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1、矢量分析与场论第一章矢量分析一内容概要1矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函 数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究 过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析 中的推广。2本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数4（。，但在后边场论 部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函 数4（占），）或者A（mn，z）,对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导 数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其 有关的相应概念加以推广而得出。3本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢4（。的几何意 义，即4
2、（，）是位于4（，）的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线 上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为4 = 4（5）,则4（s） =不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量，而且是一个单位 as切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。4矢量A（r）保持定长的充分必要条件是A与其导矢4（。互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数M，） = cosfi + sin3为单 位矢量，故有此外又由于。故矢）（圆函 数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。5在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函 数的矢量积的分部积分法公式
3、有所不同，分别为：（1 ）A = xy2z2i + z2 sin yj + x2eyk ,求山M和/54。11三种特殊的矢量场。即有势场、管形场和调和场。其中以有势场 为重点。设矢量场A为有势场，是指在场中存在单值函数（）满足：A = graclu,称函数v =为这个场的势函数。从而矢量A与其势函数v 之间存在下列关系：A = -gradv,但在流体力学中，也直接把定义为 矢量场A的势函数。12具有曲线积分f与路径无关性质的矢量场A称为保守场。如Jab静电场、引力场、重力场都是保守场。根据第五节定理1及其证明， 可知：在线单连域内，“场有势”，“场无旋”，“场保守”以及“表达 式A.4= Pc
4、/x+Q6fy+&/z为某个函数的全微分（这个函数叫做表达式 AW7的原函数）”这四者是等价的。一般通过考察场A是否无旋，即 是否有加丛=0来判断其余三者是否成立。由此知：若有加3 =（）,则A.力存在原函数，且此原函数就是满 足A = gradu的函数（M）,它可以用如下公式来计算出：“（X, X z） = J： Mx, %, z0 总 + J 2（x, y, z0 My + J： R（x, y, z）7z + C其中（x。,%,z。）为场中任意一点，为了计算简便通常取为坐标原点；C 为任意常数。容易看出，在求得后，有势场A的势函数八-就随 之得到了。此外，若A为保守场，则曲线积分九A .成
5、=) |卜- 其中(M)为A4的一个原函数，可用上面公式求出。计算曲线积分 的这个公式与计算定积分的牛顿一莱布尼茨公式完全相似，都是通过 原函数来计算，用起来很方便。13矢量场A为管形场，是指它恒有散度力M = 0,即A为无源场。管 形场中存在矢量8满足加出=A，矢量夕叫做管形场A的矢势量。教 材为了说明它的存在，直接给出了从已知管形场矢量 A = P(M)f + G(M)j + /?(M计算其矢势量3 = Ui + V +皿的如下计算公 式：U 二Q(x,y,zWz-R(尤,y,ZoM)， L。JJo0时 则S内必有产生通量的源头；(2)当中0 VAV它是一个数量，表示此矢量场在这个点处散发
6、通量或者吸收通量的强 度。具体来说，散度以绝对值表示在该点处源的强度大小。当其不为 零时，以正负号表示该点处的源为正源或者负源；当其为零时，则表 示该点无源，从而将散度恒为零的矢量场称为无源场。与散度相对应 的场称为散度场。由于散度场为数量场，故亦可通过其等值面、方向 导数和梯度等来揭示其分布规律和变化情况。在直角坐标系中，矢量场A = P(M)i + Q(M)/ + RGw,在点M处的散度表示式为:7 4 dP dQ OR div A =+ dx dy dz由此可以得出奥氏公式(高斯定理)的矢量形式为：丹 A . 4S = jjj divAdV sQ此式表明了通量和散度之间的一种关系：穿出封
7、闭曲面S的通量，等 于S所包围的区域。上的散度在上。的三重积分。P52散度的基本运算公式。典型例题p44例1, p52例4,例5,习题4。(1)设S为由圆柱面/ +)3 =/及平面z=()和z = 所围成的封闭曲 面，求，=.显+0+Z4穿出S的柱面部分的通量。(2)已知 A = (cixz +- + xy2)j + (z- z2 + cxz- 2xyz)k，试确定阿 a, b,。使得A是一个无源场。(3)求矢量场 A =(3x2 - 2yz + (y3 + yz2 )j + &yz - 3xz2 k 所产生的散度场 通过点的等值面及其在点M处沿Ox轴正向的变化率。(4)已知 g/zzd(dM
8、(r)r) = O,其中/* =疝 + 0+zk, r =|r| ,求/(厂)。8矢量场A沿有向闭曲线/的环量= fA.力也是从某些物理量，如力 I场中的功、流场中的环流以及磁场中的电流强度等概念抽象形成的一 个数学概念，和通量概念的形成极为类似，通量是一个曲面积分，环 量是一个曲线积分。二者在矢量场中都是一种整体性的概念，为了研 究矢量场的局部性质，前面从通量引入了散度，这里又可以从环量引 入环量面密度的概念：在矢量场A中的一点M处，取定一个方向为，再经过点M处以为法矢作一微小曲面婚，同时以与表示其面积，其边界/之正 向与法矢构成右手螺旋关系，则场A沿/之正向的环量与面积AS之比，当AS沿其
9、自身缩向M点时，其极限就称为矢量场A在点M处沿方向的环量面密度（就是环量对面积的变化率），即:jAc/l可见，环量面密度概念与散度概念（通量的体密度）的构成是非常类 似的，二者都是一种局部性的概念。设矢量场A = P（M）i + QW）j+R（M,，则场A在点M处沿方向的环量面密度在直角坐标系下的计算公式为:4” = (Ry _ Qz )cos +(E - R)cos0 + 依- pjcosy9环量面密度与散度这两个概念的构成虽然很相似，且都是一种变化 率，但二者有着重要的差别，这就是：散度和矢量场中之点能构成一 一对应关系，二环量面密度不仅与场中的点位置有关，而且还与从该 点出发的方向有关，
10、从一个点出发的方向有无穷多个方向，对应的也 有无穷多个环量面密度的值，所以，换辆面密度与矢量中的点不能构 成一一对应的关系。环量面密度和散度的上述差别正是环量面密度和方向导数相一 致的地方。这就诱导我们去寻找一种矢量，使它在一个点处和环量面 密度之间的关系恰如梯度和方向导数之间的关系一样，循此探索，就 得出了旋度的概念。10矢量场A在M点处的旋度/4,是这样一个矢量，它在任一方向 上的投影，就等于场A沿该方向的环量面密度，即有：，叫 A = 4由此可知：旋度的方向就是环量面密度最大的方向，其模也就是这个 最大环量面密度的数值。如果把旋度,“4与矢量场A中的点一一对应 起来，又得到一个矢量场，叫
11、做有矢量场A产生的旋度场。对于那种恒有3/4 = 0的矢量场，叫做无旋场。矢量场4 = P（M）i + Q（M）/+R（MM的旋度，在直角坐标系下的计算公 式为：.=低- 0 ） + 但一 Rjj + - P、ijk或者写为：rot A =g dxdxdxPQR据此可以将斯托克斯公式写成矢量形式：,A 力=（加/A） dS/ s此式表明了环量和旋度之间的一种关系：即沿有向封闭曲线/的环量, 等于旋度沿与I的方向构成右手螺旋的方向穿过以/为边界的曲面S 的通量。旋度之所以得名是因为在流场中速度的旋度恰好是流场中该点 旋转角速度矢量乘上一个常数2,即加”=为。P65旋度的基本运算公式。典型例题：p58例1, p60例2, p63例3, p65例6,习题5。