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1、2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明2.2.2 反反 证证 法法1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用通常用分析法分析法寻求思路，再由寻求思路，再由综合法综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 一、复习回顾一、复习回顾二、引入思考？二、引入思考？A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎
2、，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是在撒谎，为必定是在撒谎，为什么？什么？分析分析:假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则C C真真.那么那么A A假且假且B B假假;由由A A假假,知知B B真真.这与这与B B假矛盾假矛盾.那么假设那么假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.（1 1）如果有）如果有5 5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3 3只鸽子在只鸽子在 同一只鸽笼，对吗？同一只鸽笼，对吗？（2 2）将）将9 9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少个球分别染成红色或白色，无
3、论怎样染，至少 有有5 5个球是同色的，你能证明这个结论吗？个球是同色的，你能证明这个结论吗？二、引入思考？二、引入思考？正难则反正难则反!假设有某种染法使同色的球数都不超过假设有某种染法使同色的球数都不超过4 4个，则个，则球的总数不超过球的总数不超过4+4=84+4=8，这与球的总数是，这与球的总数是9 9矛盾。矛盾。因此，假设不成立，因此，假设不成立，无论怎样染，至少有无论怎样染，至少有5 5个球是同色的个球是同色的我们可以把这种说理方法应用到数学问题上我们可以把这种说理方法应用到数学问题上 把这种不是直接从原命题的条件逐步推把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为得命
4、题成立的证明方法称为间接证明间接证明注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法 一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，立，这种证明方法叫做这种证明方法叫做反证法。反证法。三、基本概念三、基本概念反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反反证法的证明步骤：反证法的证明步骤：假设假设假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；假设命题的结论不成立，
5、即假设命题结论的否定成立；下结论下结论由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的 结论成立。结论成立。找矛盾找矛盾从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛矛 盾盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛 盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛 盾等等），盾等等），从而否定假设；从而否定假设；简单记为：简单记为：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）（
6、其中推出矛盾是反证法证明的关键。）反证法是制造矛盾的专家。反证法是制造矛盾的专家。例例1.1.求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60注：注：结论中含结论中含“至多、至少至多、至少”形式出现；形式出现；直接证明难以下直接证明难以下手的命题手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。，改变其思维方向，从进行反面思考。四、例题选讲四、例题选讲分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手证明：假设三角开有三个内角证明：假设三角开有三个内角A、B、C都小于都小于60 则有则有A+B+C 180，这与三角形内角和等于这与三角形内角和等于180相矛盾。相矛盾。
7、所以假设不成立，所以假设不成立，所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不小于小于60例例2 2.已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一个根。有且只有一个根。证：由于证：由于a 0a 0，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根x=b/ax=b/a，注注:结论中的有且只有结论中的有且只有(有且仅有有且仅有)形式出现形式出现,是是唯一性问题唯一性问题,常用反证法常用反证法 如果方程不只一个根，不妨设如果方程不只一个根，不妨设x x1 1,x,x2 2 （x x1 1 x x2 2)是是方程的两个根方程的两个
8、根.四、例题选讲四、例题选讲（1）直接证明有困难的一些命题（如有些基本定理的）直接证明有困难的一些命题（如有些基本定理的 证明如平行线的传递性的证明）证明如平行线的传递性的证明）即正难则反即正难则反!小结：小结：1 1、哪些命题适宜用反证法加以证明？、哪些命题适宜用反证法加以证明？（3）以）以否定性判断作为结论的命题否定性判断作为结论的命题（2）关于）关于唯一性结论的命题唯一性结论的命题 （即结论中有（即结论中有有且只有，有且仅有有且只有，有且仅有等关键字眼）等关键字眼）（4）以至多，至少，不多于等形式陈述的命题）以至多，至少，不多于等形式陈述的命题（5 5）一些不等量命题的证明）一些不等量命
9、题的证明2.2.常用的正面叙述词语及其否定：常用的正面叙述词语及其否定：正面正面词语词语等于等于大于大于（）小于小于()是是都是都是都不都不是是否定否定正面正面词语词语至多有至多有一个一个至少有至少有一个一个任意的任意的所有的所有的至多有至多有n个个任意任意两个两个否定否定不等于不等于不大于不大于（小于或（小于或等于等于)（）不小于不小于（大于或（大于或等于）等于）（）不是不是不都是不都是至少有至少有两个两个一个也一个也没有没有某个某个某些某些至少有至少有n1个个某两个某两个至少有至少有一个是一个是五五.课堂练习：课堂练习：1、求证：、求证：不可能成等差数列不可能成等差数列 证明：假设证明：假
10、设 成等差数列成等差数列,则有则有 ,这显然不成立这显然不成立所以假设不成立，所以假设不成立，不可能成等差数列不可能成等差数列2、证明：在、证明：在ABC中，若中，若C是直角，则是直角，则B一定是一定是 锐角。锐角。证明：假设证明：假设B不是锐角，则不是锐角，则B 90，又因为又因为A0，C=90所以所以A+B+C 180，这与三角形内角和等于这与三角形内角和等于180相矛盾。相矛盾。所以假设不成立，所以假设不成立，B一定是锐角。一定是锐角。五五.课堂练习：课堂练习：六六.课堂小结课堂小结与已知条件矛盾；与已知条件矛盾；与假设矛盾。与假设矛盾。与已有公理、定理、定义矛盾。与已有公理、定理、定义矛盾。1 1、基本概念：、基本概念：间接证明；间接证明；反证法反证法2 2、反证法的证明步骤：、反证法的证明步骤：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，（1）直接证明有困难）直接证明有困难（3）否定性命题）否定性命题（2）唯一性命题）唯一性命题（4）至多，至少型命题）至多，至少型命题3 3、常见适用反证法的命题：常见适用反证法的命题：