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1、20102010 年陕西高考年陕西高考理科数学真题及答案理科数学真题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）。1.集合 A=|12xx，B=|1x x，则()RAC B=【D】（A）|1x x（B）|1x x（C）|12xx（D）|12xx解析：本题考查集合的基本运算21|,1|xxBCAxXBCRR2.复数1izi在复平面上对应的点位于【A】A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义1iiiii21212)1(，所以点（)21,21位于第一象限3.对于函数 f(x)=2
2、sinxcosx，下列选项中正确的是【B】A.f(x)在（4，2）上是递增的B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的最小正周期为2D.f(x)的最大值为 2解析：本题考查三角函数的性质f(x)=2sinxcosx=sin2x，周期为的奇函数4.5axxRx展开式中3x的系数为 10，则实数 a 等于【D】A.-1B.12C.1D.2解析：本题考查二项展开式的通项公式2,10,1325,15255551aaCrrxCaxaxCTrrrrrrr有得由5.已知函数 f(x)=22111xxxaxx，若 f（f（0）=4a，则实数 a 等于【C】A.12B.45C.2D.9解析：f（0）=2，f（
3、f（0）=f(2)=4+2a=4a，所以 a=26.右图是求样本1x，2x，10 x平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】A.S=S+nxB.S=S+nxnC.S=S+nD.S=S+1n7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】A.13B.23C.1D.2解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为1221218.已知抛物线22(0)ypx p的准线与圆22670 xyx相切，则 p 的值为【C】A.12B.1C.2D.4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为2px，因为抛
4、物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切，所以2,423pp法二：作图可知，抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切与点（-1,0）所以2,12pp9.对于数列 na，“1(1.)nnaan，2，”是“na为递增数列”的【B】A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由1(1.)nnaan，2，知 na所有项均为正项，且 121nnaaaa，即 na为递增数列221反之，na为递增数列，不一定有1(1.)nnaan，2，如-2，-1,0,1,2，.10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除
5、以 10 的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=x(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为【B】A.y10 xB.3y10 xC.4y10 xD.5y10 x解析：法一：特殊取值法，若 x=56，y=5,排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A，所以选 B法二：设)90(10mx，时10103103,60 xmmx1101103103,96xmmx时当，所以选 B二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分）.11.已知向量 a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1
6、,2），若（a+b）c，则 m=-1解析：0)1()1(21/)(),1,1(mcbamba得由，所以 m=-112.观察下列等式：332123，33321236，33332123410，根据上述规律，第五个等式为333333212345621。解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1+2+.+（i+1）的平方所以第五个等式为333333212345621。13.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分部分的概率为13解析：长方形区域的面积为 3，阴影部分部分的面积为13210dxx，所以点 M 取自阴影部分部分的概率为1314.铁矿石
7、A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的的2CO排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c如下表：aB(万吨)C（百万元）A5013B700.56某冶炼厂至少要生产 1.9（万吨）铁，若要求2CO的排放量不超过 2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为 15（万元）解析：设购买铁矿石 A 和 B 各 x，y 万吨，则购买铁矿石的费用yxz63 x,y 满足约束条件表示平面区域为则当直线yxz63 过点 B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用z=1515.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（不等式选做题）不等式x323x的解集为1x x 解析：法一：分段讨论xx，时
8、，原不等式等价于35321131223xxxx，时，原不等式等价于2352xx，时，原不等式等价于综上，原不等式解集为1x x 法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究法三：借助函数23xxy的图像研究B.(几何证明选做题)如图，已知 RtABC 的两条直角边AC,BC 的长分别为 3cm,4cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则BDDA1699.17.05.0yx25.0yx0,0yx解析：ABCD,由直角三角形射影定理可得516BD5,BA4,BC,2所以又BABDBC59ADBDDA169C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程为cos1 sinxy（a 为参数）
9、以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标系为_(-1,1).(1,1)_解析：直线 l 的极坐标方程为sin1化为普通方程为 y=1，所以直线 l 与圆1)1(22 yx的交点坐标为(-1,1).(1,1)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分）16.（本小题满分 12 分）已知 na是公差不为零的等差数列，11a 且139,a a a成等比数列（1）求数列 na的通项公式（2）求数列的前 n 项和nS解：（1）由题设知公差 d0由11a 且139,a a a成等比数列得
10、12d1 8d112d解得 d=1,d=0（舍去）故 na的通项1(1)1nann （2）由（1）知22nan，由等比数列前 n 项和公式得2312(1 2)222.2221 2nnnnS17.（本小题满分 12 分如图，A，B 是海面上位于东西方向相距5 33海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解：由题意知3)AB=5(3+海里，906030,45,DBADAB 105ADB在DA
11、B中，由正弦定理得sinsinDBABDABADBsin5(33)sin455(33)sin45sinsin105sin45cos60sin60cos45ABDABDBADB=5 3(13)10 3(13)2（海里），又30(9060)60,20 3DBCDBAABCBC 海里，在DBC中，由余弦定理得2222cosCDBDBCBD BCDBC=1300 12002 10 320 39002 CD30（海里），则需要的时间30130t（小时）。答：救援船到达 D 点需要 1 小时。注：如果认定DBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得 CD，同样给分。18.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面
12、 ABCD 是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2,BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点。（）证明：PC平面 BEF；（）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。解法一：（）如图，以 A 为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系。2,2 2APABBCAD，四边形 ABCD 是矩形 A,B,C,D,P 的坐标为(0,0,0),(2,0,0),(2,2 2,0),(0,2 2,0),(0,0,2)ABCDP又 E,F 分别是 AD,PC 的中点，(0,2,0),(1,2,1)EF(2,2 2,2),(1,2,1),(1,0,1)PCBFEF
13、,2420,2020,PC BFPC EF ,PCBF PCEF ,PCBF PCEF BFEFF PC 平面BEF（）由（）知平面 BEF 的法向量1(2,2 2,2)nPC,平面 BAP 的法向量2(0,2 2,0)nAD，12n n=8设平面 BEF 与平面 BAP 的家教为，则121212|82cos|cos(,)|24 2 2n nn nnn，45，平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为45解法二：（）连接 PE,EC，在Rt PAE和Rt CDE中，PA=AB=CD,AE=DE,PE=CE,即PEC是等腰三角形，又 F 是 PC 的中点，EFPC，又222 2,BFAPABBC F
14、是 PC 的中点，BFPC又,BFEFFPCBEF 平面（）PA平面 ABCD,PABC,又 ABCD 是矩形，ABBC,BC平面 BAP，BCPB,又由（）知 PC平面 BEF,直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的夹角，在PBC中，PB=BC,90PBC,45PCB所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为4519.（本小题满分 12 分）为了解学生升高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在 170185cm 之间的概率；（）从样本中身高在 165180cm
15、之间的女生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 17018cm 之间的概率。解：（）样本中男生人数为 40，由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400 人。（）由统计图知，样本中身高在 170185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容量为70，所以样本中学生身高在 170180cm 之间的概率 p=0.5（）样本中女生身高在 165180cm 之间的人数为 10，身高在 170180cm 之间的人数为 4，设 A 表示事件“从样本中身高在 165180cm 之间的女生中任取 2 人，至少有 1 人身高在 170180cm 之间”，则262102()13CP A
16、C（或1126442102()3CCCP AC）20.（本小题满分 13 分）如图，椭圆2222:1xyCab的顶点为1212,A A B B，焦点为12,F F11|7AB，1 1221 1222A B A BB F B FSS（）求椭圆 C 的方程；（）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，|OP|=1，是否存在上述直线l使1AP PB 成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解：（）由11|7AB 知227ab，由1 1221 1222A B A BB F B FSS知 a=2c，又222bac，由解得224,3ab，故椭圆 C 的方程为
17、22143xy（）设 A，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x yxy，假设使1AP PB 成立的直线l存在，（）当l不垂直于 x 轴时，设l的方程为ykxm，由l与n垂直相交于 P 点且|OP|=1 得2|11mk，即221mk1AP PB ，|OP|=1，()()OA OBOPPAOPPB =2OPOP PBPA OPPA PB =1+0+0-1=0,即12120 x xy y将ykxm代入椭圆方程，得222(34)8(412)0kxkmxm由求根公式可得122834kmxxk，212241234mx xk121212120()()x xy yx xkxm kxm=22121212
18、()x xk x xkm xxm=221212(1)()kx xkm xxm将，代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0kmk mmk将221mk 代入并化简得25(1)0k，矛盾即此时直线l不存在（）当l垂直于 x 轴时，满足|1OP 的直线l的方程为 x=1 或 x=-1，当 X=1 时，A,B,P 的坐标分别为33(1,),(1,),(1,0)22，33(0,),(0,)22APPB ，914AP PB 当 x=-1 时，同理可得1AP PB ，矛盾即此时直线l也不存在综上可知，使1AP PB 成立的直线l不存在21.（本小题满分 14 分）已知函数(),()ln,Rf
19、xx g xax a（）若曲线()yf x与曲线()yg x相交，且在交点处有共同的切线，求 a 的值和该切线方程；（）设函数()()()h xf xg x，当()h x存在最小值时，求其最小值()a的解析式；（）对（）中的()a和任意的0,0ab，证明：()()2()()22abababab解：（）1(),()(0)2afxg xxxx，由已知得ln,1,2xaxaxx解得2,2eaxe，两条直线交点的坐标为2(,)e e，切线的斜率为21()2kfee，切线的方程为21()2yexee（）由条件知()ln(0),h xxax x12()22axah xxxx（）当 a0 时，令()0h x
20、，解得24xa，当204xa时，()0,()h xh x在2(0,4)a上递减；当24xa时，()0,()h xh x在2(4,)a上递增24xa是()h x在(0,)上的唯一极值点，从而也是()h x的最小值点最小值22()(4)2ln42(1 ln2)ahaaaaaa（）当0a 时，2()0,()2aah xh xx在(0,)上递增，无最小值，故()h x的最小值()a的解析式为()2(1 ln2)(0)aaa a（）由（）知()2ln2aa 对任意的0,0ab()()2ln22ln2ln422ababab 2()2ln(2)ln()ln422abababab 224()2ln(2)2lnln42ababababababab 故由得()()2()()22abababab