《2023年高考数学热点解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学热点解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题（解析版）.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、圆 锥 曲 线 中 的 定 点 问 题 思 路 引 导 处 理 圆 锥 曲 线 中 定 点 问 题 的 方 法：（1）探 索 直 线 过 定 点 时，可 设 出 直 线 方 程 为 J=h+J,然 后 利 用 条 件 建 立 院 机 等 量 关 系 进 行 消 元，借 助 于 直 线 系 的 思 想 找 出 定 点.（2）从 特 殊 情 况 入 手，先 探 求 定 点，再 证 明 与 变 量 无 关.母 题 呈 现 考 法 1 参 数 法 求 证 定 点【例 1】（2022临 沂、枣 庄 二 模 联 考）已 知 椭 圆 C：，+，=1 5 6 0）的 离 心 率 为 旁，其 左、右 焦 点 分
2、 别 为 Fi，乃，点 P 为 坐 标 平 面 内 的 一 点，且|办|=3,可 户 户 2=3，O 为 坐 标 原 点.2 4（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）设 为 椭 圆 C 的 左 顶 点，A,8 是 椭 圆 C 上 两 个 不 同 的 点，直 线 M4,的 倾 斜 角 分 别 为 a,p,且 a+.证 明：直 线 恒 过 定 点、，并 求 出 该 定 点 的 坐 标【解 题 指 导】【解 析】（1）设 尸 点 坐 标 为（x o,次），F i（-c,0）,尸 2（c,0）,则 另 1=(c-x(),y o),另 2=(。xo,yo)看+4,由 题 意 得 3xo+c XQ-C+
3、用=,4解 得 0 2=3,C=T 言，g/.h2=a2 c2=i.所 求 椭 圆 C 的 方 程 为?+y 2=l.(2)设 直 线 Z4 方 程 为 A(xf y)t 8 a 2,歹 2).(r21+v=l,联 立 方 程 4 消 去，得 y=fcv+z,(4k2+l)x2+8kmx+4 於 4=0./.X l+X 28km 4 加 24-：,XX2=-4 F+1 4+1又 由 a+夕=3，/.tan a tan=1,设 直 线 M B斜 率 分 别 为 左 i,k i,则 加 12=1,yi A x i+2 也+2即(X+2)(x2+2)=/.(xi+2)(x2+2)=(fcq+m)(k
4、x2+M,/.(A r2-1)x1x2+(km-2)(xi+用)+户-4=0,(公 1)+(km-2)()+w24=0,4+1 八 4 M+/化 简 得 20R 16km+3 於=。,解 得 rn=2kf 或?3当 7=2%时，y=k x+2 k9过 定 点(一 2,0),不 合 题 意(舍 去).当?=也 攵 时，y=k x+k,过 定 点(一 1 2,0),3 3 3二 直 线 4 8 恒 过 定 点(-y,0)【例 2】（2022福 建 漳 州 三 模）已 知 抛 物 线 C:/=4 x 的 准 线 为/,M 为/上 一 动 点，过 点 M 作 抛 物 线 C 的 切 线，切 点 分 别
5、 为 4 反（1）求 证：A M 4B是 直 角 三 角 形;（2）x 轴 上 是 否 存 在 一 定 点 P,使 4 P,8三 点 共 线.【解 题 指 导】|直 线 与 圆 相 切 户 判 别 式 为 O p 豌 A,B 坐 标 6 加 2相 等 列 方-T O 激 卜 丽 座 标|矩 直 线 与 抛 物 线 联 立 卜 根 与 系 数 的 关 系【解 析】（1）由 已 知 得 直 线/的 方 程 为 x=-l,设（-1,机），切 线 斜 率 为 上，则 切 线 方 程 为 y-m=Mx+i)，(2分)将 其 与 V=4x联 立 消 X 得 2 一 4y+4(加+%)=0.所 以 A=l6
6、-6k(m+k)-0,化 简 得 人 2+相 1=0,(4分)所 以 左 人=-1，所 以 刈，监.即 是 直 角 三 角 形.(6分)(2)由(1)知 A=16-16曲 加+)=0时,2方 程 与/一 4y+4(，“+)=0 的 根 为 y=:k设 切 点 4(方 J?)2 2则 M=/，%=匚.因 为 他 2=T，K K24,所 以 必%=7 1=-4.(10分)设 L：x=y+t,【点 拨】由 M 点 出 发 向 抛 物 线 作 量 条 切 线，则 切 点 A,B所 在 直 线 与 抛 物 线 有 两 个 焦 点 且 其 斜 率 不 为 零 与 V=4 x 联 立 消 x 得/-4 d-
7、4，=0,则%力=一 期，所 以 4/=-4,解 得，=1,所 以 直 线 过 定 点 尸(1,0).即 x 轴 上 存 在 一 定 点 尸(1,0),使 4 P,8三 点 共 线.(12分)【解 题 技 法】圆 锥 曲 线 中 定 点 问 题 的 两 种 解 法(1)引 进 参 数 法：引 进 动 点 的 坐 标 或 动 线 中 系 数 为 参 数 表 示 变 化 量，再 研 究 变 化 的 量 与 参 数 何 时 没 有 关 系，找 到 定 点.(2)特 殊 到 一 般 法：根 据 动 点 或 动 线 的 特 殊 情 况 探 索 出 定 点，再 证 明 该 定 点 与 变 量 无 关.【跟
8、 踪 训 练】v2(2020新 课 标 I卷 理 科 汨 知 4 8 分 别 为 椭 圆 氏/+_/=1(介 1)的 左、右 顶 点,G 为 E 的 上 顶 点，就.面=8,P 为 直 线 x=6上 的 动 点，R1与 E 的 另 一 交 点 为 C,P B 与 E 的 另 一 交 点 为 D.(1)求 E 的 方 程；(2)证 明：直 线。过 定 点.【解 析】（1）依 据 题 意 作 出 如 下 图 象:.就=(4,1),G5=(a,-1)-4,0),8(4,0),G(0,l)赤=/T=8，a2=9，椭 圆 方 程 为：-+j2=（2）设 尸（6,%）,则 直 线 4 P 的 方 程 为：
9、念 尚（3）,即：y=/（x+3）联 立 直 线 的 方 程 与 椭 圆 方 程 可 得：X2 2,彳+y=1y，整 理 得:尸 等(x+3)(%2+9卜 2+6%2+9%281=0,解 得：户 _3或*=3与+：7%+9将 户 书 三 代 入 直 线 y 4（x+3）可 得:，=毁 所 以 点 C 的 坐 标 为 7 6%I 4+9%2+9)同 理 可 得：点。的 坐 标 为 3%2一 3、九-2%当 或 H 3H寸，直 线 的 方 程 为:2%8y0(%+3)整 理 可 得：+-=77 rr%-+1 6 9 f 4)整 理 得：尸 谭 引+2为 仪%2-3 3（3-j/02）x-|所 以
10、直 线 C O 过 定 点（射）.当*=3 时，直 线 C O：x=|,直 线 过 点（去 0）.加 故 直 线 8 过 定 点（2）.考 法 2 先 求 后 证 法 求 证 定 点【例 3】（2022合 肥 一 中 模 拟 预 测）已 知 椭 圆 C:+/l（ab21）的 离 心 率 为 日，其 上 焦 点 到 直 线 bx+2-J I=0的 距 离 为 也.,3（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）过 点 P（；,0）的 直 线/交 椭 圆 C 于 A,8 两 点.试 探 究 以 线 段 2 8 为 直 径 的 圆 是 否 过 定 点？若 过，求 出 定 点 坐 标，若 不 过，请 说
11、明 理 由.【解 题 指 导】（1）椭 圆 离 心 率 T 焦 点 到 直 线 的 距 离 一 房 二 配+.列 方 程 组 求&b 的 值.椭 圆 方 程；（2）当 直 线/斜 率 不 存 在 时 A B 为 直 径 的 圆 的 方 程 T 当 直 线/斜 率 为 0 时 一 A B 为 直 径 的 圆 的 方 程 T两 圆 的 交 点 QT 当 直 线/的 斜 率 存 在 且 不 为 0 时 以 Z 8 为 直 径 的 圆 恒 过 点 Q 即 可.【解 析】（1）由 题 意，e=交，e2=-=-,所 以 a=伤，c=b.又 归 四=也，所 以 仁 1,/=2,故 椭 圆 C 的 方 程 为
12、 且+d=lJ4a2+3 2（2）当 轴 时，以 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 卜-2+/=当 5,y 轴 时，以 4 8 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 一+=1.可 得 两 圆 交 点 为。（T，0）.由 此 可 知，若 以 为 直 径 的 圆 恒 过 定 点，则 该 定 点 必 为。（-1,0）.下 证。（-1，0）符 合 题 意.设 直 线/的 斜 率 存 在，且 不 为 0,则 方 程 为 夕 代 入 f+f=iO 1并 整 理 得（公+2卜 2-；心+才 一 2=0,设/（不 必），3（0 力）,_ 2k*2 _ 公-18【解 析】（1）设 椭 圆 的 方 程 为“/+歹
13、 2=,过/（0,一 2）,8仁,14n=1则 9，解 得 加=!，n=9=1 3 44所 以 椭 圆 E 的 方 程 为：21+工=1.4 33 2(2)/(0,2),8(,1),所 以 43:y+2=x,若 过 点 P（L-2）的 直 线 斜 率 不 存 在，直 线*=1.代 入 片+以=1,3 4则 再 一 乖 词 入 内 一 诋 可 所 以 口.=（再+1）（9+1）+必 Xtx2+x,+x2+1+炉（%-小 2-；）=（1+公 卜 尼+（1-r）（石+&）+1，人 2=（）马+卜-洌 瑞+-。故 _L/，即。（T，。）在 以 为 直 径 的 圆 上.综 上，以/8 为 直 径 的 圆
14、 恒 过 定 点（-1,0）.【例 4】（2022全 国 乙 T21）已 知 椭 圆 E 的 中 心 为 坐 标 原 点，对 称 轴 为 x 轴、夕 轴，且 过/（0,-2）,呜 两 点.（1）求 E 的 方 程；（2）设 过 点 尸（1,-2）的 直 线 交 E 于 M,N 两 点，过 M 且 平 行 于 x 轴 的 直 线 与 线 段 4 8 交 于 点 7,点”满 足 近=而.证 明：直 线 印 V 过 定 点.【解 题 指 导】（1）将 给 定 点 代 入 设 出 的 方 程 求 解 即 可；（2）斜 率 不 存 在 时 探 究 定 点 一 设 出 直 线 方 程 一 与 椭 圆 C
15、的 方 程 联 立 一 求 H N 的 方 程 一 是 否 过 定 点.可 得（1,弛），N（l,迎），代 入 方 程 y=gx 2,可 得 7(遥+3,，由 访=而 得 到（2指+5,3 2）.求 得 H N 方 程：y=(2一 半)x 2,过 点(0,-2).若 过 点 尸（L-2）的 直 线 斜 率 存 在，设 Ax y（左+2）=0,（/,必）,（吃,为）.联 立 kx-y-(k+2)=0 x2 y2,得(3k2+4)x2-6%(2+k)x+3k(k+4)=0,+=13 4玉+x2可 得 6%(2+左)3k2+43人(4+4)3左 2+4-8(2+左)4(4+4左 一 2左 2)%=3
16、左 2+4 24k.且 玉 力+/凹=3 3+4联 立 N=乂 2.可 得 y=-x-2+3,必),(3必+6-%,凹).可 求 得 此 时 M f=标 看：（i 2），将（0,-2）,代 入 整 理 得 2（再+彳 2）-6（凹+必）+西 必+。2凹-3yM-12=0,将（*）代 入，得 24左+12k2+96+48左-24（-48-48左+24-36-48=0,显 然 成 立，综 上，可 得 直 线 N 过 定 点（0,-2）.【解 题 技 法】（1）定 点 问 题，先 猜 后 证，可 先 考 虑 运 动 图 形 是 否 有 对 称 性 及 特 殊（或 极 端）位 置 猜 想，如 直 线
17、的 水 平 位 置、竖 直 位 置，即 4=0 或 A 不 存 在 时.（2）以 曲 线 上 的 点 为 参 数,设 点 尸（xi,y）,利 用 点 在 曲 线 外,Q=0 上,即 1,）=0 消 参.【跟 踪 训 练】（2022江 苏 淮 安 模 拟 预 测）平 面 直 角 坐 标 系 xS，中，点 斗 一 6,0）,鸟（百，0）,点 M 满 足 附 片 卜 卜 收 卜 2，点 加 的 轨 迹 为 曲 线 C.(1)求 曲 线 C 的 方 程；(2)已 知 4(1,0),过 点/的 直 线 4P,4。与 曲 线 C 分 别 交 于 点 尸 和。(点 P 和 0 都 异 于 点 4),若 满
18、足 AP1.AQ,求 证：直 线 过 定 点.【解 析】因 为|岫 卜|加 周=2,所 以 帆 用-阿 司=2 2 6=|月 用 由 双 曲 线 定 义 可 知，M 的 轨 迹 为 双 曲 线，其 中 c=Jj,a=l所 以 b=lc2-a2-A/2所 以 曲 线 C 的 方 程 为：/一 上 1=12(2)若 直 线 P Q 垂 直 于 x 轴，易 知 此 时 直 线 A P 的 方 程 为 丁=(x-l),2联 立 x2-5=1求 解 可 得 x=-3,直 线 尸 0 过 点(-3,0).当 直 线 P 0 斜 率 存 在 时，设 直 线 尸。方 程 为 夕=丘+加，尸(须,乂),。(七,
19、力)代 入/一 卷=1,整 理 得：(k2-2)x2+2kmx+m2+2=02km m2+2贝，玉 2=7 7因 为 4尸 L 4。,所 以 万 而=(M-1,必)%-1/2)=($一 1)(工 2 T)+必 必=(42+1)再+(4加 一 1)(百+工 2)+/+1俨+1)(/+2)2k2m2-2km 2,n=-P-+-+川+1=0心-2 2-k2整 理 得 3 A+2km-nV=(3-w)(Zr+w)=0解 得”?=3%或/=-左 因 为 点 P 和。都 异 于 点 4,所 以 i=-上 不 满 足 题 意 故 机=3%,代 入 夕=日+m，得 了=k(x+3),过 定 点(-3,0).综
20、 上，直 线 产。过 定 点(-3,0).模 拟 训 练1.(2023浙 江 嘉 兴 统 考 模 拟 预 测)已 知 抛 物 线 C：/=2px(p0),过 焦 点 厂 的 直 线 交 抛 物 线 C 于 A,8 两 点，且|工 用=|44 忸 日.(1)求 抛 物 线 C 的 方 程；(2)若 点 尸(4,4),直 线 以，出 分 别 交 准 线/于 M,N 两 点，证 明：以 线 段 为 直 径 的 圆 过 定 点.【分 析】(1)设 Z8:x=,叮+5(w e R),联 立 抛 物 线 方 程，由 根 与 系 数 的 关 系 及 抛 物 线 的 定 义，根 据 用=|4刊.忸 目 建 立
21、 方 程 求 出 P 得 解;(2)由 直 线 方 程 求 出 A/,N的 坐 标，计 算”,外,=-4,设。(x,y)是 以 线 段 为 直 径 的 圆 上 任 意 一 点，根 M Q N Q=0化 简 0=(x+1 丫+(y-%乂 卜-八)，根 据 对 称 性 令 V=。可 得 解.【详 解】（1）设/8:x=iy+5（加 e R）,4（占,必），B（x2,y2）,y2=2px则 联 立（p y2-2pmy-p2=0,lx=my+A=4P26 2+4p2 o所 以 l+2=2p 7,所 以 yty2=-p2xt+x2=（22+l）pp2、也=彳 又 尸|=再+勺 BF=X2+,所 以 H
22、却=|/可+忸 下 卜 玉+Z+P由 恒 邳=忸 F|得 士+超+P=1+（乙+，即 X,+x2+p=xx2+y（xi+）+勺 所 以（2机 2+1）0+=（2机 2+1）f+（,化 简 得（机 2+i）p（p_2）=0,又 p0,所 以 p=2,所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为/=4x.（2）由（1）知/8:x=少+1（m c R）,4（七,必），8（工 2，%），所 以 必+歹 2=4，y 为=一 4,易 得 阳+w=4m？+2,x)x2=1,由 题 意 知/尸 i-4=（4）,8P:y-4=（x-4）,演 一 4/4所 以 令 户 1得 加=包 耳+4,八=包 耳+4,myx-3
23、my2-3即 川 一“必 二 明,N-5（y 4）+4,再-4 J I X2-4 J所 以 加 以=（丛+41 匹”沪 喑 回（叩 3 人 my2-?J（犷-3）（必 一 3）（4 5-5）一 乂+8（4加-5）（弘+%）+64 4?-$一+3 2,4 z n-，+64 64m2-36 牛 加 2%力-3 机（乂+%）+9-4 m2-1 2 m2+9-1 6加 2+9设 O（x,y）是 以 线 段 M N为 直 径 的 圆 上 得 任 意 一 点,则 有 而 而=0,即 0=（x+l）2+（y-K”X y-y w）,由 对 称 性 令 y=0 得 0=卜+1）2+为 外=（x+l j-4,所
24、以 x=l 或 x=-3所 以 以 线 段 M N为 直 径 的 圆 经 过 定 点，定 点 坐 标 为（T O）与（1,0）.【点 睛】关 键 点 点 睛：求 出 的 点 的 坐 标，计 算 出 加 以 为 定 值-4,是 解 题 的 关 键 之 一，其 次 写 出 以 MN为 直 径 的 圆 的 方 程，根 据 圆 的 方 程 0=（x+iy+。-九）。-八），由 对 称 性，令 y=O求 定 点 是 解 题 的 关 键.2.（2023山 西 晋 中 统 考 二 模）已 知 双 曲 线 C：一=1（4 0力 0）的 离 心 率 为 起，点（3,6）在 双 曲 线 上.（1）求 双 曲 线
25、C 的 方 程；（2）若/,8 为 双 曲 线 的 左、右 顶 点，A/（l,m）,若 M 4与 C 的 另 一 交 点 为 P,8 与 C 的 另 一 交 点 为 0（P与 力，。与 8 均 不 重 合）求 证：直 线 尸。过 定 点，并 求 出 定 点 坐 标.【分 析】（1）把 点 卜,石）代 入 双 曲 线 的 标 准 方 程 1-4=1（。0,6 0）,结 合 其 离 心 率 e=夜 来 联 立 方 程 求 解 即 可；（2）根 据 题 意 当 机 N 0时，设 出 直 线 P。方 程 为 x=y+f,并 设 交 点 P（X Q J,。（，），联 立 直 线 与 曲 线 的 方 程，
26、利 用 韦 达 定 理 可 得%+外,yty2,从 而 由 题 意 即 B 怎 0=-3 推 出 直 线 P Q恒 过 定 点（4,0）,最 后 检 验 当 加=0时，也 符 合 题 意 即 可.=&ra a=2【详 解】（1）由 题 意 9 可 5知,解 得 j b=2,c2=a2+b2 C=2A/22 2故 双 曲 线。的 方 程 为 三-二=1.4 4(2)证 明：4,3 为 双 曲 线：-?=1的 左、右 顶 点，/(-2,0),8(2,0),乂(1,町 当 H 0 时，可 得，kPA=kMA=-,kB Q=kBM=-m,kBQ=-3kPA2 2又 点 尸 在 双 曲 线 一 个=1
27、上，kP BkPA=y,)=yp=1,4 4 2 xp-2 xp 4 yp.kpii=-3kPA=-3.PA设 P(X1,%),。(彳 2,%)，/p：X=ny+t,与 双 曲 线。的 方 程 联 立 得(/-1)/+？卬+*_ 4=0,/.A=(2r)2-4(r2-4)(n2-1)=4r2+16n2-16 0,乂+必=2,乂 必=。,-n n：kpB kBQ=乂,2_%必 2必 为+(f-2)(必+%)+(f-2)2t2-4n2(t2-4)-2n2(t-2)t+(t-2)2(n2=t+2=-3-(f-2)解 得 f=4,此 时 满 足 A 0,直 线。0 恒 过 点(4,0).当 加=0 时
28、，P 与 8 重 合，。与 力 重 合，此 时 直 线 尸 0 的 方 程 为 y=o.综 上,直 线 尸 0 恒 过 点(4,0).3.(2023 贵 州 毕 节 统 考 一 模)设 抛 物 线 C:/=2px(p0)的 焦 点 为 F,点。(2p,0),过 F 的 直 线 交 C 于，N 两 点.当 直 线 M D 垂 直 于*轴 时，|M尸|=5.(1)求 C 的 方 程；(2)在 x 轴 上 是 否 存 在 一 定 点。，使 得?若 存 在，求 出 点。的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.从 点 N 关 于 x 轴 的 对 称 点 V 与，。三 点 共 线；x 轴 平 分
29、N M Q N 这 两 个 条 件 中 选 一 个，补 充 在 题 目 中“”处 并 作 答.注：如 果 选 择 两 个 条 件 分 别 解 答，则 按 第 一 个 解 答 计 分.【分 析】（1）当 宜 线 MZ）垂 直 于 X 轴 时，点 M 的 横 坐 标 为 2 p,根 据 抛 物 线 的 定 义，|阪 卜+2。=5,则 c的 方 程 可 求；（2）若 选，设 直 线 M V 的 方 程 为：x=wy+l,与 抛 物 线 方 程 联 立，结 合 韦 达 定 理 求 得 直 线 M N 的 斜 率，得 直 线 M N 的 方 程 即 可 判 断；若 选，设 直 线 的 方 程 为：x=,
30、ny+,与 抛 物 线 方 程 联 立，设 0&0）,由 题 意 左 双=0,结 合 韦 达 定 理 得 4 m（f+l）=O对 任 意 的 mwR恒 成 立，贝=得 出 答 案.【详 解】（1）当 宜 线/。垂 直 于 x 轴 时，点 的 横 坐 标 为 2P根 据 抛 物 线 的 定 义，曰=5+2p=5,.p=2则 抛 物 线 方 程 为：y2=4x.（2）若 选，若 直 线 M N _ L y 轴，则 该 直 线 与 曲 线 C 只 有 一 个 交 点，不 合 题 意，（1,0）,设 直 线 M N 的 方 程 为：x=my+,设 M（x”必），N（x2,y2）,N（x2,-y2）x=
31、zwy+1.联“I/5，得 y-4my-4=0,A=1 6/+1 6 0恒 成 u得 必+%=4 加，yty2=-4k=必+%=4加=4用=4=4%直 线 MAT 的 斜 率 M V,x,-x2 x,-x2-m（y i-y2）yi+4直 线 M N 的 方 程 为=由 西=日，化 简 得 y=学 了（+1）1 4%+4 直 线 M W 过 定 点（-1,0）,存 在 0（-1,0）若 选，若 直 线 轴，则 该 直 线 与 曲 线 C 只 有 一 个 交 点，不 合 题 意，F（l,0）,设 直 线 M N 的 方 程 为：x=my+设”（石,必）,设。&0）联 立 x=my+1,i2_41，
32、得 y-4吵 一 4=0，A=16加 2+160恒 成 立 得%+%=4?，yty2=-4X轴 平 分 Z M Q NJ 工=3必 X)-t x2-t my+1-Z my2+1-/二 必（沙 2+1-，）+力（加 M+1 一）2叩 巫+（1-）（必+%）（加%必+1 T）（加 必+1一）（即 2+一）-8w+47w（l-/）=-=0my1+l-/）（wj2+1-Z）.-.-8m+4m（l-/）=0,即 4m（f+1）=0 对 任 意 的,”e R 恒 成 立，则 f=-l.，存 在。（T O）.4.（2023江 苏 泰 州 统 考 一 模）已 知 双 曲 线 C:1-g=l（“0,80）的 左
33、 顶 点 为 A,过 左 焦 点 尸 的 直 线 与 C 交 a b于 P,Q两 点.当 尸。轴 时，|24|=而，4。的 面 积 为 3.（1）求 C 的 方 程；（2）证 明：以 P。为 直 径 的 圆 经 过 定 点.|+（f=（河 2 7 1 r 2【分 析】（1）根 据 题 意，可 得|/洱=土，-（c-a）=3,进 而 求 解；a 2 Qc2=a2+b2（2）设 P0方 程 为=叩-2,尸（为,乂）,。（弓），联 立 直 线 和 双 曲 线 方 程 组，可 得（3源-1）炉-12叼+9=0,以 PQ为 直 径 的 圆 的 方 程 为（x-xJ（x-X2）+（y-M）（y-yJ=0,
34、由 对 称 性 知 以 尸。为 直 径 的 圆 必 过 X 轴 上 的 定 点，进 而 得 到 犬-（占+）+X/2+必%=0,进 而 求 解.【详 解】（I）当 尸。_Lx轴 时，尸,。两 点 的 横 坐 标 均 为 一 C,代 入 双 曲 线 方 程，可 得 力,=忙，=-工，BP|PF|=,a a ar+（i）2=（啊 2i 2方 2由 题 意，可 得；-（c-a）=3,解 得 4=1,6=百，c=2,2 ac2=a2+/双 曲 线 C 的 方 程 为：x2-=l；3（2）方 法-：设 尸。方 程 为 x=m y-2,尸（西,方,0（和 必），|2；=3m2y2-4my+4）-y2=3=
35、0/-1）y2-12wy+9=0,以 P 0 为 直 径 的 圆 的 方 程 为（x-xJG-x?）+（F-%）（-%）=0,2_（%+2）丫+再+_/_（必+,2）、+乂，2=0,由 对 称 性 知 以 P 0 为 直 径 的 圆 必 过 X 轴 匕 的 定 点，令 y=o,可 得 x2-(x,+x2)x+xixz+yxy2=0,M(、A 12 m 2 4M xI+x2=w V1+y2)-4=-4=-3m-1 3m-13祖 2 彳 x/2=(加 乂-2)(my2-2)=疗 凹 必 _ 2加(必+%)+4=金 口,.,.x2-Y x+-+7=0n(3?2-1)2-4工+5-3 户=03/-1
36、3加 2-1 3M Z2-1 1=(3/-1卜+3加 2-5(x-1)=0 对 Tm e R 恒 成 立，x=1,以 尸。为 直 径 的 圆 经 过 定 点（LO）；方 法 二:设 尸。方 程 为 X=即 一 2,尸&,凶）,。（,力）,：3 n（*2 T）/T 2”沙+9=0,由 对 称 性 知 以 尸。为 直 径 的 圆 必 过 x 轴 上 的 定 点.设 以 尸。为 直 径 的 圆 过 E（f,0）,E P-E Q=0=xt-)(x2-z)+,y2=0=王 82-，(X+x2)+/2+yty2=0,而 x/2=（掰 乂-2）（叩 2-2）=心 2必 必-2加（必+%）+42 9.12/7
37、7.一 3阳 2-4=m-z-2 m-z 4-4=-；-3w2 1 3m2 1 3m2 1z.12m2.41 2 5 3/-1 3/n2-l-3/-4 4/2 9 八 3m2-I 3m2-1 3m2-1（3W2-1）?2-4/+5-3W2=0,即（3加 2-1）/+3?2-5（-）=0对/11恒 成 立,.=1,即 以 P。为 直 径 的 圆 经 过 定 点（1,0）.5.（2023全 国 模 拟 预 测）已 知 椭 圆 r：5+=l（a2道）的 左 顶 点 为 4 点 E 为 直 线 4：匕 X 丁+成 1=0与 的 一 个 交 点（异 于 点 4），当 勺=亭 时，点 E 在 y 轴 上.
38、（I）求 r 的 标 准 方 程；（2）若 点 尸 为 过 点 4 且 斜 率 为 的 直 线 4 与 的 一 个 交 点（异 于 点”），求 证：直 线 E尸 过 定 点，并 求 出 该 定 点 的 坐 标.【分 析】（1）由 题 意 求 出 点 E 的 坐 标，将 点 E 的 坐 标 代 入 直 线 4 的 方 程，求 出 a 的 值，代 入 即 可 得 的 标 准 方 程.（2）判 断 直 线 E F 的 斜 率 是 否 存 在，设 出 直 线 E F 的 方 程 并 与 椭 圆 方 程 联 立,利 用 斜 率 间 的 关 系 建 立 等 式，并 借 助 根 与 系 数 的 关 系 求
39、参 数 间 的 关 系，从 而 可 写 出 直 线 E尸 的 点 斜 式 方 程 得 到 其 所 过 定 点，进 而 整 合 证 明 结 论.【详 解】（1）由 题 意 知 4（-。,0）,直 线/1 耽=0,即 y=i（x+a）,则 直 线 4过 点 4因 为 当 尢=当 时，+日 a=0,点 E 在 y 轴 上，又 E 在 椭 圆 r 上，所 以 当 E 在 夕 轴 上 时，E 为 椭 圆 r 的 上 顶 点 或 下 顶 点，又 k尸 当,所 以 E 为 椭 圆 的 上 顶 点，所 以 后（0,2行），又 点 E 在 直 线 小 巫 x-y+正 a=0 上，所 以-2百+且 a=0,解 得
40、。=4,1 2-2 2所 以 的 标 准 方 程 为 片+以=1.16 12（2）当 直 线 E尸 的 斜 率 不 存 在 时，点 瓦 尸 关 于 x 轴 对 称，此 时 4 的 斜 率 为-K，这 与 4 的 斜 率 为 1-匕 相 矛 盾，所 以 直 线 E F 的 斜 率 存 在.fx2 V2.设 直 线 E尸 的 方 程 为=依+，由,16 12,消 去 外 y=kx+t得（4%+3）/+8ktx+4广 48=0,需 满 足=16（4842+36 3/2）0,设 尸（X2，%）,占 H-4，Z X-4,则 网+/=_,%=?2-丫.由 题 意 得 力（-4,0）,“=l-k-,则 h=
41、l-七，得 上=2+JEzl=1,X1+4 x2+4%+4 X2+4即（2%-1）%/+（4R+Z-4）（X+x2）+8/-16=0,所 以（2 f U+（4-4）（热 卜 8,-16=（,所 以“一（84+6卜+4A（4k+6）=0,即（f-4A）在 一（+6）=0,解 得 f=4左 或 f=4%+6.若 f=4 3 则 直 线 E尸 的 方 程 为、=丘+4左，即 卜=左+4）,则 直 线 E尸 恒 过 定 点（-4,0）,不 符 合 题 意.若 f=4上+6,则 直 线 E F 的 方 程 为=履+4无+6,即=&（+4）+6,则 直 线 E F 恒 过 定 点（4,6）,综 上，直 线
42、 E F 恒 过 定 点，定 点 坐 标 为（T,6）.【点 睛】在 证 明 直 线 E尸 恒 过 定 点 时，设 直 线 方 程 夕=履+，和 曲 线 方 程 联 立，得 到 根 与 系 数 的 关 系 式，此 时 的 关 键 是 要 利 用 直 线 6 的 斜 率 与 直 线 4 的 斜 率 之 间 的 关 系 建 立 等 式，进 行 化 简，得 到 左，之 间 的 关 系，从 而 证 明 直 线 过 定 点.工 2 x726.（2023 湖 南 湖 南 师 大 附 中 校 联 考 模 拟 预 测）在 平 面 直 角 坐 标 系 xQy中，已 知 椭 圆:与+2r=1（。6 0）a b的
43、离 心 率 为 也,椭 圆 少 上 的 点 与 点 尸（0,2）的 距 离 的 最 大 值 为 4.（1）求 椭 圆 爪 的 标 准 方 程；点 8 在 直 线 x=4上，点 B 关 于 X 轴 的 对 称 点 为 片，直 线 尸 民？用 分 别 交 椭 圆 少 于 C,。两 点（不 同 于 P 点）.求 证：直 线 C。过 定 点.【分 析】（1）根 据 离 心 率 可 得 a=V=0 c，设 点 析 叫）结 合 椭 圆 方 程 整 理 得 17Pl=J-（+2+8+2,根 据 题 意 分 类 讨 论 求 得 b=2,即 可 得 结 果；（2）设 直 线 C。及 C,。的 坐 标，根 据 题
44、 意 结 合 韦 达 定 理 分 析 运 算，注 意 讨 论 直 线 C。的 斜 率 是 否 存 在.【详 解】（1）设 椭 圆 的 半 焦 距 为 c，由 椭 圆 的 的 离 心 率 为 孝，得 a=6 b=显,设 点 7（）为 椭 圆 上 一 点,则 7m nw+v=,-b n b,则 加 2=2/-22,因 为 P（0,2）,所 以 P H=+（-2）2=，2加-2 2+2-4+4 W-（“+2）2+8+2加,当 0 b 2 时，17PlM=-（-6+2）2+8+2=%解 得 b=2（舍 去）;当 6 2 2 时，17751n m=，8+2心=4,解 得 6=2：综 上 所 述：b=2,
45、则 短=2A/?,C=2,2 2故 椭 圆 少 的 标 准 方 程 为 二+二=1.8 4（2）当 C。斜 率 不 存 在 时，设 C（x0,%）,-2近/2 近，矛 盾；当 直 线 C D 的 斜 率 存 在 时，设 直 线 C O 的 方 程 为 歹=去+，”，m 片 2,设 C（x”必）,）小,力），其 中 石 工 0且 大 口 0,y=kx+m联 立 方 程 组 Y,消 去 化 简 可 得（2后?+1卜 2+4初;x+2/-8=0,8 4A=16后 2m2-4（2无？+1）（2洲 2 0=842+4 制）C,则 加？=，XX2所 以 直 线 P C 的 方 程 为 了=山 y,一 2
46、X+2,令 X=4,得 y=“4y.一 8+2,X,X,即 4,L Z+2,2 4%8-直 线 尸。的 方 程 为 x+2,令、=4,得 y=+2,X2 X2即(4,2 三+21，因 为 4 和 8 关 于 x 轴 对 称，则 二+2+色+2=0,尤 1 x2把 弘=履 1+加,为=履 2+加 代,入 上 式，则 J4(-5-+-加-)-一-8+2+-4-(-A-X=2-4-W-)-8+2=0,演/整 理 可 得(1+2左 卜 氏+(加 一 2)(玉+x2)=0,则(1+2攵)x 2加 一?+(m 2)x-4吗=。,1+2k 1+2k：m 1,则 机-2片 0,(1+2k)x(m+2)-2km
47、=0,化 简 可 得 m=-4k-2,则 直 线 C O 的 方 程 为=去 一 4左 一 2,即 y+2=%(x_4),所 以 直 线 C。过 定 点(4,-2)；【点 睛】方 法 定 睛：过 定 点 问 题 的 两 大 类 型 及 解 法(1)动 直 线/过 定 点 问 题.解 法：设 动 直 线 方 程(斜 率 存 在)为 卜=阮+/,由 题 设 条 件 将/用 表 示 为/=机 比 得 y=A(x+,),故 动 直 线 过 定 点(一?,0).(2)动 曲 线 C 过 定 点 问 题.解 法：引 入 参 变 量 建 立 曲 线 C 的 方 程，再 根 据 其 对 参 变 量 恒 成 立
48、，令 其 系 数 等 于 零，得 出 定 点.7.(2023浙 江 模 拟 预 测)已 知 双 曲 线 E:=-4=l(a02 0)的 焦 距 为 10,且 经 过 点 M(8,3G).A,Ba b为 双 曲 线 E 的 左、右 顶 点，尸 为 直 线 x=2上 的 动 点，连 接 口，尸 8 交 双 曲 线 E 于 点 C,D(不 同 于/,B).(1)求 双 曲 线 E 的 标 准 方 程.(2)直 线 C。是 否 过 定 点？若 过 定 点，求 出 定 点 坐 标；若 不 过 定 点，请 说 明 理 由.【分 析】（1）方 法-：将 收（8,3 6）代 入 方 程，结 合/+=/求 得
49、得 双 曲 线 方 程：方 法 二：根 据 双 曲 线 定 义 求 得 得 双 曲 线 方 程.（2）方 法 一：设 C的 方 程 为 工=叩+,与 双 曲 线 联 立，由 4 点 与 C 点 写 出 Z C 方 程，求 出 力，由 B 点 与。点 写 出 5。方 程，求 出 y，利 用 两 个 匕，相 等 建 立 关 系 式，代 入 韦 达 定 理 可 求 得，为 定 值.方 法 二：设 的 方 程 为 x=my+f,P（2,），与 双 曲 线 联 立，由 P 点 与“点 写 出/C 方 程，由 P 点 与 8 点 写 出 8。方 程，将 C（士,必）,。（2，力）代 入 以 上 两 方 程
50、，两 式 相 比 消 去 建 立 关 系 式，代 入 韦 达 定 理 可 求 得，为 定 值.a2+b2=25,【详 解】（1）法 一.住 1 64 27 解 得/=1 6,从=9,.双 曲 线 E 的 标 准 方 程 为=-=1,16 9,a2 b2法 二.左 右 焦 点 为 耳（一 5,0）,6（5,0）,.上=5,2。=|百 一 周=麻 屈=8,:.a=4,b2=/一/二 9,.双 曲 线 E 的 标 准 方 程 为 m-4=1 16 9（2）直 线。不 可 能 水 平，故 设 C O的 方 程 为 x=/ny+f,C（X1,凹）,。（0,%）,x=my+1联 立 x2/消 去 x 得（