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1、2023年高考数学考前押题1.如图，已知三棱柱AB C-AiBiC i中，四边形AACiC为正方形，AB=AC=2,AMLAB,M、N 分别是CCi、BC的中点，点 尸 是 线 段 上 的 动 点.(1)证明：AMLPN-,(2)已知BC=2企，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值的取值范围.【分析】(1)取 AC中点 ,连接DV,A D,证明结合4W _L4B i,推出AM，平面4 B 1 M),然后证明AMLPN.(2)以 AB,AC,441为 x,y,z 建系，求出平面MNP的法向量平面ABC的法向量，设面PMN与面ABC所成角为3求出|cosO|=|c o s ,益|的表达式，
2、利用换元法化简表达式转化求解cos。的范围.【解答】(1)证明：取 AC中点D,连接力N,AD,4AAi=AC,A D=C M,Z A i A C=A ACM,.AiAO丝ACM,（1 分）Z A A D Z C A M,又；N A 4 O+N W 5，I T：.Z C A M+Z A D A=务：.AMLAD,（2 分）又ADCAB=A,，AM_L平面 AiBiNC,（4 分）又；N P u 面 AiBiND,：.AMPN.（5分）(2)解：AB=AC,B C=2 位,:.AB2+AC2=BC2,：.ABLAC,：.AMA.AB,又；A M D 4 c=A,；.4 8 _ 1 _ 面 ACC
3、iAi,：.ABAA,以 A B,AC,A A i 为 x,y,z 建系，N(1,1,0),M(0,2,1),设 尸(t,0,2),正 0,设面MN P的法向量/=(x,y,z),A n -N M =-x+y+z=0 人,1+t由-，令 x=l 得)=丁，zI n M P=tx 2 y+z=0又面A B C 的法向量茄=(0,0,1),设面PMN 与面A B C 所成角为0,T T 2i,-n m (2 tr贝!J|c os 6|=|c osO i,m|=|-|=-甘-了,nm j9+(l+t)+(2-t)，（8 分）（9 分）令 u=2-t,V/G 0,2 ,A uG 0,2 ,l c o
4、s 0|=石片得当=0时c os 9=0,.*.0=,不符合 舍去,当 时|c os 0|=令 1 之土 IC O S。1=J18m 216m转1V(p(2)=18?-6 Z+2 在 5,+8)递增，.p(M P$=：,，。可焉 0),E(a,a 0),T 1 fQ T T所以PE=0 a,勺a,-V3a),PC=(-2a,43a,-V3a),BC=(-2a,0,0),设平面PEC的法向量为 =(%,y,z),贝 亚 衣=。，即产；何-#=0,令.PE=0 I*+v3y 2v3z=0 x=V 3,则 y5,z3,故=(遮，5,3),设平面PBC的法向量为蔡=(p,q,r),Ijjij fm-PC=0 即卜2P+V3q-V3r=0Im-FC=0 I p=0令 q=l,贝！J r=l,故m=(0,L 1),所以|cosVn,m|=而藐|_8_ _ 4 4 n|n|m|43+25+9x75 37故二面角E-P C-8 的余弦值为 等.【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理的应用，二面角的求解问题，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.