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1、2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反 证 法复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论 已知条件 路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？思考？
2、把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明反证法是间接证明的一种基本方法.一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。理论反证法的证明过程：否定结论推出矛盾肯定结论，即分三个步骤：反设归谬存真反设假设命题的结论不成立；存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件否定结论导 致逻辑矛盾反设 不成立结论成立例1：已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。
3、证明：假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2是奇数，与已知矛盾。假设不成立，所以a是偶数。注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例题例2：不可能成等差数列注：否定型命题(命题的结论是“不可能”，“不能表示为”，“不是”，“不存在”，“不等于”，“不具有某种性质”等)常用反证法解题反思：证明本题时，你是怎么想到反证法的？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？练习：例3 已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：由于a 0，因此方程至少有一个根x=
4、b/a，注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法 如果方程不只一个根，不妨设x1,x2（x1 x2)是方程的两个根.常用的互为否定的表述方式：至少有一个至少有三个至少有n个最多有一个一个也没有至多有两个至多有(n-1)个至少有两个1 13 3n n11原词语 否定词 原词语 否定词 等于任意的是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x,成立对任何x，不成立准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，不成立存在某x
5、,成立不等于某个归纳总结：三个步骤：反设归谬存真归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”（3）唯一性命题（2）否定性命题（4）至多，至少型命题唐吉诃德悖论 小说唐吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办
6、。如果回答错了，他就要被绞死。一天，有个旅游者回答 旅游者：我来这里是要被绞死。这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。趣味数学推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法知识结构例1用反证法证明：如果ab0，那么注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。补充例题 练习 求证：是无理数。