向右是上升还是下降来决定 k 的正负由图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方还是下方来决定 b 的正负 正比例函数过原点 b=0 解：图(1)中 k0，b=0；图(2)中 k0，b=0；图(3)中 k0，b0；
7、图(4)中 k0，b0 例 5 已知两条直线 y1=2x-3 和 y2=5-x (1)在同一坐标系内作出它们的图象；(2)求出它们的交点 A的坐标；(3)求出这两条直线与 x 轴围成的三角形 ABC的面积 分析：作一次函数的图象，只需描出图象上两个点，过这两点的直线就是，一般情况下两点可选直线与坐标轴的交点 求两直线交点的坐标可从图象上求，但为精确起见常用解方程组的方法求得 解：(1)列表：函数图象：分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质
8、在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 (2)因为 A点同时在两条直线上，所以 A点坐标同时满足这两个函数的解析式，即 A点坐标就是方程组 点，则 C(5，0)说明：求两条直线与 x 轴(y 轴)所围成三角形的
9、面积可用两直线分别与x 轴(y 轴)交点坐标差的绝对值为底边长，用两直线交点的纵坐标的绝对值(横坐标的绝对值)为高即可求得 例 6 k 在为何值时，直线 2k+1=5x+4y 与直线 k=2x+3y 的交点在第四象限 分析：此题中已知两直线的交点在第四象限，实际上就是知道两个一次函数图象交点在第四象限，因此如何求两个一次函数的图象的交点及第四象限点应满足的条件就成了解此题的关键另外因为涉及待定系数 k 的值，所以要先求它们的交点，其中交点的坐标是可以用待定系数来表示，最后再确定第四象限的点的坐标满足的条件 解：已知两个一次函数有交点 分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最
10、后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 解关于 x，y 的二元一次方程组，
11、得 它们交点在第四象限，x0，y0 例 7 已知一次函数的图象交正比例函数图象于 M点，交 x 轴于点 N(-6，0)，又知点 M位于第二象限，其横坐标为-4，若MON 面积为 15，求正比例函数和一次函数的解析式 分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵坐标的值已知条件中给出了MON 的面积，而MON 的面积，因底边 NO可以求到，因此实际上需要把MON 的面积转化为 M点的纵坐标 解：根据题意画示意图，过点 M作 MC ON于 C 点 N的坐标为(-6，0)分析与相比较则且从而建
12、立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下
13、载|ON|=6 MC=5 点 M在第二象限 点 M的纵坐标 y=5 点 M的坐标为(-4，5)一次函数解析式为 y=k1x+b 正比例函数解析式为 y=k2x 直线 y=k1x+b 经过(-6，0)正比例函数 y=k2x 图象经过(-4，5)点，例 8 在直角坐标系中，一次函数在 y 轴上的交点坐标是 B(0，5)，与 x 轴交点 A的横坐标是图象与 y 轴交点到原点距离的 2 倍，点 C的坐标是(6，0)，点 P的坐标是(0，y)，若四边形 ABPC的面积为 S，求 S 关于 y 的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若 PCO=30时，求四边形 ABPC的面积 分析：根据题意画出示意图 分
14、析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例
15、一次学习必备 欢迎下载 因为要求面积 S 与 y 的函数关系式，所以要考虑 ABPC四边形的构成，确定四边形 ABPC，其中三点 A，B，C的坐标已给出，只要考虑 P点的位置即可点 P的位置有两种可能，其一是 P点在 O，B之外，其二在 O，B之间，如果 P点在OB之外，则不满足四边形 ABPC的条件，所以点 P只能在 O，B之间，所以 S=SAOB-SCOP，故只要求出两个三角形面积即可 解：一次函数在 y 轴上交点 B的坐标是(0，5)根据题意：得 A(10，0)OB=5，OA=10 点 C坐标为(6，0)，点 P坐标是(0，y)OC=6，OP=y S=SAOB-SCOP S=25-3y
16、即 S=-3y+25 点 P在 O与 B之间 自变量 y 的取值范围是 0y5 当PCO=30 时，在 RtCOP中 分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求
17、已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 说明：解这类题时先画出示意图，并看图进行分析，示意图的关键是位置关系要正确，要学会数形结合 例 9 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过第一象限的点 P，且与 y 轴的正半轴相交于 这个一次函数的解析式(如图)分析：一次函数的图象过 P、Q两点，求出 P、Q的坐标就可以求出函数的解析式，又因 OP已知也已知 P点坐标可求，再利用POQ面积可求 Q点坐标 解：设点 P的坐标为(x1，y1)，由已知，x10，y10，解得 x1=1(舍去负根)，根据题意，
18、有 整理，得 2b2-3b-2=0，分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下
19、载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 说明：有不少学生不会建立点p的坐标11,yxp，即使建立，也得不出11xytga 错误发生的原因，对直角坐标系及点的坐标没有深刻的认识，对倾斜角的含意 纠正错误的办法，给学生渗透一些解析几何的知识，如直线方程、倾斜角、斜率等有关概念 一次函数在解析几何中叫直线方程，其表达式y=kx+b，k 即为倾角的正切，倾角的正切即为斜率这样，学生能对问题的本质更深入理解 例 10 已知如图1，O是ABC的外接圆，且 BC为直径，O和O内切于点 A，与 AB，AC分别交于点 D，E，AB=8，AC=6，设 BD=x，DE=y 求：(1)y 与 x
20、 间的函数关系式，以及自变量 x 的取值范围；(2)求当O与 BC相切时 y 的值 分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知
21、的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 分析：两圆内切有一条公切线，一个公共的弦切角要建立x、y 的关系，常利用几何性质列出含 x、y 的比例式 (1)过点 A作O和O的公切线 AT，A为切点 BC为O的直径，BAC=Rt AB=8，AC=6，又BAT=DEA=BCA，DE BC，(2)当O与 BC相切于 F时，如图 2，连结 AF，TAF=BFA，即BAT+BAF=BCA+FAC BAT=BCA，分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析
22、式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 BAF=FAC，BF切O于 F，BA为O的割线，BF2=BD BA，说明：有部分学生对两圆内切在本题的
23、情况下，两个圆有同一的切线，同一的弦没有分辨出来，因而没有发现“弦切角等于同弧所对的圆周角”对大圆、小圆均如此，列不出比例式，也有的学生因不会使用圆幂定理而解题失败 错误产生的原因，对两个圆或者两个以上的圆，组合起来建立新的题型，由于创造思维、发散思维没有建立起来“顾了东边顾不了西边”而发生错误，有不少学生对单一圆的问题解决尚感困难，何况两个圆的综合题了 纠正错误的办法，加强圆的内切、圆的外切同类题型的学习在平面几何中，圆最后学习，临近中考，各科都紧张，应该边讲圆边复习，把常见圆的习题归总在一起，突出重点难点 例 11 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O为圆心，1 为半径作圆与x
24、轴交于 A，C两点，与 y 轴交于 B，D两点，点 P在 BD上，CP的延长线交O于 E，且 SAEC3SCOP求 CP所在直线的函数解析式 分析：要求 CP所在直线的函数解析式，只需求出 C、P两点坐标，而 C是(1，0)所以只需求出 P点纵坐标，利用相似三角形可求出 OP的长，要注意 P点还可能在 OD上 分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图
25、象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 解：设P点坐标为(0，y)分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例
26、已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增
27、大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要
28、根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次学习必备 欢迎下载 分析与相比较则且从而建立关于的方程又由正比例的性质和已知有最后求出解由此得又已知它的图象通过第二四象限所以得合适应舍去函数的解析式为说明在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念有时还要根据函数性质在求正增大而增大为正随的增大而减小为负例已知一次函数图象过点和点求函数解析式且画出图象根据图象回答当时的值当时的值图象与轴交点的坐标与轴交点的坐标当为何值时当时的取值范围当时的取值范围求的面积方程的解分析一次解学习必备欢迎下载列表描点连线得图象当时时时时当时说明从图象上对应点的坐标来求已知值可求的值已知的值可求的值已知的变化范围可求的变化范围反之也可求学习必备欢迎下载的解函数方程不等式三者是紧密联系的例一次