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1、20102010 年山东高考理科数学真题及答案年山东高考理科数学真题及答案本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3 第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然
2、后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：锥体的体积公式：ShV31。其中 S 是锥体的底面积，h是锥体的高。如果事伯 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）；如果事件 A、B 独立，那么)()()(BPAPABP第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集 U=R，集合2|1|xxM，则MCU（A）31|xx（B）31|xx（C）31|xxx或（D）31|xxx或
3、（2）已知),(2Rbaibiia，其中i为虚数单位，则ba（A）-1（B）1（C）2（D）3（3）在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设)(xf为定义在 R 上的奇函数，当0 x时，bbxxfx(22)(为常数），则)1(f（A）3（B）1（C）-1（D）-3（5）已知随机变量服从正态分布),1(2N，若023.0)2(P，则)22(P（A）0.477（B）0.628（C）0.954（D）0.977（6）样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a，若该样本的平均值
4、为 1，则样本方差为（A）56（B）56（C）2（D）2（7）由曲线32,xyxy围成的封闭图形面积为（A）121（B）41（C）31（D）127（8）某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36 种（B）42 种（C）48 种（D）54 种（9）设na是等比数列，则“321aaa”是“数列na是递增数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）设变量yx,满足约束条件,08,10105,02yxyxyx则目标函数yx
5、z43 的最大值和最小值分别为（A）3，-11（B）-3，-11（C）11，-3（D）11，3（11）函数22xyx的图象大致是（A）（B）（C）（D）（12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的)(),(qpbvma。令a.npmqb下面说法错误的是（A）若a与b共线，则a0b（B）abb a（C）对任意的)(,aR有ab()b（D）a(222|)()babab第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。（13）执行右图所示的程序框图，若输入10 x，则输出y的值为。（14）若对任意axxxx13,02恒成立，则a的取值范围是。（15）在ABC中
6、，角 A，B，C 所对的边分别为cba,，若2cossin,2,2BBba，则角 A 的大小为。（16）已知圆 C 过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线1:xyl被圆 C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为。三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。（17）（本小题满分 12 分）已知函数)0)(2sin(21coscossin2sin21)(2xxxf，其图象过点).21,6(（）求的值；（）将函数)(xfy 的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数)(xgy 的图象，求函数)(xg在4,0上的最大值和最小值。（18）（本小题满分 12 分
7、）已知等差数列na满足：.26,7753naaaa的前n项和为.nS（）求4a及nS；（）令112nnab)(*Nn，求数列nb的前n项和.nT（19）（本小题满分 12 分）如图，在五棱锥 PABCDE 中，PA平面 ABCDE，AB/CD，AC/ED，AE/BC，42,22,45AEBCABABC，三角形 PAB 是等腰三角形。（）求证：平面 PCD平面 PAC；（）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小；（）求四棱锥 PACDE 的体积。（20）（本小题满分 12 分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A、B、C、D 四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初初始分均为 10 分，
8、答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分，答错任一题减 2 分每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题 A、B、C、D 顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题 A、B、C、D 回答正确的概率依次为41,31,21,43，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（）求甲同学能进入下一轮的概率；（）用表示甲内当家本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望 E.（21）（本小题满分 12 分）如图，已知椭圆
9、)0(12222babyax的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,FF为顶点的三角形的周长为)12(4，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于项点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明：121kk；（）是否存在常数，使得CDABCDAB恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（22）（本小题满分 14 分）已知函数)(111)(Raxaaxnxxf.（）当21a时，讨论)(xf的单调性；（）设41.42)(2abxxxg当时，若对任意)2,0
10、(1x，存在2,1 2x，使)()(21xgxf，求实数b的取值范围.参考答案评分说明：1本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5
11、分，满分 60 分。（1）C（2）B（3）D（4）D（5）C（6）D（7）A（8）B（9）C（10）A（11）A（12）B二、填空题：本题考 查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。（13）54（14）1,)5（15）6（16）30 xy三、解答题（17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力，满分 12 分。解：（）因为211()sin2 sincoscossin()(0)222f xxx所以11cos21()sin2 sin2coscos222xf xx11sin2 sincos2 cos22xx1(sin2 sincos2 co
12、s)2xx1cos(2).2x又函数图象过点1(,)6 2所以11cos(2)226即cos()1,3又0所以.3（）由（）知1()cos(2)22f xx，将函数()yf x的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()yg x的图象，可知1()(2)cos(4),23g xfxx因为0,4x所以40,x因此24,333x 故1cos(4)123x所以()0,4yg x在上的最大值和最小值分别为12和1.4（18）本小题主要考查等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。解：（）设等差数列na的首项为1a，公差为d，由于3577,26aaa，所以1127,21026
13、adad，解得13,2.ad由于11()(1),2nnnn aaaand S所以21,(2).nnanSn n（）因为21nan所以214(1)nan n 因此11 11().4(1)41nbn nnn故12nnTbbb111111(1)42231nn11(1)41n4(1)nn所以数列 nb的前n项和.4(1)nnTn（19）本小题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力，满分 12 分。（）证明：在ABC中，因为45ABC，BC=4，2 2AB 所以2222cos458ACABBCAB BC因此2 2AC
14、故222BCACAB所以090BAC又PA 平面 ABCDE，AB/CD，所以,CDPA CDAC又 PA，AC平面 PAC，且 PAAC=A，所以 CD平面 PAC，又CD 平面 PCD，所以平面 PCD平面 PAC。（）解法一：因为APB是等腰三角形，所以2 2PAAB因此224PBPAAB又 AB/CD，所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离。由于 CD平面 PAC，在Rt PAC中，2 2,2 2PAAC所以 PC=4故 PC 边上的高为 2，此即为点 A 到平面 PCD 的距离，所以 B 到平面 PCD 的距离为2.h 设直线 PB 与平面 PCD 所成
15、的角为，则21sin42hPB，又,02所以.6解法二：由（）知 AB，AC，AP 两两相互垂直，分别以 AB，AC，AP 为x轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，所以2 2PAAB又2 2AC，因此(0,0,0),(2 2,0,0),(0,2 2,0),(0,0,2 2)ABCP因为 AC/DE，CDAC，所以四边形 ACDE 是直角梯形，因为02,45,/AEABCAEBC所以0135BAE因此045CAE故02sin45222CDAE所以(2,2 2,0)D 因此(0,2 2,2 2),(2,0,0)CPCD 设(,)mx y z是平面 PCD 的一个法向量，
16、则0,0m CPm CD 解得0,xyz取1,(0,1,1)ym得又(2 2,0,2 2)BP 设表示向量BP 与平面 PCD 的法向量m所成的角，则1cos2|m BPmBP 所以3因此直线 PB 与平面 PCD 所成的角为.6（）因为 AC/ED，CDAC所以四边形 ACDE 是直角梯形因为02,45,/AEABCAEBC，所以0135BAE因此045CAE故02sin45222CDAE02cos452 2222EDACAE所以22 223.2ACDES四边形又PA 平面 ABCDE，所以132 22 23P CDEV（21）本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的
17、位置关系，考查坐标第、定值和存在性问题，考查数形结合思想和探求问题的能力。解：（）设椭圆的半焦距为c，由题意知2,224(21)2caca所以2 2,2ac又222abc，因此2.b 故椭圆的标准方程为22184xy由题意设等轴双曲线的标准方程为22221(0)xymmm，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以2m 因此双曲线的标准方程为22144xy（）设112200(,),(,),(,)A x yB xyP xy则001200,22yykkxx因为点 P 在双曲线224xy上，所以22004.xy因此0001220001224yyyk kxxx即121.k k（）由于 PF1的方程为1(2
18、)yk x，将其代入椭圆方程得2222111(21)8880kxk xk由违达定理得221112122211888,2121kkxxx xkk所以2211212|1()4ABkxxx x22211122118881()42121kkkkk212114 221kk同理可得22221|4 2.21kCDk则221222122121111()|114 2kkABCDkk又121k k 所以2222111122211121212121211123 2()()1|881114 21kkkkABCDkkkk故3 2|8ABCDABCD因此，存在3 28，使|ABCDABCD恒成立。（22）本小题主要考查导
19、数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。解：（）因为1()ln1af xxaxx所以222111()(0,)aaxxafxaxxxx 令2()1,(0,)h xaxxa x（1）当0,()1,(0,)ah xxx 时所以，当(0,1),()0,()0 xh xfx时此时，函数()f x单调递减；当(1,)x时，()0h x，此时()0,fx函数f(x)单调递（2）当0a 时,由f(x)=0即210axxa，解得1211,1xxa当12a 时，12,()0 xx h x恒成立，此时()0fx，函数()f x在
20、（0，+）上单调递减；当110,1102aa 时(0,1)x时，()0,()0,()h xfxf x此时函数单调递减；1(1,1)xa时，()0,()0,()h xfxf x此时函数单调递增；1(1,),()0 xh xa时，此时()0fx，函数()f x单调递减；当0a 时，由于110a(0,1)x时，()0h x，此时()0fx，函数()f x单调递减；(1,)x时，()0h x，此时()0fx，函数()f x单调递增。综上所述：当0a 时，函数()f x在（，）上单调递减；函数()f x在（，）上单调递增；当12a 时，函数()f x在（0，+）上单调递减；当102a时，函数()f x在
21、（0，1）上单调递减；函数()f x在1(1,1)a上单调递增；函数1()(1,)f xa在上单调递减，（）因为11(0,)22a，由（）知，121,3(0,2)xx，当(0,1)x时,f(x)0，函数()f x单调递减；当(1,2)x时，()0fx函数()f x单调递增，所以()f x在（0，2）上的最小值为1(1)2f 由于“对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()f xg x”等价于“()g x在1，2上的最小值不大于()f x在（0，2）上的最小值12”（*）又22()()4,1,2g xxbbx，所以当1b 时，因为min()(1)520g xgb，此时与（*）矛盾；当1,2b时，因为2min()40,g xb，同样与（*）矛盾；当(2,)b时，因为min()(2)84g xgb解不等式1842b，可得17.8b 综上，b的取值范围是17,).8