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1、4.5导 数 的 综 合 运 用(精 练)(提 升 版)题 组 一 零 点 个 数 1.(2022 山 东 烟 台 二 中)已 知 函 数/口)=7_0*_1).(1)讨 论 y(x)的 零 点 个 数.(2)若 X)有 两 个 不 同 的 零 点 x”Xz，证 明：Xj+x2 4【答 案】(1)答 案 见 解 析(2)证 明 见 解 析【解 析】因 为/(1)=1*0，所 以 1不 是 人 功 的 零 点.当“外=#(1)=0,可 变 形 为 1=0,x-1令 g(x)=巨 二，则 X)的 零 点 个 数 即 直 线=与 g(x)图 象 的 交 点 个 数.x-1因 为 g，(x)=e：*3
2、 如)二,2,又 1,所 以 g(x)在(7,1),(1,2)上 单 调 递 减，在(2,+8)上 单 调 递 增.因 为 g(2)=e，且 当 xl时,g(x)0,所 以 当“0,e)时，x)没 有 零 点；当 aw(-oo,0)ue时,/(x)有 一 个 零 点;当 a e(e,a)时，/(x)有 两 个 零 点(2)证 明:由(1)知,当 ae+8)时，/*)有 两 个 零 点.设 王 石，Xj e(1,2),x2 e(2,+oo)-由 卜 g-a a-1)=0,得 e”F=L L L,eX2-a(x2-1)=0,x2-1所 以 X I-=皿*-1)-1?-1)，即 xl-ln(x1-l
3、)=x2-ln(x2-l)-令 h(x)=x-ln(x-l),x e(L+W,则 如)=1_1_=Z 易 得 M x)在(1,2)上 单 调 递 减，在(2,+8)上 单 调 递 增 要 证 玉 4，即 证/4-X 因 为 匕 2,4-演 2，且 人(x)在(2,+8)上 单 调 递 增，所 以 只 需 证(/)力(4 _须),因 为 力 a)=人(/)，所 以 即 证(再)人(4 一 再),F(x)=h(x)h(4 x)=x ln(x-1)(4 x)4-ln(3 x)=2x-4-ln(x-1)+ln(3 x),x(1,2)贝 U F x)=2-?+=2(x-2)二 尸=0,所 以(x)-(x
4、-4)0 因 为 占 e(l,2)，所 以&)可 4一 再)，故%+%4 2.(2022河 南 长 葛 市)已 知 函 数 x)=x(e+l)，a G-(1)当 a=2时，求 曲 线 在(i j)处 的 切 线 方 程；(2)讨 论 关 于 x 的 方 程 外 力=铲 7 的 实 根 个 数.【答 案】(1)”+1卜 力-2/=0 答 案 不 唯 一，具 体 见 解 析【解 析】当 4=2 时，/(X)=x(e2、+1)，r(x)=(2x+l)e2x+l-则 切 线 的 斜 率 为/-(1)=3e2+l-又/=e?+1，所 以 曲 线 y=/(x)在 处 的 切 线 方 程 是 y_(e2+l
5、)=(3e2+l)(x-l),li|1(3e2+l)x-y-2e2=0-(2)x)=e0-1 即 为 x(es+1)=e-1，化 简 得(1-x)e“-x-1=0,令 g(x)=(l-x)e、一 x-1，则 g(x)=(q-l-ar)e-1，令 h(x)=g(x)，则(x)=a(a-2-ar)e,w*令(x)=0,=X当 x,即(x)在 0c，纥 上 单 调 递 增；当 X 与 2 时，(x),即(x)在(空 2,+00)上 单 调 递 减.当 2 时，力(0)=-20，A(l)=-ew 1 0,所 以 存 在 7(0,1)，/(w)=0 X/；(-l)=(2a-l)e-a-l=26f-令 0
6、(Q)=2Q-l-e，(pa)=2-ea 0，所 以 q(a)在(2,+8)上 单 调 递 减,(pa)(p(i)=3-e2 0,即 人(-1)g(0)=0，乂 g=-20，所 以 存 在 玉 g(xJ=0；同 理,g(n)0，所 以 存 在 x?，g(x2)=0,由 单 调 性 可 知，此 时 名 卜)有 且 仅 有 三 个 零 点 0,乙，x 综 上，当 02时，g(x)有 且 仅 有 三 个 零 点，方 程 x)=e-l有 3个 实 根.3.(2022天 津 _ 模)设 函 数 y(x)=(x _ l)l n x _ x e7?,g(x)为/(x)的 导 函 数,求 g(x)的 单 调
7、区 间：讨 论 g(x)零 点 的 个 数；若 x)有 两 个 极 值 点 再,均 且 占 2.【答 案】(1)单 调 递 增 区 间 为(0,JJ，单 调 递 减 区 间 为(1,+8).(2)答 案 见 解 析(3)证 明 见 解 析【解 析】解：因 为/(x)=(x-l)lnx-x2+，(x0)所 以(x)=nx-2x-+m.即 8()=1 g 一 2 一，+加，8),则 g，(x)_ 2+,=M 2x+l)(xT).x X X2 X2，X(O,1)时，g(x)0，g(x)4调 递 增；当 X(l,+8)时，gX)0,g(x)单 调 递 减.所 以 g(x)的 单 调 递 增 区 间 为
8、(0,1)，g(x)的 单 调 递 减 区 间 为(1,+00).(2)解：由(1)得,8=g(l)=w-3,当 加 3时，g(x)3 时，因 为 g g(J_)=n L _ 2 o,g(；?)=In/n-w-In w加 3)nt m m所 以 叫 21，?)，g(xJ=g(X2)=0,故 g(x)在(0,+s)上 有 两 个 零 点.综 上，当 机 3 时，g)在(0,+司 上 有 两 个 零 点.(3)证 明：由(2)及/(外 有 两 个 极 值 点 小 马，且 芭，加 0,可 得 7 3，g(x)在(0,+8)上 有 两 个 零 点，且所 以 In X 2玉-F？=0XIn x?22-F
9、？=0 x?两 式 相 减 得 加-111-2卜 2-&）+至 x=0,即 屿 二 3+-2=0.xx2 x2-Xx XxX2因 为 l+*2 2dxX?,所 以-1-XX2（玉+%2）In x2-InXj 2下 面 证 明“f*+%,即 证 皿 逡 不 生._%+1须 Y 7/-?令=%1,则 即 证 in/_3，0.Xj f+1/.2/-2 1 A/4 _ 1 2令.m（t=n t-,，M 则.（t=7*一 4百 一 v-逅 V/八.协 以 加 在（,+oo）卜 甲.调 递 增，所 以 0（1）=0,故 史 上 幽 2x2-X|X|+x2X 0=lnx2-ln x1+J _一 2 _+_
10、_ _2,X2-Xj 工 俨 2 演+（X）+X2）以（X+工 2）（玉+工 2）2=（项+工 2 2）（X1+x2+1）0故 x,+x2 2 题 组 二 已 知 零 点 个 数 求 参1.（2022河 南 濮 阳 一 模（文）已 知 函 数/（x）=2x2_nx-讨 论 函 数 x）的 单 调 性；（2）已 知 f 0且 关 于 x 的 方 程/卜）=戊 只 有 一 个 实 数 解，求 的 值.【答 案】（1）当 时，在（，+）上 单 调 递 增；当 时，在（o 史 上 单 调 递 减，在（逐 用 匕 单 调 递 增.12 J（2）2【解 析】（1）/（制 的 定 义 域 为（，+8）,f（
11、x）=4x-=4 x 2-X X当 f4 0 时，r（x）0,则 函 数/（X）在（0,+8）上 单 调 递 增 当 时，令/（x）=。，解 得=更 2时,/（x）。，则 x）在 卜 固、上 单 调 递 减;当 x 卫+。/（力,则/a）在（迈 篇 上 单 调 递 增.I2,）12,）（2）关 于 x 的 方 程 月=枕 只 有 一 个 实 数 解，即 2/_ 八 g-田=0 只 有 唯 一 正 实 数 解.h（x）=2x2-t n x-t xi 则/（X）=4X，T=4/T X T，X X令（x）=,4/*_=0,因 为 解 得 工 一+1&（舍 去），/+向+，一 8 2-8当 工（0,工
12、 2）时 则（X）在（。,工 2）上 单 调 递 减；当 工（工 2，+0）时，（x）0，则（“）在（2+8）上 单 调 递 增，所 以“X)的 最 小 值 为 仁)要 使 得 方 程 2x2_ nxTx=0 只 有 唯 一 实 数 解，若，(彳 2)=0，则 2 2)=0,即 仔；-八 1 1-%=。，/?(x2)=0 4%2-tx2-/=0得 一 2八 1 1七 一 a 2=，因 为 0,所 以 1一 210 2-工 2=0 设 机(x)=l_ 2 I n x _ x(x 0),“何=一：_ 10恒 成 立，故 加(x)在(0,+8)上 用 调 递 减，M(x)=0 至 多 有 一 解.又
13、 因 为 洲(1)=0,所 以*2=1,即 上 正 正=,解 得=2.8/?(x2)0 r由 ir 上 得 21nM2-x,2 1,又,一 1 11 0,e e e e(t+Jt2+6t J+J/+1 6/+64 J+4,A(r+1)=2(/+1)2-Z ln(/+l)-/(z+l),8 8 0),，(f)=l-g 0，在()上，)单 增，故 肌 ln(t+l)，l/I(/+i)=2(?+l)2-/ln(r+l)-r(z+l)2(z+l)2-？-z(/+l)=3z+2 0,即 h3 f|,x2l(x2)/+l)各 存 在 一 个 零 点，不 合 题 意.综 上：f=2，2.(2022山 东 日
14、 照 三 模)已 知 函 数 x)=(x_2)e-or+alnx(aeR)-当=-1时，求 函 数/(x)的 单 调 区 间：(2)当 a 0 恒 成 立,X X所 以 当 X(0,1)时，/X)0,/(x)单 调 递 增，即/(X)的 单 调 递 减 区 间 是(0,1)，单 调 递 增 区 间 是(1,+00).(2)由 题 意,函 数 fx)-(x-2)ex-ax+alnx=(x-2)ex-6r(x-lnx),x0，设 皿 x)=l n x,x 0,则 M(X)=1,X X当 xw(OJ)时,加(x)0，加(x)下 调 递 出，又 由=所 以(x l，令 小)=。，可 得(x-2)e*e
15、+alnx=0,所 以 区 生 二 其 中(。)x-lnx,、(x-2)eJ/、ev(x-l)(2、令 g(x)=一 卜 一 可 得 g3=/F X-1I1X+:一 1,入 in)i(x Inx)k x)4,/i(x)=x-lnx+-l,则 Y(X)=_ _-4=*一:一？=(x 2)x+l)(xo),X v 7 X X X X可 得 0 x2时,(x)2时，(x)0,6(x)单 调 递 增；所 以 力 而=/?=2-ln20，即 x0时，力(x)0恒 成 立；故 0 x 1 时，gx)1 时，g，(x)O,g(x)单 调 递 增；所 以 g(x),“m=g=-e，又 由 x-0时，g(x)-
16、O，当 X T M 时，g(x)+0 0,函 数 g(x)的 图 象，如 图 所 示,结 合 图 象 可 得：当 a-e时，无 零 点；当 a=-e或 osae时，一 个 零 点；当 _”0时，两 个 零 点 3.(2022四 川 成 都 模 拟 预 测(理)已 知/(x)=x2e、-a(x+21nx)(1)当。=6时，求/(x)的 单 调 性；(2)讨 论 x)的 零 点 个 数【答 案】(1)/(X)在(0,1)上 单 调 递 减，在(1,+8)上 单 调 递 增；Q)当 O4ae，0 个 零 点；当 a=e或.e，2 个 零 点【解 析】,e R,求 出 函 数 的 导 函 数，即 可
17、得 到 函 数 的 单 调 性，从 而 得 到 函 数 的 图 象，数 形 结 合 即 可 得 解:因 为“=e,xo,/(x)=xV-e(x+21nx)所 以/(x)=，+2x)e*-e(l+2)=x(x+2)e*-e(+2)=(丫+2)e*-1，一 令 g(x)=xe，-?,g，(x)=(x+l)e，+,0,所 以 g(*)在(收)单 增，且 g=。,当 xe(0)时 g(x)=xe，-0,X X所 以，lxG(O,l)时/(X)o,所 以/(X)在(0,1)单 调 递 减，在 0,+8)单 调 递 增(2)解:因 为/(x)=eln?e*-a(X+2 In x)=ex+2lnx-a(x+
18、21nx)=0令，=x+21nx，易 知 f=x+21nx在(o,+8)上 单 调 递 增，且 f e R，故(x)的 零 点 转 化 为/(x)=e*-a(x+21nx)=e-af=0 即 e=a/，&R当 a=0 时 无 解，当 时 _1=二，令 咐=：,cR,(/)=?,所 以 当 士,当 1时/,所 以 a e e e“f)在(_%1)上 单 调 递 增，在(I,一)上 单 调 递 增,所 以(/)=:的 大 致 图 象 如 下:U 即 e 时，与 没 有 交 点，故 函 数 有。个 零 点；a e a e 当 Ji.=2i.或 _i L。即 a=e 或“n=_1 L与。t 有 1I个
19、 交 点，故 函 数 有 i 个 零 点;a Q a a e 当 0 上 i e时，歹=一 1 与 y t 有 2个 交 点，故 函 数 有 2 个 零 点；a e a e综 上：当 o v a 时，0个 零 点；当 a=e或”0时，1个 零 点；a e 时，2个 零 点；题 组 三 不 等 式 恒(能)成 立 1(2022安 徽 合 肥 一 六 八 中 学 模 拟 预 测(文)已 知 函 数=-依 卜 ix,g(x)=1-2 a x.(1)若 a=1,求 曲 线 y=f(x)在 点(1,/(1)处 的 切 线 方 程；若 当 x N l时，/(x)2 g(x)恒 成 立，求。的 取 值 范
20、围.【答 案】(l)x+2”l=。巨。4【解 析】(1)因 为/(x)=(x-l)lnx+g x-l,所 以/，(l)=-y又/。)=,所 以 切 线 方 程 为 y=-g(x-l),即 x+2y-l=0(2)由/(x)-g。)知&2 _ 可 1 nx 亨+2依 2 0,因 为 X 211 3所 以 5X111%-不 之 4(111工-2),当 x=/时。R J,x-xnx-x当 时，a 2 _4_,lnx-21 x 2 _4_lnx-21.3/、(21nx-5)(lnx-l)心、“/小 一 x In x x h(X)=-；构 造 函 数 人 幻;2 4,4(lnx-2)2lnx-2当 l x
21、 0,力(x)单 调 递 增，当 evxve?时，(x)0，力(x)单 调 递 减，故 I/时，力(x)2=M e)=5,因 此 a*当 e2cxe；,(x)l 时，单 调 递 烟，故 时，h(x)-=h e|=e，因 此。白/min综 上：a e,e42(2022 江 西)函 数 x)=e+sinx_4的 图 像 与 直 线 2x y=0相 切.求 实 数。的 值；(2)当 x w0,+oo)时，/(x)zwsin 2x,求 实 数 加 的 取 值 范 围.【答 案】(1)1;(2)旌 1.【解 析】(1)f(x)=e+sin x-a=fx)=eA+COSX 设 切 点 为(%,%,)，所
22、以 有/(Xo)=e+cosx。，因 为 2*_=0是 切 线，所 以 有 卜+cosx0=2,2%-%=0没(x)=e+cosx-2=h,(x)=ex-sinx 显 然 当 x 0 时，h(x)0,(x)下 调 递 增，所 以 有 h(x)h(0)=0，11 x 0 Hl ev 1,cos x 1 所 以 e,v+cosx-2=0 无 实 数 根，因 此 当 x e R 时，方 程 力(x)=e、+cosx_2=0 有 唯 一 实 数 根，即 x=0，是 由 演)=0=%=0，因 此 1 e+sin0-a=0=Q=1；(2)令 g(x)=e*+sinx-/?sin2x-l 则 g(x)2 0
23、 在 0,+oo)怛 成 立 g(x)=e+cos x-2m cos 2x-g(0)=2-2?若 2-2*0,即 a=时，当 0 4 x 4 工 时，由 cosxNcos2x得 g，(x)20,所 以 如)在 工 单 调 递 增，又 2 L 2；g()=,所 以 g(xR在 0,沙 成 立：当 时，e，/3 所 以 g O X i n x-m s i n Z l 8叱。呜+8)恒 成 立 若 2-2加 1时，g(0)=2-2 w 0，使 得 g(x)在(0,%)单 调 递 减，则 当 xe(O,x。)时，g(x)0 Rt g，(x)0，x 0 M，g(x)0，g(x)的 单 调 递 增 区 间
24、 为(0,+8)，单 调 递 减 区 间 为(一 8,0).(2)解：x 2 0 时，/(x)2/(O)=O 恒 成 立，f(x)=ex-k x-c o s x=e-+sinx,r(x)=r w,=e X+c o s x.x 0 时，/,(%)=ev+c o sx l+cosx0 二/()在(o,+8)上 单 调 递 增，7 T(O)=l-)t 若 1 4 1，x 0 时,/卜)1-无 NO，f(x)在 二 单 调 递 增，.,x 0时,/_ f(O)=O，/(x)在(O,+8)上 单 调 递 增，xN 0 时,x)2 0)=0恒 成 立；差：%1.”1)20.e k、.l A 2(e-l-s
25、 in l)右*,-1 sin 1之 U,，2f 0)=l-k e-2 e+2+3sinl|/2+2-e 3-e 0,在(0,+s)有 唯 一 解，设 为 天，且 当 0 x x。时，/(X)0 在 0,%上 单 调 递 减,二 X(0,Xo)时,/，(x)/，(0)=0，二/(x)在 O,X o 上 单 调 递 减，*,f(x)0,且 a w I)求 函 数/（X）的 单 调 区 间；（2）若 对“、使/&）_/卜 2）归 工-1恒 成 立，求 的 取 值 范 围.【答 案】（1）单 调 递 增 区 间 为（L+O0），单 调 递 减 区 间 为 6【解 析】x）的 定 义 域 为 R（x）
26、=-a-ln+2x-2+Ina=2（x-1）+（1-。-）l na（。0，目.”H l）显 见，=0.当 xl 时,2（x-1）0,x+1 0-打 0a 1 得 1-1向 o-若 a 则 lna0，0 a x+l 0 于 是，r（x）0二 当 x i 时，/（x）o,即 y（x）在。,+8）上 单 调 递 增 当 xl时，2（x 1）0若 0a 则 lna0，0ax+,0-于 是，r（x）则 lna0，a-x+,1,l-a-t+,0 是，/，（x）0.,.当 xl时,r(x)0即/(X)在(TO,1)上 单 调 递 减 综 上 得，/(X)的 单 调 递 增 区 间 为(1,+8)，单 调 递
27、 减 区 间 为(-00,1)对 V、z W O N,使|/(演)一/(乂 2)上)-1恒 成 立,即 对 v 中，小)1/(叫*：-1成 立 III(1)知 x)在 0川 上 单 调 递 减，在 1,2 上 单 调 递 增，得 卜(力 而=/(1)=1/（H L为/(0)和/(2)中 的 较 大 者/=。+1 一 Ina/（2）=a-1+1+Ina/（0）-/（2）=a-21na设 0（a）=a-2 1 n a,夕，（）=1+._2=（1 NO（仅 当“时 取 等 号）.a a a a），夕(a)在(0,1)上 单 调 递 增，在(1,+ao)上 也 单 调 递 增：主 忠 利 力(1)=0
28、.当 0al 时，0(a)O，/(0)l时，/(0)2)当 i时,/（”L-/（x）L=X 2）-/=/+1+1 曲-1=：+1皿 4：-1Hn即 In6r-1，得 za A0 a 4/Ie 当 1 时，(x)L-/(x)L=/(0)-/(l)=。+1 T n 1=Ina 4：-1即 a-lna+140(*)a设/）=111-2+1（1）,/;，（7）=_ _ 1+/1+3 0a，a a2 a 2J 4（a）在（1,+oo）上 单 调 递 增 当 a l时，力（。）%（1）=1不 等 式（*）无 解 综 上 所 述，对“、20,2,使|/（芭）-/（七）归：-1恒 成 立 时，”的 取 值 范
29、 围 为 卜 5.（2022北 京 八 十 中 模 拟 预 测）已 知 函 数 y（x）=：N 当 a=1时，求 函 数/（x）在（1 J）处 的 切 线 方 程；（2）求 函 数“X）的 单 调 区 间；若 对 任 意 xeL+8）,都 有 x）1Ve成 立,求 实 数。的 取 值 范 围.【答 案】（1严 一 2y+e=0；答 案 见 解 析；（3）a-L【解 析】由 题 设，/（x）=且 则 八 x）=e（当 1）,y/X 2Xy）X所 以，/W=|（故 X）在（1 J（D）处 的 切 线 方 程 为 ex-2y+e=0 由/(x)=e,(当 3 且，2xyJX当 建。时 八 x）0,即
30、 八 对 在 定 义 域 上 递 减；当 时，在（0,）上，,递 减，在（一,+00）上，递 增，2a 2a综 上，“时”X）递 减；时/3 在（0二）上 递 减，（_L,+oo）上 递 增.2a 2a（3）由（2）,“时”刈 递 减 且 T l*）值 域 为（0，e）,显 然 存 在 x）w 已；时，/的 极 小 值 为/（；）=后，2a当-1,即 0”:时，/在 1,-L）上 递 减，（-,+00）上 递 增，只 需 小；,可 得 号。1：2a 2 2a 2a Ve 2e 2当-L w l,即 会 时，刈 在 口+8）上 递 增，则/=e；恒 成 立，满 足 题 设；2a 2 加 综 上，
31、。的 取 值 范 围 为。表.6.（2022海 南 海 口 二 模）己 知 函 数 f（x）=ei+a（x2-l），a e R.（1）若”=L 求/（）的 最 小 值；2（2）若 当 苫 1时，/（x）g+lnx恒 成 立，求。的 取 值 范 围.【答 案】（1）1（2）g,+oo【解 析】（1）当 a 时，）=6+1（?-1），所 以/(x)=-ei-*+x，易 知/(x)单 调 递 增，且/=0，当 xe(-o o,l)时,f(x)0 所 以/(X)在(-8,1)上 单 调 递 减，在(1,+00)上 单 调 递 增，所 以/(X)的 最 小 值 为 了=1.设 g(x)=e,-Y+67(
32、x2-l)-1-l n x,由 题 意 g(“)对 任 意”(1,x)恒 成 立.g x)=-ex+lax+,x x若 a L 则 g=2 l 1,使 得 当 x e(l,x。)时，g(x)0,2所 以 g(x)在(1,%)上 单 调 递 减，故 当 x e(l,x0)时，g(x)x+l 知 当 x 时，ev l x 0)所 以 2 x西 白 ID*，g(%)=e x+2o.C IX H-、-F _X d-=-x-3-2-x-+-1-x-2-2-x-+-1-X X X X X X2 X2因 此 g(x)在(,+8)上 单 调 递 增.又 g(l)=0，所 以 当 x l时，g(x)0 a r
33、i 综 上，的 取 值 范 围 是 L+oo.7.（2022山 东 烟 台 三 模）已 知 函 数,（力=讹 _仙（工+1）（w R）证 明：当 a 0 时，函 数/(x)存 在 唯 一 的 极 值 点:(2)若 不 等 式/(x)zcos(a_l)恒 成 立，求。的 取 值 范 围【答 案】(1)证 明 见 解 析(2),用)【解 析】函 数/(0 的 定 义 域 为(T,+8)，1+1f x)=aexX4-1 X+l令 g(x)=Q(x+l)e-1(x-l)则 g(x)=ae(x+2)因 为 所 以/0，x+2 0，当 心 0 时，8，(力 0 在(_1,+8)上 恒 成 立，所 以 函
34、数 8 在(T+OO)上 单 调 递 增,由 g(_l)=_l0.又 当 7加 时，g(x)f+8，所 以，存 在 唯 一 的 X o 4 T+o o)，使 得 g K)=0，当 x e(-L/)时，g(x)0，即 八%)0 5所 以 函 数/(x)在(*0,+8)上 单 调 递 增 所 以 函 数/)存 在 唯 一 的 极 值 点.不 等 式/(x)Ncos(a-l)恒 成 立，(x)=aer-In(x+1)-cos(a-1)0 在(T,+oo)上 恒 成 令/()=a-COS(Q-1)，acR,所 以/f(q)=l+sin(a-1)20，所 以“4)在(-8,+00)上 单 调 递 增，乂
35、(1)=1 _COS0_ 1)=0，则 aNl 时 外/1(/1(1)=0,所 以，Ji%=0 HJ/(0)=Q-COS(Q-1)2 0怛 成 立，即/()人，则 看 a令 m(x)=ex x l9 则 mx)=ev-1当 x 0 时，?(x)0,7(x)单 调 递 增；当 x 0 时，m(x)T),则，=1 _ _ L=X+l X+1当 x 0 时，nr(x)0,(工)单 调 递 增；当-lvx-1)在 x=0 时 取 得 最 小 值“(0)=0-ln(0+1)=0则 x21n(x+l)(当 且 仅 当 x=0 时 取 等 号).因 为 d(x)=ae 彳，当 a=1 M=e-ln(x+l)
36、-l(x+l)-l-ln(x+l)=x-ln(A-+l)0(当 且 仅 当 x=0 时 取 等 号).令 k(x)=a e-一,X T，+8)X+l当 1 时，(x)=ae+丁 0,所 以(X)口 在(T+00)上 单 调 递 增，w(o)=i o/i、i-i(p I 11=aea-a a-a=0 f所 以 叫 e(-l,O),使 d(x0)=O,即 a*_ _!_=0,即 x+lna=-ln(xo+l),%+l所 以，当 3-,彳 0)时，d(x)0，倜 递 增，所 以,伊(x)2 0(%)=ae-ln(x0+1)-cos(a-1)=%+1+x0+Ina-cos(a-l)=-4-l+x0 4
37、-lna-cos(a-l)-l 2/-(l+x0)-l+lna-cos(a-l)I 1 I 1=l+lna-cos(a-l)20 所 以,a 的 取 值 范 围 为,+oo).8.(2022新 疆 克 拉 玛 依 三 模(文)已 知 函 数 x)=xlnx，g(x)=-x2+ax-3(a G R)(1)求 函 数/(X)的 单 调 递 增 区 间;(2)若 对 任 意、(0，+8),不 等 式 恒 成 立，求”的 取 值 范 围.【答 案】(1)卜+8)(2)(，4【解 析】(l)/(x)=xlnx定 义 域 为(0,+oo),fr(x)=Inx+1/(x)0 niI lnx+1 0 会 加
38、1 匚 匚”/(x)4/1、品、国 F 的 即 解 得 x-所 以 在(一,+8)隼 倜 速 增 e e(2)对 任 意 xe(a+),不 等 式/(x)2!g(x)恒 成 立，即 如 北；(7+如-3)恒 成 立,2 23分 离 参 数 得 a 21nx+x+.x令 Mx)=21nx+x+?xw(0,+oo),则(x)=(t 1)当 x w（O,l）时，Ar（x）0，A（x）在（0,1）上 单 调 递 减;当 X e（1,+8）时，/（X）0,力（X）在（1,+8）调 递 烟.所 以 6（x）min=（1）=4，即 a V 4，故。的 取 值 范 围 是（_oo,4 题 组 四 证 明 不
39、等 式 1.（2022河 南 高 三 阶 段 练 习（理）已 知 函 数/（x）=Mnx,/）=/W _x+l.J X X 求 函 数 g（x）的 单 调 区 间；（2）若 方 程/（x）=机 的 根 为 xJ 4 且 七 m，求 证：x2-xf 1+em-【答 案】（1）单 调 递 减 区 间 为（0,+8），无 单 调 递 增 区 间；（2）证 明 见 解 析【解 析】解：因 为/（x）=xMx,/）=2/M _x+l.X X所 以 8（）=2 m 一+：定 义 域 为（，+8）,v 7 X X2 X2 X2所 以 g（x）在（0,+oo）上 单 调 递 减,即 g（x）的 单 调 递 减
40、 区 间 为（0,+8），无 单 调 递 增 区 间;(2)证 明：/(x)=xlnx/,(x)=l+lnx，当 0cx 时/当 x/时/(*)e e所 以 一（X）在（0,1）上 是 单 调 递 减,在(L+8上 单 调 递 增,则=/(卜 当 X1 时，/（x）=xlnx0,所 以 且,0,e e当 xe（0）时，皿（一 1,所 以 即/（x）-x,设 直 线 了=-与 卜=加 的 交 点 的 横 坐 标 为 七，则 芭 三=-机=-西 加 芭，下 面 证 明 当 时，x）士（XT），设 g)=xl 百 与 口),m(x)=n x-+!e-1(e-l)x贝 胴 十 忌?(e T)x T(e
41、-l)x2当!X 一 时,加(x),当 _LX0,e e-1 e-1所 以“在（士 白）匕 是 减 函 数，在（T）匕 增 函 数，又 因 为 m g）=O,心（1）=，所 以 当 L x l时，（幻,心）e故 当 X G，时，/（力（-1），设 直 线 y=L（x-1）与=的 交 点 的 横 坐 标 为 匕，则 X,=1+（e-1）加，e-l所 以 一 工 x4-x3=+em，得 证.2.（2022山 东 模 拟 预 测）已 知 函 数/*）=x l n x-a（x-l）,其 中 a e R.（1）求 函 数“X）的 单 调 区 间；当 昨 0 时，证 明：f（X）X y；方 程 有 两 个
42、 实 根 为 2,且 演，求 证：X X 1+1+2?.-e2【答 案】（1）单 调 递 减 区 间 为（0,eT），单 调 递 增 区 间 为（e“L y）证 明 见 解 析；证 明 见 解 析【解 析】解：函 数 的 定 义 域 为（0,+8）,函 数 的 导 数 f（x）=i+inx-a=0,解 得%=尸 所 以 当 x e（0,eT）时，此 时/（x）0，函 数/（外 单 调 递 减 区 间 为（0,b），所 以 当 x e（e T+o o）时,，此 时 广（乃 0,函 数/（X）单 调 递 增 区 间 为（尸,+8），所 以 函 数 单 调 递 减 区 间 为 单 调 递 增 区 间
43、 为 卜“工+8)当”0时，要 证 不 等 式/(%)之 一 工 一 成 立，即 证 明 xlnxN-x-，r成 立.即 证 明 工 1 口 工+工+4 2 0 成 立.e e e令 g(x)=xlnx+x+4e,g(x)=lnx+2当 工 0尸 2)时，此 时 g(x)0，所 以 g(x)在(o,e-2)单 调 递 减，在(e-2,+oo)单 调 递 增 所 以 g(x)最 小 值 为 g(e-2)=0，g(r)0恒 成 立，即 x-二 4 xln X恒 成 立 得 证.e 由 得 x l n x x-4 恒 成 立，即 直 线 y=-x-始 终 在 曲 线，=x ln x下 方 或 有 唯
44、 一 切 点,e e又 结 合(1)可 知 x)=x ln x单 调 递 减 区 间 为 卜)，单 调 递 增 区 间 为 11,+8所 以 当 x=l_时 x)=xlnxe取 最 小 值 VeJ e e e且 当 xfO 时，/().0；当 x=l 时，/(x)=O；当 xl 时，/(x)0.所 以 方 程 有 两 个 实 根 占*,则,(用 0,KOx,ix2l.e ei y=jfl f _2，/由 直 线 y=-x-=与 联 立 解 得 交 点 的 横 坐 标 x=T e,显 然 x e因 此，要 证 工 2-芭 1+4+2加，只 要 证 与 一 X l+1r+2 m 即 可 e e即
45、证/+加+5 1+5+2加，即 证“21+加 即 可 又 因 为 冽=工,姑 马/1，所 以 只 耍 证”21+/由/e令 a(x)=x-x In x-1,x 0 恒 成 立 e所 以=*一*M x-1在 J,l)单 调 递 增，即 人(x)“=0所 以 x?一 再 1H*-y+2?得 证，原 命 题 得 证.3.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/卜 卜/一？求 力 的 最 小 值，并 证 明 方 程/(f(x)=/(x)有 三 个 不 等 实 根；(2)设 中 方 程 y(/(x)=/(x)的 二 根 分 别 为 X,%，X3，且 芭 In x,【答 案】(1)最 小
46、 值 为/0)=1，证 明 见 解 析；(2)证 明 见 解 析.【解 析,=2(l)(x+l),当 XG(O,1)时，,/(尤)0,y(x)单 调 递 增,故 f(x)的 最 小 值 为/(1)=1.设 切=/(x)，则 方 程/(f(x)=/(x)变 形 为 人 机 尸 7，即/(，)-尸 0,令 g(机)=/(m)一 n=m2-m 2nm 1m G l,+oo)，则 g,W)=2加-l-2=，由 2机 2一 机 _2=0 得 机 二 生 叵 m m 4因 此，当 mul,l+后)时，g(力，g 单 调 递 增.由 于 g=,故 g 4+后 0,由 零 点 存 在 定 理,存 在(1+小
47、J机。4，g(砥)=0使 得 g()mo有 两 个 零 点 1和 方 程/(?)=有 两 个 根 m0O X|1 X3 X则 如 图，网=1时，因 为 切 而.：,故 方 程/卜)=1有 一 个 根 吃=1，下 面 考 虑/(力=/解 的 个 数，其 中”,/1+而 21，“%匕 4，乙/设 s(x)=/(x)-%，结 合 X)的 单 调 性 可 得：s(x)在(0,1)上 为 减 函 数，在(1,+00)上 为 增 函 数,而 S(l)=/一/，5卜 咋 厂。0,。1，I 7故 s(x)在(0,1)上 有 且 只 有 一 个 零 点，s(e。)=e2-2ffl0，设(x)=e2t-2x,x
48、l故/(x)=2e2*-2 0,故 w(x)0 即 s(e%)0，而 e1。1，故/(x)-%在(1,+8)上 有 且 只 有 一 个 零 点,故/()_/=0有 两 个 不 同 的 根 x j 匕 且 0 内 1 七，即 方 程/(/(盯)=/(盯 共 有 三 个 不 等 实 根；0%=1七 2/(演)=/(看)=/+a 由 知，且 满 足，机。，2,/令 尸(x)=/(e i)-/(x)，x e(l,+8)，则 F(x)=-e,-rr(eI-A)-/(x)=-2e2-2 x+2-2x+-=-(-x e22 x+x-x2+1),令 x)=-xe2-2x+x-x2+l 则/(%)=(2x-l)
49、(e2-2r-1),当 工 w(l,+oo)时，(%)单 调 递 减，又(1)=0，当 x e(L+8)时，/z(x)09 Fz(x)0,/(%)单 调 递 减，.=/(e)-/(l)=O,.F(x)。,即 尔 r)/(x).七 1，珂，.J(e f)x,1 x3 In x2 x3 In%1 原 命 题 得 证.4.(2022 湖 南 长 沙 一 中 一 模)已 知 函 数 x)=(x+4(e _ a).(匕。)在 处 的 切 线/方 程 为(e-l)x+ey+e-l=0-(1)求 Q,b,并 证 明 函 数 y=/(x)的 图 象 总 在 切 线/的 上 方(除 切 点 外)；若 方 程/(
50、司=加 有 两 个 实 数 根 匕，且*、2.证 明：G+巴。二 至 1.1-e【答 案】(Da=l,b=l;证 明 见 解 析(2)证 明 见 解 析【解 析】解：将 x=-l代 入 切 线 方 程(e-l)x+w+e-l=O,有 蚱，所 以/(T)=,所 以/(_i)=(_i+b)g-a1=O，又/(x)=(x+b+l)e-j 所 以 y-(_1)=1 _a=.i+l,H若.。=一 1，则 1Il,/?=2-e 0)=0,/(-1)=0设 x)在(T O)处 的 切 线/方 程 为 y=M x)=_ i1x+l)，令 尸(x)=f(x)-力(X)，即/xjHx+lXe _ l A l L