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1、2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明2.2.2 复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法通常用分析法寻求思路寻求思路，再由综合法，再由综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 （1 1）如果有）如果有5 5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3 3只只 鸽子在同一只鸽笼，对吗
2、？鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2 2）A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C 说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C在撒谎吗？为什么？在撒谎吗？为什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则A A、B B都撒谎都撒谎. . 由由A A撒谎撒谎, , 知知B B没有没有撒谎撒谎. . 那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立, ,则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾. .思考？思考？ 把这种不是直接从原命题的条件逐步把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法
3、称为推得命题成立的证明方法称为间接证明间接证明注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法， 同一法同一法也是一种间接证法也是一种间接证法. . 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立）， 经过正确的推理，经过正确的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的这样的证明方法叫做证明方法叫做反证法反证法。理论理论反证法的证明过程：反证法的证明过程：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反
4、设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出得出矛盾矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件肯定条件否定结论否定结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立例例1 1：已知：一个整数的平方能被已知：一个整数的平方能被2 2整除，整除， 求证：这个数是偶数。求证：这个数是偶数。证明：假设证明：假设a a不是偶数
5、，不是偶数， 则则a a是奇数，不妨设是奇数，不妨设a=2n+1(na=2n+1(n是整数是整数) ) a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)+1 a a2 2是奇数，与已知矛盾。是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以假设不成立，所以a a是偶数。是偶数。注：注：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例题例题例例2 2： 不可能成等差数列不可能成等差数列5,3,2注：注：否定型命题否定型命题(
6、(命题的结论是命题的结论是“不可能不可能”，“不能表示为不能表示为”，“不是不是”，“不存不存在在” ” ，“不等于不等于”，“不具有某种性质不具有某种性质”等等) ) 常用反证法常用反证法解题反思：解题反思：证明本题时，你是怎么想到反证法的？证明本题时，你是怎么想到反证法的？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？练习：练习：ABCCB证明：在中，若是直角，则一定是锐角。例例3 3 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一个根。一个根。1212则ax = b，ax = b则ax = b，a
7、x = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 0 a a 0 012120,即 x -xx = xx -xx = x12与与xx 矛xx 矛盾盾故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。证：由于证：由于a 0a 0，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根x=b/ax=b/a，注注:结论中的有且只有结论中的有且只有(有且仅有有且仅有)形式出现形式出现, 是是唯一性问题唯一性问题,常用反证法常用反证法 如果方程不只一个根，不妨设如果方程不只一个根，不妨设x x1 1,
8、x,x2 2 （x x1 1 x x2 2 ) )是是方程的两个根方程的两个根. .例例4 4：已知已知x0,y0 x0,y0，x+yx+y22，求证：求证： 中至少有一个小于中至少有一个小于2 2。xyyx1,1分析：分析：所谓至少有一个所谓至少有一个,就是不可能没有就是不可能没有,要证要证“至少有一个至少有一个”只要证明它的反面只要证明它的反面“两个都两个都”不不成立即可成立即可.注注:“至少至少”、“至多至多” 型命题型命题常用反证法常用反证法 归纳总结：归纳总结：三个步骤：三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有
9、公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立）， 经过正确的推理，经过正确的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的这样的证明方法叫做证明方法叫做反证法反证法。（1）直接证明有困难）直接证明有困难正难则反正难则反!归纳总结：归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一反
10、证法是数学家最精当的武器之一” ” （3）唯一性命题）唯一性命题（2）否定性命题）否定性命题（4）至多，至少型命题）至多，至少型命题唐吉诃德悖论 小说唐吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 一天，有个旅游者回答 旅游者：我来这里是要被绞死。 这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算
11、了，让这个人自由吧。趣味趣味数学数学推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明间接证明间接证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法知识结构知识结构例例1 1用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b证：假设 a b不成立，则 a b证：假设 a b不成立，则 a b若 a =b，则a = b,若 a =b，则a = b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。
12、注：注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。补充补充例题例题 练习练习 求证：求证： 是无理数。是无理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）22222222从而有4k = 2n ，即n = 2k从而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。