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1、120102010 湖南考研数学三真题及答案湖南考研数学三真题及答案一、选择题：一、选择题：1 18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若011lim()1xxa exx，则a等于（）（）（）（）(2)设1y,2y是一阶线性非齐次微分方程 yp x yq x的两个特解.若常数,使12yy是该方程的解,12 yy是对应的齐次方程的解,则（A）11,22(B)11,22 (C)
2、21,33(D)22,33（3）设函数(),()f x g x具有二阶导数，且()0gx。若0()g xa是()g x的极值，则 f g x在0 x取极大值的一个充分条件是(A)0fa(B)0fa(C)0fa(D)0fa（4）设 1010ln,xf xxg xxh xe，则当x充分大时有(A)g xh xf x.(B)h xg xf x.(C)f xg xh x.(D)g xf xh x.(5)设向量组12:,rI可由向量组12II:,s线性表示,则列命题正确的是(A)若向量组I线性无关,则rs(B)若向量组I线性相关,则rs(C)若向量组II线性无关,则rs(D)若向量组II线性相关,则rs
3、(6)设A为 4 阶对称矩阵,且20AA若A的秩为 3,则A相似于(A)1110(B)1110(C)1110(D)11102(7)设随机变量X的分布函数0,01(),0121,1xxF xxex，则1P X(A)0(B)1(C)112e(D)11 e(8)设1()f x为标准正态分布的概率密度2()fx为 1,3上均匀分布的概率密度,12(),0()(0,0)(),0af x xf xabbfx x为概率密度,则,a b应满足(A)234ab(B)324ab(C)1ab(D)2ab二、填空题二、填空题(9-14(9-14 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2424 分分,请将答案写在
4、答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.).)（9）设可导函数 yy x由方程2200sinx yxtedtxt dt确定，则0_xdydx（10）设位于曲线21()(1 ln)yexxx 下方,x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为_。（11）设某商品的收益函数为 R p，收益弹性为31p,其中p为价格,且 11R,则 _R p（12）若曲线321yxa xbx有拐点1,0,则 _ b。(13)设,A B为 3 阶矩阵,且,|,ABAB1322则|_.AB1（14）设12,nXXX是 来 自 总体2(,)(0)N 的 简 单 随机 样 本。记 统计 量211ni
5、iTXn，则()_E T。三三、解答题解答题(15(152 23 3小题小题,共共9 94 4分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.).)（15）(本题满分 1010 分)求极限11lnlim(1)xxxx（16）(本题满分 1010 分)计算二重积分3()Dxy dxdy,其中D由曲线21xy与直线20 xy及20 xy围成.3（17）(本题满分 1010 分)求函数2uxyyz在约束条件22210 xyz下的最大值和最小值.(18)(本题满分 1010 分)(1)比较10ln ln(1
6、)nttdt与10ln(1,2,)ntt dt n 的大小,说明理由。(2)记10ln ln(1),(1,2,)nnuttdt n求极限limnnu。（19）(本题满分 1010 分)设函数 f x在闭区间0,3上连续,在开区间0,3内存在二阶导数,且202(0)()(2)(3)ff x dxff(I)证明存在0,2,使得()0ff；(II)证明存在0,3,使得()0f。(20)(本题满分 11 分)设1101011A，11ab 已知线性方程组AXb存在两个不同的解.(1)求,a；(2)求方程组AXb的通解.(21)(本题满分 11 分)设0141340Aaa,正交矩阵Q使得TQ AQ为对角矩
7、阵.若Q的第一列为1(1,2,1)6T,求,a Q.(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量(,)X Y的概率密度为2222(,)xxy yf x yAe，x ，y 求常数A以及条件概率密度|Y Xfy x。(23)(本题满分 1111 分)箱中装有6个球,其中红、白、黑球个数分别为1,2,3个,现从箱中随机地取出2个球,记X为取出红球的个数,Y为取出白球的个数.(I)求随机变量,X Y的概率分布；(II)求,Cov X Y.4参考答案参考答案一、选择题：一、选择题：1 18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一分，下列每小题
8、给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)【分析】【分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出a.【详解】【详解】由于0001111lim()limlim()xxxxxxxxeaxeea eaexxxx001limlim1xxxxeaeax从而由题设可得11a，即2a，故应选（C）(2)【分析】【分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构【详解【详解】因为1y,2y是一阶线性非齐次微分方程 yp x yq x的两个特解，所以 1122yp x yyp x yq x-（1）由于12yy是该方程
9、的解,则 1212()()yyp xyyq x即 1122()()yp x yyp x yq x将（1）代入上式可得：1（2）由于12 yy是对应的齐次方程的解则 1212()()0yyp xyy，即 1122()()0yp x yyp x y将（1）代入上式可得：0（3）由（2）、（3）可得12。故应选（A）评注：设12,sy yy是一阶线性非齐次微分方程 yp x yq x的解，则对于常数12,sk kk，有下列结论：若121skkk，则1122ssk yk yk y是方程 yp x yq x的解；若120skkk，则1122ssk yk yk y是方程 0yp x y的解。（3）【分析】
10、【分析】本题主要考查导数的应用.求 f g x的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。【详解】【详解】令()F xf g x，则5 ()F xf g xfg xgx ,2()Fxf g xfg xgxfg xgxfg xgx 由0g xa是()g x的极值知00gx。于是有0()0F x，00()()()Fxfa gx由于()0gx,要使00()0Fxf g x,只要 0fa.因此应选(B)（4）.【分析】【分析】计算两两比的极限便可得到答案【详解】【详解】因为1098()lnlnlnlimlim10 lim10 9 lim()xxxxf xxxxg xxxxln10!limxxx1
11、10!lim0 xx,1010()1limlimlim0()110 xxxxxg xxh xee,由此可知当x充分大时,()()()f xg xh x，故应选（C）。(5)【分析】【分析】本题考查向量组的线性相关性。【详解】【详解】因向量组I能由向量组II线性表示，所以IIIrr（）（），即1212(,(,),rsrrs ）若向量组I线性无关，则12(,)rrr，所以rs.故应选(A).评注：“若12,r线性无关且12,r可由12,s线性表示，则rs”这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案.(6)【分析】【分析】考查矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质。【详解【详
12、解】由于20AA，所以()0A AE，由于A的秩为 3，所以AE不可逆，从而0,0AAE，所以120,1 是矩阵A的特征值。假设是矩阵A的特征值，则20，则只能是0或1。由于A是实对称矩阵，且A的秩为 3，所以其全部特征值为1,1,1,0 ，因此应选（D）(7)【分析】【分析】考查如何利用分布函数计算随机变量取值的概率。【详解】【详解】由分布函数的性质可知：6111111(1)lim()2xP XP XP XFF xe故应选（C）(8)【分析】【分析】考查概率密度的性质()0f x，()1f x dx【详解】【详解】由已知可得：21211()2xf xe，21,13()40,xfx 其他由概率
13、密度的性质可知：()1f x dx所以031210011131()()()2424af x dxbfx dxaf x dxbdxab因此应选（）二、填空题二、填空题(9-14(9-14 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2424 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.).)（9）【分析】【分析】先由方程求出0 x 时0y，再两边对x求导或两边微分。【详解】【详解】法一：由2200sinx yxtedtxt dt，令0 x 得0y 等式两端对x求导得2()220(1)(sin)sinxx ydyet dtxxdx将0 x，0y 代入上式得：01xdydx 法二
14、：由2200sinx yxtedtxt dt，令0 x 得0y 等式两端对x微分得2()220()(sin)sinxx yedxdyt dt dxxx dx将0 x，0y 代入上式得：0()0 xdxdy，从而01xdydx（10）【分析】【分析】利用旋转体的体积公式即得。计算时须注意这是一个反常积分。【详解】【详解】2221()limtan(ln)(1 ln)44eexVyx dxdxarcxxx（11）【分析分析】此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，利用弹性的定义列方程，然后解此微分方程【详解】【详解】由弹性的定义知，收益弹性为p dRR dp，由题设可得31p dRpR dp，
15、且 11R分离变量可得21()dRpdpRp，两端积分得31lnlnln3RppC7从而方程通解为：33pRCpe由 11R可得13Ce。从而方程的特解为313pRpe由此可得收益函数为313()pR ppe。（12）【分析】【分析】利用1,0是曲线拐点的条件列方程解出b.【详解】【详解】321yxa xbx在整个实数区间上可导,且232 yxa xb，62yxa 因1,0是曲线的拐点，有620a 即3a.又点1,0在曲线上,于是320(1)3(1)(1)1b，得3b.(13)【分析】【分析】本题考查矩阵的运算、行列式的性质.【详解】【详解】由于|()()|ABABE BABAABA BAB1
16、111111|3 2 23AABB 11。因此应填 3。评注：也可以由|AABEABABB11得|.AB13（14）【分析】【分析】本题考查重要统计量的数字特征，是一道非常基本的题.【详解】【详解】根据简单随机变量样本的性质，12,nXXX相互独立且与总体同分布，即2(,)iXN，于是2(),()iiE XD X，2222()()()iiiE XD XE X，因此22221111()()()nniiiiE TEXE Xnn。三三、解答题解答题(15(152 23 3小题小题,共共9 94 4分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明
17、、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.).)（15）【分析】【分析】化为指数形式，用洛必达法则及等价无穷小替换求极限。【详解】【详解】1ln11ln(1)ln(1)limlnlnlnlim(1)limxxxxxexxxxxxxeelnlnln2ln21()1 ln11 lnlimlimlim1ln1xxxxxxxxxxxexxexxexxxxexeee1 lnlim1lnxxxee（16）【分析】【分析】被积函数展开，利用二重积分的对称性。8【详解】【详解】显然D关于x轴对称,且12DDD其中21(,)01,21Dx yyyxy，22(,)10,21Dx yyyxy 33223()(33)D
18、Dxy dxdyxx yxyy dxdy2332(3)(3)DDx yy dxdyxxydxdy由于被积函数233x yy是关于y的奇函数，323xxy是关于y的偶函数，所以21113323202()2(3)2(3)yyDDxy dxdyxxydxdydyxxydx21142220132()42yyxx ydy22412220(1)(2)32(12)42yyyyydy1242201(123)3(1)2yyyydy123118614(1)3()23535151515评注：二重积分的对称性的考查一直是研究生考试的重要测试内容.（17）【分析】【分析】本题为条件极值问题,用拉格朗日乘数法。【详解】【
19、详解】令222,210F x y zxyyzxyz，解方程组22220220220100 xyzFyxFxzyFyzFxyz -（1）当0y 时，从方程组（1）可得2222225100zxyxxyz此时解得152xyz 和152xyz ；9当0y 时，从方程组（1）可得22202100yxzxyz 此时解得2 202xyz 和2 202xyz；综上，可得(,)F x y z的如下六个驻点1(1,5,2)P、2(1,5,2)P、3(1,5,2)P 、4(1,5,2)P、5(2 2,0,2)P、6(2 2,0,2)P 代入2uxyyz可得：1()5 5u P 、2()5 5u P、3()5 5u
20、P、4()5 5u P 5()0u P、6()0u P从而所求最大值为5 5,最小值为5 5。(18)【分析分析】考查定积分性质、分部积分法和夹逼定理。对(I)比较被积函数的大小；对(II)用分部积分法计算积分10lnntt dt再用夹逼定理求极限。【详解】【详解】(1)，由于0t 时，0ln(1)tt，所以0ln(1)nntt，从而0ln ln(1)lnnntttt从而由积分的保号性定理可得1100ln ln(1)lnnnttdttt dt(1,2,)n(2)由(1)可知：100lnnnutt dt，而11110001lnlnln1nnntt dtttdttdtn 11102011(ln)1
21、(1)nnttt dtnn又因为21lim0(1)nn，从而由夹逼定理可得：lim0nnu。评注：若一题有多问，应特别注意利用前面提供的信息.（19）【分析】【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理10【详解】【详解】(I)令0()()xF xf t dt，因 f x在闭区间0,2上连续,所以()F x在闭区间0,2上连续，在开区间(0,2)内可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点0,2,使得(2)(0)()(20)FFF，即20()2()f x dxf又202(0)()ff x dx，所以()0ff。命题（I）得证。()因 20 23fff，即(2)3)(0)2fff又函
22、数 f x在闭区间0,3上连续,从而(2)3)(0)2fff介于 f x在2,3上的最大值与最小值之间,由介值定理知，至少存在一点2,3,使得()0ff因此 f x在区间0,上都满足罗尔中值定理条件，于是至少存在点10,（）,2,（）,使得12()()0ff。由 f x在闭区间0,3上连续,在开区间0,3内存在二阶导数,知()fx在12,上连续,在12,可导，用罗尔中值定理,至少存在一点12,0,3,使得()0f.评注：一般地有如下结论：设()f x在(,)a b内连续，12naxxxb，则存在1,nx x，使得12()()()()nf xf xf xfn(20)【分析分析】本题考查方程组解的
23、判定与通解的求法.由非齐次线性方程组存在 2 个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解.【详解】【详解】(1)由于线性方程组AXb存在两个不同的解，所以该方程组有无穷多解，从而()()3r Ar A。又21111111101010101010111111011aAaa211101010011a 11从而2101010a ，解得：1,2a 。(2)当1,2a 时31012111110201010200000000A所以方程组的同解方程组为1323212xxx，从而原方程通解为：31(1,0,1)(,0),(22TTXkk为任意常数）。(21)【分析】【分析】本题考查实
24、对称矩阵正交化问题.由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值,然后由A可求出另外两个特征向量,于是最终求出Q.【详解】【详解】由题设111(1,2,1)(1,2,1)66TTA,于是101413(1,2,1)(1,2,1)40TTaa,即1(2,5,42)(1,2,1)TTaa从而11,2a 由于A的特征多项式132()14555111131131(5)131414141rrrEA(2)(5)(4)所以A的特征值为2,5,4由于方程组(5)0EA X的基础解系为(1,1,1)T，所以属于特征值5的一个单位12特征向量为1(1,1,1)3T；又方程组(4)0EA X的基础解系为(1,0
25、,1)T，所以属于特征值4的一个单位特征向量为11(,0,)22T.令11163221063111632Q,则有200050004TQ AQ,故Q为所求矩阵.评注:因为正交矩阵Q使得TQ AQ为对角矩阵,则Q的列向量都是A特征向量.本题正是以此为切入点解出a.(22)【分析】【分析】本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是求边缘密度。【详解】【详解】由概率密度的性质得22222222()1xxy yxy xxtdxAedyAedxedyAedxedtAA所以1A，即22221(,)xxy yf x ye。因为X的边缘概率密度为222222()11()(,)xxy yx
26、y xXfxf x y dyedyeedy22211xtxeedte因此条件概率密度222|(,)1|()xxy yY XXf x yfy xefx，x ，y 评注：本题要充分的利用积分2tedt简化计算。(23)(23)【分析分析】本题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征,第一问实际上为古典概率问题.【详解】【详解】(I)易知X的所有可能取值为0,1，Y的所有可能取值为0，1,2各值，由于,Xi Yj表示取到i个红球，j个白球.由古典概型得13232630,015CP XYPC取到两个黑球11232660,115C CP XYPC取到一个白球与一个黑球222610,215CP XYPC取到两个白球11132631,015C CP XYPC取到一个红球与一个黑球11212621,115C CP XYPC取到一个白球与一个红球 1,20P XYP 于是故二维随机变量,X Y的概率分布为(表中最后一列与最后一行分别是关于X和关于Y的边缘概率分布)YX012P Xi03/156/151/1510/1513/152/1505/15P Yj6/158/151/15(II)由()知：1()3E X，2()3E Y，2()15E XY 于是21 24(,)()()()153 345Cov X YE XYE X E Y。