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1、2023 年高考数学热点专题解析几何模型通关突破圆锥曲线压年高考数学热点专题解析几何模型通关突破圆锥曲线压轴小题（解析版）轴小题（解析版）突破圆锥曲线压轴小题突破圆锥曲线压轴小题思路引导思路引导圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。母题呈现母题呈现类型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题【例 1】(1)(2022济南联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是 F1(c,0)，F2(c,0)，点 P 是椭圆 C 上一点，满足|PF1 PF2|PF1 PF2|，若以点 P 为圆心，r
2、 为半径的圆与圆 F1：(xc)2y24a2，圆 F2：(xc)2y2a2都内切，其中 0ra，则椭圆 C 的离心率为()A.12B.34C.104D.154(2)(2022广州模拟)已知 A，B 分别为椭圆 C：x24y21 的左、右顶点，P 为椭圆 C 上一动点，PA，PB 与直线 x3 交于 M，N 两点，PMN 与PAB 的外接圆的周长分别为 l1，l2，则l1l2的最小值为()A.54B.34C.24D.14【方法总结】【方法总结】高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题【针对
3、训练【针对训练】(1)(2022深圳模拟)F1，F2分别为双曲线 C：x2y221 的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 C 的左、右两支曲线分别交于 A，B 两点，若 lF2B，则F2A F2B 等于()A42 3B4 3C62 5D62 5(2)(多选)(2022德州模拟)已知椭圆 C：x25y2b21(0b0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，点 P 是双曲线C右支上异于顶点的点，点H 在直线xa上，且满足PH1212()PFPFPFPF ，R.若 5HP4 HF23 HF10，则双曲线 C 的离心率为()A3B4C5D6(2)(2022江苏百师联盟联考)过抛物线 C：x22py(p
4、0)上点 M 作抛物线 D：y24x 的两条切线 l1，l2，切点分别为 P，Q，若MPQ 的重心为 G3(1,)2，则 p_.【方法总结【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题 但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力【针对训练【针对训练】(1)（2022南京外国语学校模拟预测）已知 F1(1,0)，F2(1,0)，M 是第一象限内的点，且满足|MF1|MF2|4，若 I 是MF1F2的内心，G 是MF1F2的重心，记IF1F2与GF1M 的面积分别为 S1，S2，则()AS1S
5、2BS1S2CS10，b0)的渐近线与抛物线 C2：x22py(p0)交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为_类型 3 圆锥曲线在生活中的应用【例 3】(1)(2022湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知 F1，F2分别是双曲线 C：x2y221 的左、右焦点，若从点 F2发出的光线经双曲线右支上的点 A(x0,2)反射后，反射光线为射线 AM，则F2AM 的角平分线所在的直线的斜率为()A 3B3
6、3C.33D.3(2)（2022莆田华侨中学模拟预测）第 24 届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图 1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点 A 和短轴一端点 B 分别向内层椭圆引切线 AC，BD(如图 2)，且两切线斜率之积等于916，则椭圆的离心率为()图 1图 2A.34B.74C.916D.32【方法总结】【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性【针对
7、训练【针对训练】(1)（2022德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 C 的方程为 x24y24，其左、右焦点分别是 F1，F2，直线 l 与椭圆 C 切于点 P，且|PF1|1，过点 P 且与直线 l 垂直的直线 l与椭圆长轴交于点 M，则|F1M|F2M|等于()A.2 3B1 2C13D1 3(2)（2022东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是 y2x21，y1,10，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的
8、最底部，则清洁钢球的最大半径为()A1B2C3D2.5模拟训练模拟训练1（2023陕西榆林陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线C的右支上，且124PFPF，双曲线C的一条渐近线方程为ykx，则k的最大值为（）A43B43C34D342（2023河南洛阳洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，A 是双曲线 C 的左顶点，以12FF为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P，Q 两点，且24AP AQa ，则双曲线 C 的离心率为（）A2B3C5D23（20
9、23河南洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆22:12yC x 的上焦点F且斜率为k的直线l交椭圆C于,A B两点，O为坐标原点，直线,OA OB分别与直线2y 相交于,M N两点.若MON为锐角，则直线l的斜率k的取值范围是（）A,11,B22,22C22,22 D22,1,1,22 4（2023河南统考模拟预测）已知点F是抛物线 C：24xy的焦点，过F的直线l交抛物线 C 于不同的两点 M，N，设2MFFN，点 Q 为 MN 的中点，则 Q 到 x 轴的距离为（）A43B54C73D745（2023湖南模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点
10、 A，B 的距离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，(4,1),(4,4)AB，若点 P 是满足12的阿氏圆上的任意一点，点 Q 为抛物线2:16C yx上的动点，Q 在直线4x 上的射影为 R，则|2|2|PBPQQR的最小值为（）A4 5B8 5C652D2 656（2023广东梅州统考一模）由伦敦著名建筑事务所 SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221yxab（0a，0b）下支的部分，
11、且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60，则该双曲线的离心率为（）A33B3C32D2 337（2022山东聊城统考三模）2021 年 4 月 12 日，四川省三星堆遗址考古发据 3 号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图 1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图 2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为 50cm，上口直径为1003cm，下口直径为 25cm，最小横截面的直径为 20cm，则该双曲线的离心率为（）
12、A74B2C73D1358（2022四川成都树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点2F发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为222210,0 xyabab，1F，2F为其左右焦点，若从右焦点2F发出的光线经双曲线上的点 A 和点 B 反射后，满足90BAD，3tan4ABC，则该双曲线的离心率为（）A10B102C3D2 39（2022湖北省直辖县级单位湖北省天门中学校考模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为1F，2F，记它们
13、其中的一个交点为 P，且12120F PF，则该椭圆离心率1e与双曲线离心率2e必定满足的关系式为（）A1213ee144B221231ee144C22123114e4eD22121314e4e10（2022河北唐山统考三模）阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的面积为6 2，两个焦点分别为12,F F，点 P 为椭圆 C 的上顶点 直线ykx与椭圆 C 交于 A，B 两点，若,PA PB的斜率之积为89，则椭圆 C 的长轴长为（）A3B
14、6C2 2D4 211（多选题多选题）（2023浙江嘉兴统考模拟预测）已知椭圆22:143xyC，1A，2A分别为椭圆C的左右顶点，B为椭圆的上顶点.设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线1A B与直线2A M交于点P，直线1AM与直线2A B交于点Q，则（）A若直线1AM与2A M的斜率分别为1k，2k，则1234kk B直线PQ与x轴垂直CBPBQDMPMQ12（多选题多选题）（2023山西校联考模拟预测）过抛物线 C：24yx的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，则下列判断正确的是（）AOAB可能为锐角三角形B过点0,1M且与抛物线 C 仅有一个公共点的直线有
15、 2 条C若3AF，则AOB的面积为3 22D2AFBF最小值为32 213（多选题多选题）（2023山东潍坊一中校联考模拟预测）已知双曲线22:12xCy和圆222:(3)(0)P xyrr，则（）A双曲线C的离心率为62B双曲线C的渐近线方程为20 xyC当6r 时，双曲线C与圆P没有公共点D当2 2r 时，双曲线C与圆P恰有两个公共点14（多选题多选题）（2023安徽蚌埠统考二模）球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠已知该球冠的底半径为60cm，高为20cm假设地面是平面，太
16、阳光线是平行光束，下列说法正确的是（）A若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为4，则伞在地面的影子是圆B若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为6，则伞在地面的影子是椭圆C若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角3，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为12D若太阳光线与地面所成角为6，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为240cm15（多选题多选题）（2023山东淄博统考一模）已知曲线C的方程为2214xym（4m且0m)，A，B分别为C与x轴的左、右交点，P为C上任意一点(不与A，B重合)，则（）A若1m ，则C为双曲线，且渐近线方程为2yx B若P
17、点坐标为1,n，则C为焦点在x轴上的椭圆C若点F的坐标为4,0m，线段PF与x轴垂直，则2mPF D若直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，则1 24mk k 16（2023河南洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F C的离心率为52，点4,3在C上，点P是双曲线C与圆225xy的一个交点，则12PFF的面积S _.17（2023湖北统考模拟预测）已知1,2M为抛物线2:20C ypx p上一点，过点0,1T的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，则TA TB_18（2023四川校联考模拟预测）P为椭圆
18、22162xy上一点，曲线12xy与坐标轴的交点为A，B，C，D，若4 6PAPBPCPD，则P到x轴的距离为_.19（2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 P 是抛物线24yx上的动点，P 到 y 轴的距离为1d，到圆22:334Cxy上动点 Q 的距离为2d，则12dd的最小值为_20（2023云南玉溪统考一模）已知1F，2F分别是椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，A，B是椭圆C与抛物线2:xP yaa 的公共点，A，B关于y轴对称且A位于y轴右侧，22ABAF，则椭圆C的离心率的最大值为_突破圆锥曲线压轴小题突破圆锥曲线压轴小题思路引导思路引导圆锥曲线的压轴小
19、题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。母题呈现母题呈现类型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题【例 1】(1)(2022济南联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是 F1(c,0)，F2(c,0)，点 P 是椭圆 C 上一点，满足|PF1 PF2|PF1 PF2|，若以点 P 为圆心，r 为半径的圆与圆 F1：(xc)2y24a2，圆 F2：(xc)2y2a2都内切，其中 0r0，令 x3，得 yM5k，yN14k，即 M(3,5k)，N1(3,)4k，则|MN|5k14k.设PMN 与PAB
20、 的外接圆的半径分别为 r1，r2，由正弦定理得 2r1|MN|sinMPN，2r2|AB|sinAPB，MPNAPB180，sinMPNsinAPB，l1l22r12r2r1r2|MN|AB|5k14k425k14k454，当且仅当 5k14k，即 k510时，等号成立，即l1l2的最小值为54.【方法总结】【方法总结】高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题【针对训练【针对训练】(1)(2022深圳模拟)F1，F2分别为双曲线 C：x2y221 的左、右焦点，过 F1的直线 l 与
21、C 的左、右两支曲线分别交于 A，B 两点，若 lF2B，则F2A F2B 等于()A42 3B4 3C62 5D62 5【答案】C【解析】在双曲线 C 中，a1，b 2，c 3，则 F1(3，0)，F2(3，0)，因为直线 l 过点 F1，由图知，直线 l 的斜率存在且不为零，因为 lF2B，则F1BF2为直角三角形，可得|BF1|2|BF2|2|F1F2|212，由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2，所以 4(|BF1|BF2|)2|BF1|2|BF2|22|BF1|BF2|122|BF1|BF2|，可得|BF1|BF2|4，联立|BF1|BF2|2，|BF1|BF2|4，解得|BF2|
22、51，因此F2A F2B(F2B BA)F2B F2B 2 BA F2B(51)262 5.(2)(多选)(2022德州模拟)已知椭圆 C：x25y2b21(0b0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，点 P 是双曲线C右支上异于顶点的点，点H 在直线xa上，且满足PH1212()PFPFPFPF ，R.若 5HP4 HF23 HF10，则双曲线 C 的离心率为()A3B4C5D6【答案】C【解析】由PH1212()PFPFPFPF ，R，则点 H 在F1PF2的角平分线上，由点 H 在直线 xa 上，则点 H 是PF1F2的内心，由 5HP4 HF23 HF1 0，由奔驰定理(已知 P 为
23、ABC 内一点，则有 SPBCPASPACPBSPABPC0)知，1 212HF FHF PHF PSSS543，即12|F1F2|r12|PF1|r12|PF2|r543，则|F1F2|PF1|PF2|543，设|F1F2|5，|PF1|4，|PF2|3，则|F1F2|2c5，即 c52，|PF1|PF2|2a，即 a2，则 eca5.(2)(2022江苏百师联盟联考)过抛物线 C：x22py(p0)上点 M 作抛物线 D：y24x 的两条切线 l1，l2，切点分别为 P，Q，若MPQ 的重心为 G3(1,)2，则 p_.【答案】316【解析】设 M200(,)2xxp，P(x1，y1)，Q
24、(x2，y2)，设过点 M 的直线方程为 xt200()2xypx0，与 y24x 联立得 y24t20()2xyp4x0，即 y24ty2tx20p4x00，由题意知16t242002(4)txxp0，即 2pt2x20t2px00，则 t1t2x202p，t1t2x0(t1，t2分别表示 l1，l2斜率的倒数)，由于方程0，则其根为 y2t，当 tt1时，y12t1，当 tt2时，y22t2，MPQ 的重心为 G3(1,)2，x202py1y2x202p2(t1t2)x202p2x202p3x202p92，而 x1x2t1201()2xypx0t2202()2xypx02(t21t22)x
25、202p(t1t2)2x02(t1t2)22t1t2x202p(t1t2)2x022002(2)4xxpx404p22x0 x404p22x0.x0 x1x2x404p2x03，联立得 p316.【方法总结【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题 但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力【针对训练【针对训练】(1)（2022南京外国语学校模拟预测）已知 F1(1,0)，F2(1,0)，M 是第一象限内的点，且满足|MF1|MF2|4，若 I 是MF1F2的内心，G 是MF1F2的重
26、心，记IF1F2与GF1M 的面积分别为 S1，S2，则()AS1S2BS1S2CS1|F1F2|2，所以 M 的轨迹是椭圆x24y231 在第一象限内的部分，如图所示因为 I 是MF1F2的内心，设内切圆的半径为 r，所以|MF1|MF2|F1F2|r2|F1F2|yM2，所以 ryM3，所以 S1|F1F2|r2yM3，又因为 G 是MF1F2的重心，所以 OGGM12，所以12122133MOFF MFSSS13|F1F2|yM2yM3，所以 S1S2.(2)（2022湖北荆州中学模拟预测）在平面直角坐标系 Oxy 中，双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与抛物线 C2
27、：x22py(p0)交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为_【答案】32【解析】设 OA 所在的直线方程为 ybax，则 OB 所在的直线方程为 ybax，解方程组ybax，x22py，得x2pba，y2pb2a2，所以点 A 的坐标为2222(,)pbpbaa，抛物线的焦点 F 的坐标为(0,)2p.因为 F 是OAB 的垂心，所以 kOBkAF1，所以ba2222()2pbpapba1b2a254.所以 e2c2a21b2a294，解得 e32.类型 3 圆锥曲线在生活中的应用【例 3】(1)(2022湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出
28、的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知 F1，F2分别是双曲线 C：x2y221 的左、右焦点，若从点 F2发出的光线经双曲线右支上的点 A(x0,2)反射后，反射光线为射线 AM，则F2AM 的角平分线所在的直线的斜率为()A 3B33C.33D.3【答案】B【解析】由已知可得 A(x0,2)在第一象限，将点 A 的坐标代入双曲线方程可得 x20421，解得 x0 3，所以 A(3，2)，又由双曲线的方程可得 a1，b 2，所以 c 3，则 F2(3，0)，所以|AF2|2，且点 A，
29、F2都在直线 x 3上，又|OF1|OF2|3，所以 tanF1AF2|F1F2|AF2|2 32 3，所以F1AF260，设F2AM 的角平分线为 AN，则F2AN(18060)1260，所以F2AM 的角平分成所在的直线 AN 的倾斜角为 150，所以直线的斜率为 tan 15033.(2)（2022莆田华侨中学模拟预测）第 24 届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图 1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点 A 和短轴一端点 B 分别向内层椭圆引切线 AC，BD(如图 2)
30、，且两切线斜率之积等于916，则椭圆的离心率为()图 1图 2A.34B.74C.916D.32【答案】B【解析】若内层椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为x2ma2y2mb21(m1)，A(ma,0)，B(0，mb)，设切线 AC 为 yk1(xma)，切线 BD 为 yk2xmb，yk1xma，x2a2y2b21，整理得(a2k21b2)x22ma3k21xm2a4k21a2b20，由0 知(2ma3k21)24(a2k21b2)(m2a4k21a2b2)0，整理得 k21b2a21m21，同理yk2xmb，x2a2y2b21，可得 k22b2a2(m2
31、1)，(k1k2)2b4a429()16，即b2a2916，故 ecaa2b2a274.【方法总结】【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性【针对训练【针对训练】(1)（2022德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 C 的方程为 x24y24，其左、右焦点分别是 F1，F2，直线 l 与椭圆 C 切于点 P，且|PF1|1，过点 P 且与直线 l 垂
32、直的直线 l与椭圆长轴交于点 M，则|F1M|F2M|等于()A.2 3B1 2C13D1 3【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得直线 l平分F1PF2，因为12PMFPMFSS|F1M|F2M|12|PF1|PM|sinF1PM12|PF2|PM|sinF2PM|PF1|PF2|，由|PF1|1，|PF1|PF2|4 得|PF2|3，故|F1M|F2M|13.(2)（2022东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是 y2x21，y1,10，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A1B2C3D2.5【答案】A
33、【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为 r，圆心为(0，r1)，圆的方程为 x2(yr1)2r2，代入双曲线方程 y2x21，得 y2(r1)yr0，y1 或 yr，要使清洁钢球到达底部，即 r1.模拟训练模拟训练1（2023陕西榆林陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线C的右支上，且124PFPF，双曲线C的一条渐近线方程为ykx，则k的最大值为（）A43B43C34D34【答案】A【分析】根据三角形两边之和大于第三边，1F、2F和P共线时取等号
34、，列出,a c的不等式即可.【详解】124PFPF，122PFPFa，2128,33PFa PFa1212 PFPFFF.53ca 2222169bcaa43ba即k的最大值为43故选：A.2（2023河南洛阳洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，A 是双曲线 C 的左顶点，以12FF为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P，Q 两点，且24AP AQa ，则双曲线 C 的离心率为（）A2B3C5D2【答案】C【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点 A、P、Q 的坐标，代入24AP AQa 可得 b 与 a 的关系式，再由2
35、22abc及离心率公式可求得结果.方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.【详解】方法一：依题意，易得以12FF为直径的圆的方程为222xyc.又由双曲线2222:1(0,0)xyCabab，易得双曲线 C 的渐近线方程为byxa.当byxa时，如图，设00(,)P xy，则00,Qxy.联立222byxaxyc，解得xayb或xayb ，所以(,)P a b，(,)Qab.又因为(,0)Aa，所以AQx轴.所以(2,)APa b，(0,)AQb.所以224AP AQba ，所以2ba.因为222abc，所以225ac.同理，当byxa 时，亦可得225ac.故双曲线 C 的
36、离心率为5cea.故选：C.方法二（极化恒等式）：易得坐标原点 O 为线段 PQ 的中点，且|2PQc，所以222222211()()|2|444AP AQAPAQAPAQAOQPaca ，所以225ac，所以5cea.故选：C.3（2023河南洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆22:12yC x 的上焦点F且斜率为k的直线l交椭圆C于,A B两点，O为坐标原点，直线,OA OB分别与直线2y 相交于,M N两点.若MON为锐角，则直线l的斜率k的取值范围是（）A,11,B22,22C22,22 D22,1,1,22【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直
37、线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理及两直线相交联立方程组求出交点坐标，结合已知条件、点在直线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】由题意可知，222,1,ab所以2221,cab所以椭圆22:12yC x 的上焦点为0,1F，设直线l的方程为12211,ykxA x yB x y，联立221,1,2ykxyx消去y，得222210kxkx，所以12122221,22kxxx xkk.由题设知，OA所在的直线方程为11yyxx.因为直线OA与直线2y 相交于点M，所以112,2xMy；同理可得222,2xNy.所以121222,2,2xxOMONyy.因为MON为锐角，所以
38、0OM ON ，所以121212212121212444444111x xx xx xOM ONy ykxkxk x xk xx 2222222142422441211122kkkkkkkkk，即224201kk，解得：212k 或21k，所以2222k，或1k，或1k .故直线l的斜率k的取值范围是22,1,1,22.故选:D.4（2023河南统考模拟预测）已知点F是抛物线 C：24xy的焦点，过F的直线l交抛物线 C 于不同的两点 M，N，设2MFFN，点 Q 为 MN 的中点，则 Q 到 x 轴的距离为（）A43B54C73D74【答案】B【分析】根据给定的抛物线，设出点 M，N 的坐标
39、，利用2MFFN 求出点 M，N 的纵坐标和即可求解作答.【详解】依题意，点(0,1)F，设点221212(,),(,)44xxM xN x，则221212(,1),(,1)44xxMFxFNx，由2MFFN 得：2212122,1242xxxx，解得222x，218x，因此点 Q 的纵坐标为221215()2444xx，所以 Q 到 x 轴的距离为54.故选：B5（2023湖南模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 A，B 的距离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标
40、系xOy中，(4,1),(4,4)AB，若点 P 是满足12的阿氏圆上的任意一点，点 Q 为抛物线2:16C yx上的动点，Q 在直线4x 上的射影为 R，则|2|2|PBPQQR的最小值为（）A4 5B8 5C652D2 65【答案】D【分析】先求出点P的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得|2|2|2|2|2|PBPQQRPAPQQF，从而可得出答案.【详解】设,P x y，则2222411244xyPAPBxy，化简整理得2244xy，所以点P的轨迹为以4,0为圆心2为半径的圆，抛物线2:16C yx的焦点4,0F，准线方程为4x ，则|2|2|2|2|2|PBPQQRP
41、APQQF2|22 65PAPQQFAF，当且仅当,A P Q F（,P Q两点在,A F两点中间）四点共线时取等号，所以|2|2|PBPQQR的最小值为2 65.故选：D.6（2023广东梅州统考一模）由伦敦著名建筑事务所 SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221yxab（0a，0b）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60，则该双曲线的离心率为（）A33B3C32D2 33【答案】D【分析】根据已知结合双曲线两条渐近线对称关系可得ayxb的倾斜角为60，即tan60
42、3ab，则2213ba，则222243caba，即可得出双曲线的离心率为222 3343aceaa.【详解】双曲线22221yxab（0a，0b）的渐近线的方程为ayxb，双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60，根据双曲线两条渐近线对称关系可得ayxb的倾斜角为60，则tan603ab，则2213ba，222243caba，则该双曲线的离心率为222 3343aceaa，故选：D.7（2022山东聊城统考三模）2021 年 4 月 12 日，四川省三星堆遗址考古发据 3 号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图 1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源
43、于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图 2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为 50cm，上口直径为1003cm，下口直径为 25cm，最小横截面的直径为 20cm，则该双曲线的离心率为（）A74B2C73D135【答案】D【分析】设双曲线的标准方程为222210,0 xyabab，利用已知条件确定,a b的值，即可求解【详解】设双曲线的标准方程为222210,0 xyabab，则由题意最小横截面的直径为 20cm，可知10a，设点5025,50,032AtBtt，则22225025006251
44、,1,900400tbtb解得32,24tb，所以2169131255bea，故选：D8（2022四川成都树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点2F发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为222210,0 xyabab，1F，2F为其左右焦点，若从右焦点2F发出的光线经双曲线上的点 A 和点 B 反射后，满足90BAD，3tan4ABC，则该双曲线的离心率为（）A10B102C3D2 3【答案】B【分析】设1AFm，20,0AFn
45、mn，根据题意可得43ABm，求得2BF、1BF，进而求出m（用a表示），然后在12AFF中，应用勾股定理得出a、c的关系，求得离心率【详解】连接1AF、1BF，易知1F、A、D共线，1F、B、C共线，设1AFm，20,0AFn mn，113tantan 180tan4AFABFABCABCAB，所以，43ABm，由勾股定理可得221153mBFAFAB，由双曲线的定义可得121222AFAFaBFBFa，即254233mnammna，解得3mana，因为1218090F AFBAD，由勾股定理可得2221212+AFAFFF，即22232aac，即22410ca，102cea.故选：B.9（
46、2022湖北省直辖县级单位湖北省天门中学校考模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为1F，2F，记它们其中的一个交点为 P，且12120F PF，则该椭圆离心率1e与双曲线离心率2e必定满足的关系式为（）A1213ee144B221231ee144C22123114e4eD22121314e4e【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的半实轴长2a，焦距2c，根据椭圆及双曲线的定义可以用12,a a表示出12,PFPF,在12FPF中根据余弦定理可得到2212314e4e的值.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的半实轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义1211222,2PF
47、PFaPFPFa，112212,PFaaPFaa，设121222,3FFcFPF，则在12PFF中由余弦定理得22212121212242cos3caaaaaaaa，化简2221234aac，该式变成22123114e4e.故选：C.10（2022河北唐山统考三模）阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的面积为6 2，两个焦点分别为12,F F，点 P 为椭圆 C 的上顶点 直线ykx与椭圆 C 交于 A，B 两点，若,PA PB的斜率之积
48、为89，则椭圆 C 的长轴长为（）A3B6C2 2D4 2【答案】B【分析】由题意得到方程组6 2ab 和2289ba，即可解出 a、b，求出长轴长.【详解】椭圆的面积6 2Sab，即6 2ab.因为点 P 为椭圆 C 的上项点，所以0,Pb.因为直线ykx与椭圆 C 交于 A，B 两点，不妨设,A m n，则,Bmn且22221mnab，所以22222a nmab.因为,PA PB的斜率之积为89，所以89nbnbmm ，把22222a nmab代入整理化简得：2289ba联立解得：3,2 2ab.所以椭圆 C 的长轴长为 2a=6.故选：B11（多选题多选题）（2023浙江嘉兴统考模拟预测
49、）已知椭圆22:143xyC，1A，2A分别为椭圆C的左右顶点，B为椭圆的上顶点.设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线1A B与直线2A M交于点P，直线1AM与直线2A B交于点Q，则（）A若直线1AM与2A M的斜率分别为1k，2k，则1234kk B直线PQ与x轴垂直CBPBQDMPMQ【答案】ABC【分析】设,M x y，由斜率公式及点在椭圆上可得12kk判断 A，联立直线的方程求出Q、P坐标，由条件可得PQxx即可判断 B，求出PQ中点在3y 上，即可判断 CD.【详解】如图，设,M x y，则2212223 14322444xyyyk kxxxx，故 A 正确；直线1AM的方
50、程为12ykx，直线2A B的方程为332yx，联立12332ykxyx 得111142 3234 323kxkkyk，即111142 34 3,2323kkQkk，同理可得222242 34 3,2323kkPkk，因为1234kk，所以21121132 342 32 343232332kkkkkk，所以PQxx，则直线PQ与x轴垂直，故 B 正确；同理212113 34 363232332kkkkk，所以111112 3 234 362 3232323PQkkyykkk，故PQ的中点在直线3y 上，故 C 正确；D 错误，故选：ABC.12（多选题多选题）（2023山西校联考模拟预测）过抛