《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题18最全归纳平面向量中的范围与最值问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题18最全归纳平面向量中的范围与最值问题.pdf（77页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题1 8最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一.平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论(2)坐标法第 一 步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第
2、二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果二.极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：5+S|2+|-B F=2(|+|b )证明：不 妨 设 福=,而=石，则 前=+B,D B=a-h对词=(+*+2 不+件|D B|2=DB2=(a-b =-2 a-h+h 两式相加得：时+阿=2 帆好 卜 矶 研+画)极化恒等式:上面两式相减，得：；弧+42-(-极化恒等式平行四边形模式：a-S =l|A C|2-|B|2儿何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线 与“差对角线”平方差畤三角形模式：a-h=AMf-D B 为 8。的中点）三.
3、矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点。是矩形N88与所在平面内任一点，证明：OA2+O C2=O B2+O D【证明】（坐标法）设=以Z 8所在直线为轴建立平面直角坐标系xo y,则 B(a,0),D(0,b),C(a,6),设 O(x,y),则OA2+O C2=(x2+y2)+(x-a)2+(y-h)2O B2+O D2=(x-i?)3+/+x2+(y-h)2 Ofic+O C2=OB2+O D2 四.等和线（1）平面向量共线定理己 知 方=2 万+而，若几+=1,则 A 8,C 三点共线；反之亦然。（2）等和线平面内一组基底次,而及任一向量。户，OP =AOA+
4、p O B（A，iieR）,若点尸在直线AB上或者在平行于A B的直线上，则 2 +=左（定值），反之也成立，我们把直线A B以及与直线A B平行的直线称为等和线。当 等 和 线 恰 为 直 线 时，k=l；当等和线在O点和直线43之间时，Z e（0,1）；当直线A f i 在点。和等和线之间时，&（1,内）；当等和线过O点时，无=0；若两等和线关于O点对称，则定值%互为相反数;BB,【题型归纳目录】题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线【典型例题】题型一：三角不等式一 一 一 1 1 1 1 1例 1.(
5、2 0 2 2 河南洛宁县第一高级中学高一阶段练习)已知向量满足|a|=2,|6|=l,|c-a-勿=1，若1 1 1 1对任意C，(c-a)2+(0-%)2 W 1 1 恒成立，则 Q.R的取值范围是.【答案】-2,-g【解析】【分析】由条件可得=I+；LD,由向量性质可得卜卜自+水一一回用+1+q,从而pi|-l|c|/5+2a-J 解得又之力一口电=-2r r 1所以。为 -2,-.故答案为：一 2,-;例 2.(2022安徽省舒城中学三模(理)已知平面向量.，/，*同=同=1,若 同 冢+动,2,B 伍-斓 2 1,则 山 的 最 小 值 是.3【答案】y#1.5【解析】【分析】令万=
6、1+,v=e -e ,即可得至!Jw_L/且|洲2+|=4,令q=(2cosa,0),v=(0,2sina),a=r,5=(rsinA rcoSy?),根据数量积的坐标表示及三角不等式计算可得；【详解】解：令及=q+e2，v-ex-e2,则 五 户=同-同=0 故且|肝+|、F=2(|q+B )=4,令五=(2cosa,0),v=(0,2sin a),a=r,a=(rsin/?,/cos/3),所以根据已知条件有a-u|=2r|cos a -sin/?|2a-v=2小in a-cos/?|1所以 2 rN 2 d 8 sasin/?|+2 小 in acos/?|N 3,3即2当且仅当sin
7、a=正，=g-a，r=；时等号成立，所以1码的最小值是:3 2 2 2故答案为：I3例 3.(2022浙江湖州模拟预测)已知平面向量,瓦湖满足出|曰|=1,若|3 一(石+或|=|万 石卜修1，则-东+2h2+c2的最小值是.答案叵。【解析】【分析】利用绝对值三角不等式|3疝-|(6+c)3a-(b+c)|,及三角函数的有界性可进行化简分析.【详 解】设=a,=,S1 3 a-(&+c)|=|a|c|,根据三角不等式，有 ia -(b+c)|1 3 a -(5+c)=a-5Hd二间而c os a c =a c os a a ,得|2 M|-|f e+c|2+2|6|2+|c|2=-|6|2+-
8、|c|2-,C4 4 4 2=3印 _ 3 M B c os夕之2 R|5|2 固4 4 2 V 4 4 2 2故答案为：巫 二1.2例4.(2 0 2 2浙 江 模 拟 预 测)已 知 平 面 内 两 单 位 向 量 冢,，冢石=5,若 满 足c-et c-e2=c +,则r的最小值是.【答 案】_ 旦2 6【解 析】【分 析】设 出q=g与 卜2=-g,*,-=(x,y)得 到“犬+丁，山不得关系得到 卜 怎+可L之；=/，从而得到最小值.【详 解】一 1 百 1 一(1 百)一 一 一2由题意，可以设4=不 二 丁，6 =一不二丁，1 =(%y),则由小4一3自=(?得x=x2+y。(2
9、 2 J (2 2 J -山上4+1叫=上 怎+动L=丁 吟 所 以x=d+解 得：1_2%卜 沟=0,同 丽=2,记M是 卜-”闸的最大值，则M的最小值是【答 案】x/3+l2【解析】【分析】设 函=万,丽=5,丽=C,E 为 中 点，令m i=x,|,|=y,|A B|=2 r,|0 E|=t,结合图形,利用向量的线性运算求出M=R-a-5|而=|函|+|觉转化为函数求最小值即可.【详解】如图，设/=昆 丽=尻 元=3 ：为 中 点，令m i=x,|8|=y,|A B|=2 O E|=r,2 兀则 N A 0 8 =7，x+y=2 ，1 因为 0 E =（O A+O B）,A B =O B
10、-O A,2故 有 方 丽=|0 E -；|A 8/二-；D=/一户，无2 +y2 _ 4户 _ _ _ v n yc o sZ A O B =-=-x y =x2+y2-4 r2=4 r2=（x+y）2-x y，由得，=1 一-,从而2x y4*“彳 孙=一孙 孙 w（0,l,因为修一 1 心一5）=0,所以A C J _ B C,即点C在 以 为 直 径 的 圆 E 匕 c-a-b =c-（d +b）|=|赤 +反一2 砺|=|前 +或 国 的|+|反|,：.M=c-a-hm a x=EO +EC =t +r=孙+卜；孙 1 +-,当且仅当|引=出|=1 时，即孙=1 时等号成立.故答案为
11、：叵 乂2例 6.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已 知 非 零 平 面 向 量 满 足|+/；|=7 兀 则同f l 的最小 值 是（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为同小|的不等式即可得解.【详解】依题意，a b 0 a +l =a-h(a +h)2=(a-b)2+2 a b+(a-b)2+b 2=(a-b)2-2a b 1，a b-=7(l|-|l)2+2|a|-|+l 72|a|-|l+l 当且仅当5日治时取“=”，又当且仅当2 与B同方向时取“=”，则有，2|HH+IMZ石-1 痴 1 出1-1=2|.出I+1 M
12、(|H 山-I)工 解得|2|24,当 且 仅 当 时 取“一，所以刚砸勺最小值是4.故选：A例 7.(2 0 2 2湖北华中师大一附中高一阶段练习)已知圆C的半径为2,点/满 足|恁|=4,E,尸分别是C上两个动点，且 用=2 百，则 恁.标 的取值范围是()A.6,2 4 B.4,2 2 C.6,2 2 D.4,2 4【答案】C【解析】【分析】借助于垂径定理处理，结合向量整理可 得 荏 通=|前+西产-3,再根据向量的加法可得3|A C+CW|5.【详解】取尸的中点M,连接CM,则CM =一 的=1，AE-AF=AM+MEAM+MF=AM+MEAM-ME)=AM2-ME2=XJ2_3=IA
13、C+CMI2-3,又|衣 西|倒 亚+而|A C +C M ,所以同+两 4 5,所以6 4 荏/4 2 2，当且仅当向量衣 与 两 共线同向时，荏.而 取得最大值2 2；向 量 正 与 两 共线反向时，通.需 取得最小值6,故选：C.A例 8.（2 0 2 2 浙江高三专题练习）已知平面向量,b,满 足 忖=忖=乎 1=1,5 卜 1.若7 4+入则的最大值是【答案】4+77【解析】【分析】将之=吕+工代入所求，可得到，q+k+q,分情况讨论7 工，4+石 同号和异号两种情况，利用向量模的平方等于向量的平方计算可得和的最大值.【详解】,目+忸 回=向 4+卜,+4=花 4+卜+/4=忖臼+|
14、4+/4当7,4+=同号时，|a-c|+|4 +f e-c|=|a-c +S-c +4|=|+j-c +4|a +|c|+4|,而+=l a +b +2a-b J l +4 +2 =不，则卜,c|+忸 4 卜 4 +近.当.，4 +=异号时，|a-c|+|4 +S-c|=|a-c-c-4|=|（a-ij-c-4|a-5|-|c|+4|,而漏 一 邛=+b -2a-b /7.因此悔4 +R 同 的最大值为4 +J F.故答案为：4 +V 7.例 9.（2 0 2 2 全国图一课时练习）已知在三角形A B C 中，B C =4,A B =2 A C ,则A B AC 的取值范围是（）A.，3 2
15、1 B.-y,3 2 C.（0,3 2）D.0,3 2）【答案】A【解析】【分析】根据三角形三边关系得到|A q 的取值范围，再利用余弦定理表示出cosNC4B,最后根据平面向量数量积的定义计算可得：【详解】解：因为B C =4,|阴=2同0,所以4 c l 4 即LAC/ACIVV解得 健 4,由余弦定TL）I理 cosNC AB =-A-C-2-+-A-B-2-B-C-2,所R以RIL.2ACABA发B 学AC =IAABR I-L1AC1 cos Z.CAB=1AB1 -lAlCl-A-C-2-+-A-B-2-B-C-2-=-A-C-2-+-A-B-2-B-C-2-I l l i I l
16、 l i 2AC AB 2=5“T 6,因为J 4 C|4,所以所以一必 史 史 1竺 32,即2 3 9 9 2uun uum（37、AB-ACel-y,3 2 l；故选：A例 10.（2022全国高一专题练习）已知同=2,W=l,与坂的夹角为6 0,若向量 满足叫=2折 则向的取值范围是（）A.4-2A/3,4+2X/3 B.6,5 句C.2 6,6 6 D.5-2 6,5 +2白 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断.【详解】因为1矶=2,|5 日,万与5 的夹角为60。，所以/=4,庐=1,无5=2/若c=xa+出（x,y e R）,则x+y 的最小
17、值为.3-2 5/3【答 案】3【解 析】【分 析】根据已知条件将向量2代 入4片-4 7 4=1整理可得关于x、V的二元二次方程，然后通过换元，利用方程有解 2 0可得.【详 解】c =x a +y b 4 c -4 a-c-4 b-c =4 c-(c a b )=(x a +y b)(x-l)a +(y 1)=4 x(x l)a +(2孙 x y)石+y(y 1)方 乂 b 是单位向量且“4=万，上 式=4 (x+y)2 -(x+y)-切=1令x+y =f,y =t x彳t入上式整理.得：4x2-4r x +4r2-6?-l =0关 于X的方程4 x2 4f x+4/2 -6 f -1 =
18、0有实数解.=1 6/-1 6(4/-6 1)2 0整理得：3-6 1 4 0,解得土必 巨W三2叵 故 答 案为：土2g.3 3 3例1 2.(2 0 2 2全国高三专题练 习)已知向量,各是平面内的两个非零向量，则当|+)+区一可取最大值时，与坂夹角为.【答 案】#9 0 2【解 析】【分 析】根 据4 +.-|-4了20,结合平面向量数量积的运算性质推出忖+q+,-闸42忖丽，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.【详 解】.向量,B是平面内的两个非零向量，.眄 耳 干 一 孙叩+邛+*邛呻+而诽0,当且仅当卜+%*同时取等号,+b+a-b 2 a +b -b +邛+2 p 一一邛|2东
19、+彳T 2+归 一 邛+2忖+即 一=(|+耳+忖 一 植(,+0+卜-0)W 2,+2,-0=4忖+4忖，即卜+囚+卜-环4 2,卜+忖)当且仅当卜+q=卜_ 弓时取等号，即3=0,则 与各夹角为.当B+.+W取最大值时，与 另 夹 角 为 TT故答案为：y.题型二：定义法例1 3.（2 0 2 2全国高三专题练习）己知向量万，5满足同=2,恸=3,则卜+田+卜-.的最大值为【答案】2小【解析】【分析】先求得|4+5|=j 5 +4c os 9、a-h=V 5-4c os 0 ,进而平方，计算即得结论.【详解】设向量a,Z?的夹角为。，Id+5 1=V 22+32+2X2X3X CO S6
20、=J 1 3 +1 2 c os。,a-b =V 22+32-2X2X3X CO S6 =J 1 3-1 2 c os 6 ,则,+61+1万 叫=J 1 3 +1 2 c os，+J 1 3-1 2 c os。,令y =V 1 3 +1 2 c os 6 +J 1 3-1 2 c os（9 ,则 y2=2 6 +2/1 6 9-1 44CO S26 e 3 6,5 2 ,据此可得：（卜+5|+|万一妣 夜=2如，即1+5|+K-目的最大值是2 g故答案为：2加.例1 4.（2 0 2 2全国高三专题练习）在AAB C中，角仇C的边长分别为Ec,点。为A4?C的外心，若u u u U U Uh
21、2+c2=2 h,则B C-A O的取值范围是（）A.B.（0,2）C.-;,+8）D.,2）【答案】D【解析】【分析】u u u u u n （1 2 1作出辅助线，对数量积进行转化得到B C SO=6弓,求出6的取值范围，进而求出答案.【详解】取8c的中点O,则or A B C,所以5&芯=配 （而+力5）=觉 通+肥 诙=元 而=西-砌T国+硝 毛 网-宿 卜;断 一/）=如 一（2力=6因为/=2。-从0，则为6-2）0,即0。2.所以-3反.血 2,4故选：D.例 15.（2022江苏省江阴高级中学高三开学考试）如图，正六边形A8CQEF的边长为2,动点M 从顶点8 出发，沿正六边形
22、的边逆时针运动到顶点F,若 丽 说 的最大值和最小值分别是切，则加+=（）【答案】D【解析】【分析】连接A C,根据正六边形的特征可 得 丽=恁，从而可 得 丽 丽 =衣 丽 =码|两 际（林，而 小 再根据当M 在BC上运动时，|丽 I HCOS（林，丽）均逐渐增大，当“从。移动到尸时，|福 了|与cos（前，而0）均逐渐减小，即可求得加，从而得出答案.【详解】解：连接A C,在正六边形ABCDE/中，FD=AC，：.FV-AM=AC-AM=ACAMcos（AC,AM,正六边形A8CDE尸的边长为2,.|AC|=2x/3,因为当“在 BC上运动时，|而 J与cos（衣，祝）均逐渐增大，当“从
23、。移动到F 时，|而 与cos（正 口 而）均逐渐减小，所以当M 在 8 上运动时，|R/cos（点,通 ）取得最大值，为2 6,当移动到点F时，|R/cos（而，丽）取得最小值，为 0.m=2岛2百=12,n=2/3x0=0./.7 +=12 故选：D.知 囱=恒=2,点C在线段AB上，且 反 的 最 小 值 为G，则 向+r词（re R）的最小 值 为（）A.72 B.73 C.2 D.y/5【答案】B【解析】【分析】由国 取 得最小值得点C为线段A8的中点，由瓯 卜 今 明 得NAOB=q ,由|次 +t O B =e o B2+2t O A-O B +O A =4产 +4r+4 配方可
24、得答案.【详解】当OC_L他 时，历取得最小值，因 为 苏=丽=2,所以此时点C为线段A3的中点，因 为 西=由 明，所以乙4=（,故ZAOB=,则 诉 砺=网 画8$?=2,因为|oZ+f 而=r O B +2t O A-O B +O A =4 t2+4 t +4 =（2t +）+3 3,故河+f西2反故选：B.B例 17.（2022河南平顶山市第一高级中学模拟预测（文）已知 4 8 为圆。:/+丁=4 上的两动点，|AB|=2石，点尸是圆C:（x+3尸+（y-4=1上的一点，则|丽+丽|的最小值是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算律将题意转化为圆上的
25、点到A 8的中点M 的距离最值问题即可得解.【详解】设 A7是 的 中 点，因为|AB|=2行，所以=即 M 在以O 为圆心，1为半径的圆上，PA+PB=PM+MA+PM+MB=2PM 所以|中 +而|=|2 M|.又|PC）|,nin=|OC|-1=V32+42-1=4,所以I PM|n,in=|P。kn-1 =4-1 =3,所以|丽+而 1mbi=2x3=6.故选：C.例 18.（2022黑龙江哈九中二模（理）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形
26、等.已知圆。是某窗的平面图，。为圆心，点/在 圆。的圆周上，点尸是圆。内部一点，若 同=2,且 冰 而=-2,则你+研 的 最 小 值 是（）A.3 B.4 C.9 D.16【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合数量 积 丽.而=-2，可求得|丽卜一确定其取值范围，再根据1 1 cos ZAOPI3+西 平 方后的式子，即可求得答案.【详解】因 为 丽=丽-砺，所 以 方 丽=丽（而-丽）=丽 丽-丽 匕-2,所 以 丽.而=2,即 网 西 cosN4OP=2,则 词=3 1op.因为点尸是圆。内部一点，所以|丽=2,所以9,cos2 ZAOP当且仅当cosNAOP=l 时，等号成
27、立，故|方+丽|的最小值是3,故选：A.例 19.（2022全国三模（理）已知平面向量2,b，均为单位向量，且 卜 4=1,0-2 4 年-今 的取值范围是（）A.-百,6 B.-2,2C.卜 ,仞 D.-3,3【答案】A【解析】【分析】通过数量积与模长的关系可得-2何2=0,|-2 q=如，再根据数量积的运算律以及概念即可得结果.【详解】（a-2 b）a-c）=（a-2 b）-a-（a-2 b）-c,因为=所以/_ 2 4 +不=1，所以=所以（2 W.=J-2 a 石=0,|a-2|=7o-4a-b+4b=百，设:-2%与2 的夹角为6，故-2b）.-c）=y3 cos 0 y因为co s
28、O e|-l,l,所以（一2可.伍一亦 一疯6,故选：A.题型三：基底法例 20.（2022天津河北二模）已知菱形N5CO的边长为2,/B 4O =120。，点 E,F分在边BC,CQ上，_ _ 2丽=入前,DF=JLIDC.若丸+=,则 赤.衣 的最小值为.【答 案】?49【解 析】【分 析】2由题意叫出图形，把 戏.而:%A 8.A。表小，最 后转化为含的代数式，内 结 介+及基本不等式求 得 通.赤 的 最小值.【详 解】_ _ _ _ 2,BE=A BC，DF=D C,且 2+=子.,AEAE=(AB+BE)(AD+DF),=(AB+ABC)(AD+DC)=(AB+AAD)(AD+iu
29、AB)=(+Ap)ABAD+AAb2+pAB1 Q=(1+x 2 x 2 x()+4(/1+4)=-2(1+.由题意可得，4,0,1 2=g,则一2(1+办)一”，.-2(l+,)+*q(当且仅当2=g时等号成立)，4AEAF的最小值为4故答案为：T T 7 T例21.(2022山西省长治市第二中学校高三阶段 练 习(理)菱 形A 8CQ中，AB=l,A e，点 是线 段4。上 的 动 点(包括端点)，则 而 丽 的最小值为.【答 案】-!#-0.2 54【解 析】【分 析】设 荏=AAD，运用向量的线性运算和数量积运算得E D E B =(l-/l)A D-(A B-A E)=22-(1+C
30、OS/1)/1+COSA,设 c o s 4 e 0,1 ,利用二次函数的性质可求 得 丽 丽 的最小值.【详 解】解：不妨 设 荏=2而，则 而=而-荏=(1 l-l)AB2+/lAB-AC=252(A-l)+/l-5-2-=2522-202,所 以 当 石一具;4时，丽.而 取得最小值为25x-20 xZ =-4.2x25 5 5故选：A例27.（2022全国高三专题练 习）在 凸 四 边形ABCD中，A B =B C =2,ZABC=1 2 0 且AACO为等边三角形，若 点E在 四 边 形ABC。上 运 动，则 丽丽 的 最 小 值 是（）A.-4C.-1D.3【答 案】B【解 析】分
31、 别 讨 论E点在每条边上运动时，向量点积的最小值，即可得到最小值.【详 解】如图所示，四 边 形4BCO关 于 直 线8。对 称，故 点E在 四 边 形A8CD上运动时，只需考虑点E在 边BC,8上的运动情况即可，易 知B C L C D,则 丽丽=0，当 点E在 边8C上运动时，设 丽=2而（0 4 2 4 1）,则 觉=（/一1）丽,/.EB ED=E B（EC+CD）=B EC=ACB（A-l）CB=42（A-l）,当/=；时，丽.诙 的 最 小值为T;当 点E在 边 8 上运动时，设 而=左 前（0VZ41）,则 反=（%-1）,EB E b =(EC+CB E D =E C E D
32、 =k-)CD k C D=n k(k-,当a=；时，丽.丽 的 最 小值为-3；综上，丽 丽 的最小值为-3；故选：B.【点睛】方法点睛：根据向量定义把向量点积转化为函数问题来求解最值.题型四：几何意义法例2 8.(2 0 2 2全国高三专题练习(理)已 知 平 面 向 量 人2满足7 5 =-3，卜-4 =4,二 与 很的夹角为?，则的最大值为.【答案】1+2百【解析】【分析】利用向量的模的运算求得|+母=2,设 平 面 向 量b，工 都是以。为起点，终点分别是4 8,c,求得平面向量Z+B的终点N的轨迹，由与2-另的夹角为?，得到C的轨迹，利用圆的性质得到|NC|的距离的最大值，即为所求
33、.【详解】解：S =-3 卜/一.=4,+,=彳+4 4,=2,如图所示，设平面向量2,5，2都是以。为起点，终点分别是4民。，则平面向量+石的终点N到O的距离为2,设 的 中 点 为M则|M N=1.N在以M为圆心，半径为1的圆周上.由与的夹角为?，.点C在以Z 8为弦的圆周角为？的优弧上，当GMN共线，且C,N在 直 线 的 两 侧，并且CA/J _ 4 8时，|C网最大，也就是，-目 取得最大值，此时|CM|=2为=1,|CW =1+2 0，AC故答案为：1 +2道.例 2 9.（2022上海市建平中学高一阶段练习）已知平面向量满足网=2,且a 与的夹角为135，则同的取值范围是.【答案
34、】（。，2应【解析】【分析】画出图形，表示 出 而=2，AC=Z?.从而确定NABC=45。，利用正弦定理得到同=2 0 s in C，结合C e（0,%）,求出同的取值范围.【详解】设 通=2，/如图所示，则与。=彳一,因为g 与，-a 的夹角为1351所以 NABC=45,因为AC=/|=2,所以由正弦定理得：|同_ 2 一年碇=而杳=正，所以同=2血 sinC，T因为。（0,：九），所以冏=2 0 山0 （0,2 a BC故答案为：(。，2 0 例30.(2022全国高三专题练习)在平面内，若有团=无万=1,忖=2,(3-0(2 1-1-5)=0,则己5的最大值为_ _ _ _ _ _
35、_.答案4【解析】【分析】由条件可以求得=(,从而可 作 方=&，砺=5,并连接A B,取AB的中点D,连接O D,则有/=字，根据条件可以得到g-Z)_L C-字)，可 作 诙=八 并连接AC,D C,从而可以得到A C1 D C,即点C在以AO为直径的圆上，从而得出 当 方 在 砺 卜.的投影最大时，最大.通过计算，即得出 反 在 函 上 的 投影最大值，从而得出小5的最大值.【详解】解：根据条件，M 5=|万 1151cos=2C OS=1；-1cos=!2=,如图，作 砺=,砺=5,则NAOB =1,连接A B,取AB的中点。，连接Q D,则而=生 也；2由(一 少)2己_ 汗_5)=
36、0 得，(c-d X c-)=0；2./一 八 /j 日+6、(c-a)(c )；2作 诙=C，连接AC,C D,则 而=3-4配=2:.AC.LDC；.C点在以AO为直径的圆上；当C运动到圆的最右侧时，丽 在 丽 上 的投影最大，即d石最大；又OG=O 4cosg=g,1 3:.GB=2 =-,2 2又 AB WS ABAG,且 AE=-AB,41 1 3 3所以 G”=G3=x _ =_,44 2 8所 以 反 在 而 上 的最大投影为1+3+3=女 友,2 8 4 8所以伍.研=上 马8 x 2=回，/m a x 8 4故答案为：7土 2守_ 一|11|Z与-9的夹角为1 2 0。，记2
37、 =勿+(1-。切 /?),网的取值范围为()A.G,+o o)B.3,+c o)C.l,+=o)D.J，+0 cl【答案】A【解析】【分析】设2 =西,5 =而，根据 与-石的夹角为1 2 0。，得至1/。他=1 2 0,n。4 7 =60,再根据m=t a+-t)b(te R),得到m,a,h的终点在直线A B上求解.【详解】设2 =画4=旃，如图所示:1 1 U li U ltl UU则 a-8=O A-O 8 =8A，因为 与 -石的夹角为1 2 0,所以 N Q 4 B=1 2 0 4 c =6 0,因为m=+e/?),且r +l T=l,正的起点相同,所以其终点共线，即 在 直 线
38、 上，所 以当正j.而 时，向 最 小，最 小 值 为5 无最大值,所 以 同 的取值范围为瓶甸，故选；A例32.（2022江苏高二）飞镖运动于十五世纪兴起于英格 兰，二十世纪 初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动.某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成.在 四 边 形4 3 co中，O A X O C,OA=OC=4,A C L B C,AC=8C,点尸 是 八 边 形A B C D E F G H内（不含边界）一 点，则 丽 丽 的 取 值 范 围 是（）【答 案】BA.（-16,48）B.M 8J6）C.（-16石,48石）D.（-48石,16石
39、）【解 析】【分 析】根据给定图形,求 事 而 在 函 方向上的投影向量长的范围即可计算作答.【详 解】在四边形 A8C。中，OA OC,O A =O C =4,A C B C,则 AC=BC=4&，且过。，分 别 作 直 线。力的垂线，垂 足 分 别 为M M,如图,D E=A H =A C =4 近,O N =O M =2 O A =S,/D E N =N H A M =45,因此,对任意点尸，过P作PQ，于0,而点尸是八边形A B C D E F G H内（不含边界）一点，当 点P在 四 边 形ABCO和 四 边 形EFGO内时，0 4 O Q 4,当点尸在四边形GHAO和四边形CDEO
40、内时,o oe0),则 反.两 的取值范围是()A.0,3)B.(0,3 0 C.0,9)D.(0,6应【答案】C【解析】【分析】由题意，判断得点C在线段尸2外，从而得VCOM是直角三角形，进而表示出cos N C O M=l,可得O C O M=d M ,由0 4|O M|0),所以P,Q,C三点共线，且点C在线段P Q外，因为点M为线段PQ的中点，所以O M L P Q,即VCOM是直角三角形，所以cosNCOM=幽，由数量积的定义可得：|以|OC-OM=OCOMCOSCOM=|OC|.|OM|-O M阿o c因为0 4|O M|3,所以OW|OM 9,即0 4近.诉+(y-2)2=5,所
41、以圆心C(l,2),半径r=6，设M N的中点为E,则|而+称|=2|国，因为|MN|=4,半径.=百，所以|CE|=JZ =1,所以点E在以C(l,2)为圆心，1为半径的圆上，所 以 附 的最小值即为圆心C(L2)到直线x-y+3 =。的距离减去半径1,PE=卜 -1=&-1 ,Im in J2所以|而+标|的最小值为2五-2，故选：A2乃例 35.(2022福建厦门高三阶段练 习)平面四边形N8C Z)中，45=1,A C=,ACLAB,ZADC=,则 而 丽 的最小值为()A.-百 B.-1 C.D.22【答案】D【解析】【分析】由题设画出示意图，易 得 亚 丽=-|而 IsinNC A
42、。且。在以B C中点。为圆心，OC为半径的劣弧AC上，根据圆的性质可 求 而 丽 的最小值.【详解】由题设，可得如卜.示意图，B所以 彷丽=|而|函cos4A Q=|而 函 co sg +4A D)=-ADABsinZCAD=-AbsinZCAD,因为NAOC=g2 IT,即。在以BC中点。为圆心，0 C 为半径的劣弧AC上，所以要 使 诟.福 的最小，B P|AD|sin ZCAD最大即可，由圆的性质知：当 为劣弧AC的中点时I而 IsinNCAO最大，又Z C=6,此时|诟|sin4 4。=g,故 而.而 的 最 小 值 为.故 选：DUUUl UUUI例 36.（2022安徽合肥一六八中
43、学模拟预测（理）已知NBC的外接圆半径长为1,则AB-AC的最小值为（）A.-1 B.C.D.2 3 4【答案】B【解析】【分析】先分 析 甜.品 取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.【详解】由题意，NA为钝角时，:加 腔 取到最小值；如图，E 为A 8的中点，正 在 而 上的投影向量为 亚；由 福 前=|而口前|cosA可知当前 在 丽 上的投影长最长时，即C D 与圆0相切时，涔.髭 可 取到最小值；I-.1 I UIHI|2 imn I uuu uuu 当 网=5 时,2网-2 网=-,所以力B M C 的最小值为一胃故选：B.例 3 7.（2 0 2 2 北京工业大学附
44、属中学三模）已知 向 量 满 足 忖=2,与方的夹角为60 ,则当实数义变化时，法-筋|的最小值为（）A.6 B.2 C.Vw D.2 后【答案】A【解析】【分析】有题意知，当作-匈，时，历-翁|取得最小值，过 8作 B E _ L Q 4,即|-常 取得最小值为忸耳，求出忸目即可得出答案.【详解】当口-匈时，丘-。|取得最小值,过 B作BEL04,即|5-花|取得最小值为忸目，因为“与5的夹角为60、所以 N B O A =60 ,N B E O =9 0。,|0 4=2 ,所以忸同=6.故选：A.例 3 8.（2 0 2 2 内蒙古海拉尔第二中学高三期末（理）已知平面向量入职*可满足同=1
45、,且 与的夹角为1 5 0,若e =（l-r）&+f 5 e/?）,则卜|的最小值为（）A.1 B.-C.；D.正42 2【答案】C【解析】【分析】设 通=，恁=石，则 及=5-2，可令丽）,可得出防=,结合图形可知，当AD _ L B C 时,线段A O最短，山此可求得|彳 的最小值.【详解】如图所示，设 通=,/=人 则 前=3-,可 令 丽=/,-）,则A D =A B+B D=&+r(5-a)=(l-r)a+/5 =e,点Z)在B C 上,因为Z 与7-的夹角为1 5 0，则Z A B C=3 0 ,当W B C 时，线段A D最短，此时也取最小值，即pL=|画 sin 3（T=g.故
46、选：C.例 3 9.（2 0 2 2 江苏高二）如图，己知四边形/B C D 为直角梯形，A B 1 B C,A B/D C,A B=,4）=3,N B A D 言,设点P为直角梯形Z 8 C D 内 一 点（不包含边界），则 福.福 的取值范围是（）【答案】A【解析】【分析】依题意过点。作。交8 4 的延长线于点E,即可求出A E,设 衣 与 丽 的 夹角为6,结合图形即可得到而 在 丽 方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】3解：依题意过点。作 D E _ L AS 交 8 4 的延长线于点E,则4 E=AD co s6（T =；,设 而 与 丽 的 夹角为。，因
47、为点尸为直角梯形AB C。内 一 点（不包含边界），所以而 在 而 方向上的投影|丽 g s 6,且-|AP|co s6 1.【详解】解：如图所不，设O A=a，A B =B a，则。8 =反因为Z 与 的 夹 角 为 6 0。,所以 z a 4 c=6 0。，则 N O A B =1 2 0 ,则 8为射线A D上的动点（不包括点A）,又问=1,即 网=1,所以由图可知，W 1.故选:D.OaA题型五：坐标法例41.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 向 量 日，月 满 足 忸+闸=3,欠=1,则 同+2忖+目的最大值为【答 案】5【解 析】【分 析】利用换元法令2G+万=(3
48、cos a,3sin a),5=(cossin/?),再将模的问题转化为三角函数问题，接着利用换元法和导数求得函数的最值.【详 解】令 25+=(3cosa,3sina),=(cos/?,sin0),2(1+B)=(3 cos a+cos 4,3 sin a +sin 尸)21=(3 cos a -cos 夕,3 sin a -sin?)，2a+b=J(3cos6Z+cosC)2 +(3sina+sin时=J10+6cos(a-3)，2|a|=J(3cos a -cos 0)。+(3sin a-sin/3),=J1 0-6 co s(/z-),令 S=|由+2|万+Z?|=万 一 J10-6c
49、os(a-夕)+J10+6cos(a-夕)，设1=8 5 -尸)(-啜1 1),则5=-710 6/+J10+6/,5=-/H-/.,2 2 2-710-6/2V10+6Z令5=0 =4(10-6。=10+6，=1,若 函 数s存在极值点，则r=l是 函 数s的唯一极值点，显 然，函数S在f=l取得最值，F=s =；.+后=5，故答案为：5.例42.(2022全国高三专题练 习)已知 石是平面上的单位向量，则 忖-%|+|+q的最大值是【答 案】造2【解 析】【分 析】先 设 =(1,0)3=(x,y),且x2+V=,再根据向量模化简忖_ 2画+q=J(1-2犷+(一2yI +J(1+,最后化
50、简整理结合柯西不等式即可求出结果.【详 解】设a =(l,O),石=(x,y),且 +%=1,if j j-2f t =(l-2x,-2y),a+S =(l+x,y),所以p -2闸 +归 +q=J(_ 2x+(_2y)2+J O +x f +y?=J 4 x，-4%+1+4 9 +y +2x+x2+y2=j 5-4 x +j 2+2x =2-x+立 J l +x当且仅当|六=7含，即x =；时，等号成立，所以卜-2 q+归+4的最大值为 乎,故答案为：巫.2例4 3.(20 22浙江效实中学模拟预测)已知平面向量诡满足同=1,|5-2万卜恸=2,卜-孙5=0,则p+M+归-a的最小值为.【答