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1、20132013 湖南考研数学三真题及答案湖南考研数学三真题及答案一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分、当当0 x时，用时，用)(xo表示比表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A A）)()(32xoxox（B B）)()()(32xoxoxo（C C）)()()(222xoxoxo（D D）)()()(22xoxoxo【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当0 x时)()(),()(2332xoxxgxoxxxf，但)()()(xoxgxf而不是)(2xo故应该选（D）2 2函数函数x
2、xxxxfxln)1(1)(的可去间断点的个数为（的可去间断点的个数为（）（A A）0 0（B B）1 1（C C）2 2（D D）3 3【详解】当0lnxx时，xxexxxxln11ln，1lnlnlimln)1(1lim)(lim000 xxxxxxxxxfxxxx，所以0 x是函数)(xf的可去间断点21ln2lnlimln)1(1lim)(lim011xxxxxxxxxfxxxx，所以1x是函数)(xf的可去间断点xxxxxxxxxfxxxxln)1(lnlimln)1(1lim)(lim111，所以所以1x不是函数)(xf的可去间断点故应该选（C）设设kD是圆域是圆域1|),(22y
3、xyxD的第的第k象限的部分象限的部分，记记kDkdxdyxyI)(，则则（）（A A）01I（B B）02I（C C）03I（D D）04I【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知22122110222)1(|cossin31)sin(sin31)cos(sin)(kkkkkkDkddrrddxdyxyIk所以32,32,04231IIII，应该选（B）设设 na为正项数列，则下列选择项正确的是（为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A A）若）若1nnaa，则，则11)1(nnna收敛；收敛；（B B）若）若11)1(nnna收敛，则收敛，则1nnaa；（C C）若）若1nna收敛则存在常数
4、收敛则存在常数1P，使，使npnanlim存在；存在；（D D）若存在常数）若存在常数1P，使，使npnanlim存在，则存在，则1nna收敛收敛【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（）此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件0limnna，显然错误 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B）也不正确，反例自己去构造设，均为设，均为n阶矩阵，若，且可逆，则阶矩阵，若，且可逆，则（A A）矩阵）矩阵 C C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 A A 的行向量组等价的行向量组等价（B B）矩阵）矩阵 C C
5、 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 A A 的列向量组等价的列向量组等价（C C）矩阵）矩阵 C C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 B B 的行向量组等价的行向量组等价（D D）矩阵）矩阵 C C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 B B 的列向量组等价的列向量组等价【详解】把矩阵 A，C 列分块如下：nnCA,2121，由于，则可知),2,1(2211nibbbniniii，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示同时由于 B 可逆，即1 CBA，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价应该选（B）6
6、6矩阵矩阵1111aabaa与矩阵与矩阵00000002b相似的充分必要条件是相似的充分必要条件是（A A）2,0ba（B B）0a，b为任意常数为任意常数（C C）0,2ba（D D）2a，b为任意常数为任意常数【详解】注意矩阵00000002b是对角矩阵，所以矩阵 A=1111aabaa与矩阵00000002b相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等)22)2(111122abbaabaaAE从而可知bab2222，即0a，b为任意常数，故选择（B）7 7 设 设321,XXX是 随 机 变 量，且是 随 机 变 量，且)3,5(),2,0(),1,0(23221NXNXNX，22ii
7、XPP，则，则（A A）321PPP（B B）312PPP（C C）123PPP（D D）231PPP【详解】若),(2NX，则)1,0(NX1)2(21P，1)1(212122222XPXPP，)13737)1(3523535222333XPXPP，23PP0)1(32)1(3371故选择（A）8 8设随机变量设随机变量 X X 和和 Y Y 相互独立，且相互独立，且 X X 和和 Y Y 的概率分布分别为的概率分布分别为X X0 01 12 23P3PP P1/21/21/41/41/81/81/81/8Y Y-1-10 01 1P P1/31/31/31/31/31/3则则2YXP（）（
8、A A）121（B B）81（C C）61（D D）21【详解】612412411211,30,21,12YXPYXPYXPYXP，故选择（C）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 9设曲线设曲线)(xfy 和和xxy2在点在点0,1处有切线，则处有切线，则2limnnnfn【详解】由条件可知 1)1(,01ff所以2)1(22222)1(221lim2limfnnnfnfnnnfnn1010设函数设函数yxzz,是由方程是由方程xyyzx确定，则确定，则)2,1(|xz【详解】设xyyzzyxFx)(,，则1)(),(,)ln()(,xzxx
9、yzxzyxFyyzyzzyxF，当2,1yx时，0z，所以2ln22|)2,1(xz1111xdxx12)1(ln【详解】2ln|1ln)1(1|1ln11ln)1(ln111112xxdxxxxxxxdxdxx1212微分方程微分方程041 yyy的通解为的通解为【详解】方程的特征方程为041r，两个特征根分别为2121，所以方程通解为221)(xexCCy，其中21,CC为任意常数1313设设 ijaA 是三阶非零矩阵，是三阶非零矩阵，A为其行列式，为其行列式，ijA为元素为元素ija的代数余子式，且满足的代数余子式，且满足)3,2,1,(0jiaAijij，则，则A=【详解】由条件)3
10、,2,1,(0jiaAijij可知0*TAA，其中*A为 A 的伴随矩阵，从而可知AAAAT13*，所以A可能为1或 0但由结论1)(,01)(,1)(,)(*nArnArnArnAr可知，0*TAA可知*)()(ArAr,伴随矩阵的秩只能为 3，所以.1A1414设随机变量设随机变量 X X 服从标准正分布服从标准正分布)1,0(NX，则，则XXeE2【详解】XXeE2dxexedxexdxexexxxx2)2(222)2(22222)22(222122222222)(2222eeXEedtedtteett所以为22e三、解答题1515（本题满分（本题满分 1010 分）分）当当0 x时，时
11、，xxx3cos2coscos1与与nax是等价无穷小，求常数是等价无穷小，求常数na,【分析】主要是考查【分析】主要是考查0 x时常见函数的马克劳林展开式时常见函数的马克劳林展开式【详解】当0 x时，)(211cos22xoxx，)(21)()2(2112cos2222xoxxoxx，)(291)()3(2113cos2222xoxxoxx，所以)(7)(291)(21)(211(13cos2coscos122222222xoxxoxxoxxoxxxx，由于xxx3cos2coscos1与nax是等价无穷小，所以2,7na1616（本题满分（本题满分 1010 分）分）设设 D D 是由曲线
12、是由曲线3xy，直线直线ax)0(a及及x轴所转成的平面图形轴所转成的平面图形，yxVV,分别是分别是 D D 绕绕x轴和轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若轴旋转一周所形成的立体的体积，若yxVV 10，求，求a的值的值【详解】由微元法可知350320253adxxdxyVaax；370340762)(2adxxdxxxfVaay；由条件yxVV 10，知77a1717（本题满分（本题满分 1010 分）分）设平面区域设平面区域 D D 是由曲线是由曲线8,3,3yxxyyx所围成，求所围成，求Ddxdyx2【详解】3416836223320222221xxxxDDDdydxxdydxxd
13、xdyxdxdyxdxdyx1818（本题满分（本题满分 1010 分）分）设生产某产品的固定成本为设生产某产品的固定成本为 60006000 元元，可变成本为可变成本为 2020 元元/件件，价格函数为价格函数为,100060QP（P P是单价，单位：元，是单价，单位：元，Q Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1 1）该的边际利润）该的边际利润（2 2）当）当 P=50P=50 时的边际利润，并解释其经济意义时的边际利润，并解释其经济意义（3 3）使得利润最大的定价）使得利润最大的定价 P P【详解】（1）设利润为y，则6000100040)2
14、06000(2QQQPQy，边际利润为.50040Qy（2）当 P=50 时，Q=10000，边际利润为 20经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加 20（3）令0y，得.40100002000060,20000PQ1919（本题满分（本题满分 1010 分）分）设函数设函数 xf在在),0 上可导，上可导，00 f，且，且2)(limxfx，证明，证明（1 1）存在）存在0a，使得，使得;1af（2 2）对（）对（1 1）中的）中的a，存在，存在),0(a，使得，使得af1)(【详解】证明（1）由于2)(limxfx，所以存在0X，当Xx 时，有25)(23xf，又由于 xf
15、在),0 上连续，且 00 f，由介值定理，存在0a，使得;1af（2）函数 xf在,0a上可导，由拉格朗日中值定理，存在),0(a，使得aafaff1)0()()(2020（本题满分（本题满分 1111 分）分）设设bBaA110,011，问当问当ba,为何值时为何值时，存在矩阵存在矩阵 C C，使得使得BCAAC，并求出并求出所有矩阵所有矩阵 C C【详解】显然由BCAAC可知，如果 C 存在，则必须是 2 阶的方阵设4321xxxxC，则BCAAC变形为baxxxxxaxxaxaxx1103243142132，即得到线性方程组baxxxxxaxxaxaxx3243142132110，要使
16、 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下baabaaaabA000010000001011101010111011010010|，所以，当0,1ba时，线性方程组有解，即存在矩阵 C，使得BCAAC此时，00000000000011011101|bA，所以方程组的通解为100101110001214321CCxxxxx，也就是满足BCAAC的矩阵C 为211211CCCCCC，其中21,CC为任意常数2121（本题满分（本题满分 1111 分）分）设二次型设二次型23322112332211321)()(2),(xbxbxbxaxaxaxxxf记记321321
17、,bbbaaa（1 1）证明二次型）证明二次型f对应的矩阵为对应的矩阵为TT2；（2 2）若）若,正交且为单位向量，证明正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为22212yy【详解】证明：（1）321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,2,2)()(2),(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxbbbbbbxxxxxxaaaaaaxxxxbxbxbxaxaxaxxxfTTTT所以二次型f对应的矩阵为TT2证明（2）设ATT2，由于0,1T则2222TTTA，所以为矩阵对应特征值21的
18、特征向量；222TTTA，所以为矩阵对应特征值12的特征向量；而矩阵 A 的秩2)()2()2()(TTTTrrrAr，所以03也是矩阵的一个特征值故f在正交变换下的标准形为22212yy 2222（本题满分（本题满分 1111 分）分）设设YX,是二维随机变量，是二维随机变量，X X 的边缘概率密度为的边缘概率密度为其他,010,3)(2xxxfX，在给定，在给定)10(xxX的条件下，的条件下，Y Y 的条件概率密度为的条件概率密度为其他,0,0,3)/(32xyxyxyfXY（1 1）求）求YX,的联合概率密度的联合概率密度yxf,；（2 2）Y Y 的的边缘概率密度的的边缘概率密度)(
19、yfY【详解】（1）YX,的联合概率密度yxf,：其他,00,10,9)()/(,2xyxxyxfxyfyxfXXY（2）Y 的的边缘概率密度)(yfY：其他,010,ln99),()(212yyydxxydxyxfyfyY2323（本题满分（本题满分 1111 分）分）设总体设总体 X X 的概率密度为的概率密度为其他,00,);(32xexxfx，其中，其中为为未知参数且大于零，为为未知参数且大于零，nXXX,21为来自总体为来自总体 X X 的简单随机样本的简单随机样本（1 1）求）求的矩估计量；的矩估计量；（2 2）求）求的极大似然估计量的极大似然估计量【详解】（1）先求出总体的数学期望 E（X）022)()(dxexdxxxfXEx，令nniXnXXE11)(，得的矩估计量niiXnX11（2）当),2,1(0nixi时，似然函数为niiixniinnixiexexL11312132)(，取对数，niiniixxnL11ln31ln2)(ln，令0)(lndLd，得0121niixn，解得的极大似然估计量为niiXn112