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1、2023 年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题（解析版）点问题（解析版）圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中的定点问题思路引导思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关母题呈现母题呈现考法 1 参数法求证定点【例 1】(2022临沂、枣庄二模联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F1，F2，点 P 为坐标平面内的一点，且|OP|32，PF
2、1PF234，O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M 为椭圆 C 的左顶点，A，B 是椭圆 C 上两个不同的点，直线 MA，MB 的倾斜角分别为，且2.证明：直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标【解题指导】【例 2】（2022福建漳州三模）已知抛物线2:4C yx的准线为l，M为l上一动点，过点M作抛物线C的切线，切点分别为,A B.（1）求证：MAB是直角三角形；（2）x轴上是否存在一定点P，使,A P B三点共线.【解题指导】【解题技法】【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，
3、找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】【跟踪训练】（2020新课标卷理科）已知A、B分别为椭圆E：2221xya（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.考法 2 先求后证法求证定点【例 3】（2022合肥一中模拟预测）已知椭圆2222:1(1)yxCabab的离心率为22，其上焦点到直线220bxay+-=的距离为23.（1）求椭圆C的方程；（2）过点1(,0)3P的直线l
4、交椭圆C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【解题指导】（1）椭圆离心率焦点到直线的距离222abc列方程组求 a,b 的值椭圆方程;（2）当直线 l 斜率不存在时AB为直径的圆的方程当直线 l 斜率为 0 时AB为直径的圆的方程两圆的交点 Q当直线l的斜率存在且不为 0 时AB以为直径的圆恒过点 Q 即可.【例 4】（2022全国乙 T21）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过30,2,12AB两点（1）求 E 的方程；（2）设过点1,2P的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 A
5、B 交于点 T，点 H 满足MTTH 证明：直线 HN 过定点【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点设出直线方程与椭圆 C 的方程联立求 HN 的方程是否过定点.【解题技法】【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即 k0 或 k 不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点 P(x1，y1)，利用点在曲线 f(x，y)0 上，即 f(x1，y1)0 消参.【跟踪训练】【跟踪训练】（2022江苏淮安模拟预测）平面直角坐标系xOy中，点1F（3，0），2F（3，0），点M满足122M
6、FMF，点 M 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)已知 A（1，0），过点 A 的直线 AP，AQ 与曲线 C 分别交于点 P 和 Q（点 P 和 Q 都异于点 A），若满足APAQ，求证：直线 PQ 过定点.模拟训练模拟训练1（2023浙江嘉兴统考模拟预测）已知抛物线2:20C ypx p，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且ABAFBF.(1)求抛物线C的方程；(2)若点4,4P，直线PA，PB分别交准线l于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点.2（2023山西晋中统考二模）已知双曲线 C：222210,0 xyabab的离心率为2，点3,5T在双曲线上(1)求
7、双曲线 C 的方程；(2)若 A，B 为双曲线的左、右顶点，1,Mm，若 MA 与 C 的另一交点为 P，MB 与 C 的另一交点为 Q（P与 A，Q 与 B 均不重合）求证：直线 PQ 过定点，并求出定点坐标3（2023贵州毕节统考一模）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点2,0Dp，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，5MF(1)求C的方程；(2)在x轴上是否存在一定点Q，使得_？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由从点N关于x轴的对称点N与M，Q三点共线；x轴平分MQN这两个条件中选一个，补充在题目中“_”处并作答注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个
8、解答计分4（2023江苏泰州统考一模）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于,P Q两点.当PQx轴时，10PA，PAQ的面积为 3.(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.5（2023全国模拟预测）已知椭圆222:12 312xyaa的左顶点为 A，点 E 为直线111:0l kx y ak 与的一个交点（异于点 A），当132k 时，点 E 在 y 轴上.(1)求的标准方程；(2)若点 F 为过点 A 且斜率为11 k的直线2l与的一个交点（异于点 A），求证：直线EF过定点，并求出该定点的坐标.6（2023湖南湖南师大附中校联
9、考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyWabab的离心率为22，椭圆W上的点与点0,2P的距离的最大值为 4.(1)求椭圆W的标准方程；(2)点B在直线4x 上，点B关于x轴的对称点为1B，直线1,PB PB分别交椭圆W于,C D两点（不同于P点）.求证：直线CD过定点.7（2023浙江模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的焦距为 10，且经过点(8,3 3)MA，B为双曲线 E 的左、右顶点，P 为直线2x 上的动点，连接 PA，PB 交双曲线 E 于点 C，D（不同于 A，B）(1)求双曲线 E 的标准方程(2)直线 CD 是否过定点？若过
10、定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由8（2023山东威海统考一模）已知椭圆22:14xCy的左、右顶点分别为 A，B，P 为 C 上任意一点（异于 A，B），直线 AP，BP 分别交直线103x 于 M，N 两点.(1)求证：BMBN；(2)设直线 BM 交椭圆 C 于另一点 Q，求证：直线 PQ 恒过定点.9（2023山东烟台二中校考模拟预测）已知椭圆22122:1(0)xyCabab过点(4,1)P，且1C的焦距是椭圆2222222222:xyabCabab的焦距的 3 倍(1)求1C的标准方程；(2)设 M，N 是1C上异于点 P 的两个动点，且0PM PN ，试问直线MN是否过定
11、点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由10（2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知椭圆2222:10 xyEabab的右焦点为 F，P，Q 分别为右顶点和上顶点，O 为坐标原点，3FPFPeOFOP（e 为椭圆的离心率），OPQ的面积为3(1)求 E 的方程；(2)设四边形ABCD是椭圆 E 的内接四边形，直线AB与CD的倾斜角互补，且交于点3,0，求证：直线AC与BD交于定点圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中的定点问题思路引导思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2
12、)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关母题呈现母题呈现考法 1 参数法求证定点【例 1】(2022临沂、枣庄二模联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F1，F2，点 P 为坐标平面内的一点，且|OP|32，PF1PF234，O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M 为椭圆 C 的左顶点，A，B 是椭圆 C 上两个不同的点，直线 MA，MB 的倾斜角分别为，且2.证明：直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标【解题指导】【解析】(1)设 P 点坐标为(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，则PF1(cx0，y0)，PF2(c
13、x0，y0)由题意得x20y2094，x0cx0cy2034，解得 c23，c 3.又 eca32，a2.b2a2c21.所求椭圆 C 的方程为x24y21.(2)设直线 AB 方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程x24y21，ykxm，消去 y 得(4k21)x28kmx4m240.x1x28km4k21，x1x24m244k21.又由2，tan tan 1，设直线 MA，MB 斜率分别为 k1，k2，则 k1k21，y1x12y2x221，即(x12)(x22)y1y2.(x12)(x22)(kx1m)(kx2m)，(k21)x1x2(km2)(x1x2)m240，
14、(k21)4m244k21(km2)28()41kmkm240，化简得 20k216km3m20，解得 m2k，或 m103k.当 m2k 时，ykx2k，过定点(2,0)，不合题意(舍去)当 m103k 时，ykx103k，过定点10(,0)3，直线 AB 恒过定点10(,0)3【例 2】（2022福建漳州三模）已知抛物线2:4C yx的准线为l，M为l上一动点，过点M作抛物线C的切线，切点分别为,A B.（1）求证：MAB是直角三角形；（2）x轴上是否存在一定点P，使,A P B三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l的方程为1x ，设1,Mm，切线斜率为k，则切线方程为1ymk
15、 x，（2 分）将其与24yx联立消x得244()0kyymk.所以16 16()0k mk，化简得210kmk，（4 分）所以1 21k k，所以MAMB.即MAB是直角三角形.（6 分）（2）由（1）知16 16()0k mk 时，方程244()0kyymk的根为2yk设切点221212,44yyAyBy，则121222,yykk.因为1 21k k，所以121 244y yk k.（10 分）设:ABlxnyt，【点拨】由 M 点出发向抛物线作量条切线，则切点 A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24yx联立消x得2440ynyt，则124y yt=-，所以44t，解得1t
16、，所以直线AB过定点()1,0P.即x轴上存在一定点()1,0P，使,A P B三点共线.（12 分）【解题技法】【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】【跟踪训练】（2020新课标卷理科）已知A、B分别为椭圆E：2221xya（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）
17、证明：直线 CD 过定点.【解析解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)xEyaa可得：,0Aa，,0B a，0,1G,1AGa，,1GBa 218AG GBa ，29a 椭圆方程为：2219xy（2）设06,Py，则直线AP的方程为：00363yyx，即：039yyx联立直线AP的方程与椭圆方程可得：2201939xyyyx，整理得：2222000969810yxy xy，解得：3x 或20203279yxy将20203279yxy代入直线039yyx可得：02069yyy所以点C的坐标为20022003276,99yyyy.同理可得：点D的坐标为2002200332,1
18、1yyyy当203y 时，直线CD的方程为：0022200002222000022006291233327331191yyyyyyyxyyyyyy，整理可得：2220000002224200000832338331116 96 3yyyyyyyxxyyyyy整理得：0002220004243323 33 3yyyyxxyyy所以直线CD过定点3,02当203y 时，直线CD：32x，直线过点3,02故直线 CD 过定点3,02考法 2 先求后证法求证定点【例 3】（2022合肥一中模拟预测）已知椭圆2222:1(1)yxCabab的离心率为22，其上焦点到直线220bxay+-=的距离为23.
19、（1）求椭圆C的方程；（2）过点1(,0)3P的直线l交椭圆C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【解题指导】（1）椭圆离心率焦点到直线的距离222abc列方程组求 a,b 的值椭圆方程;（2）当直线 l 斜率不存在时AB为直径的圆的方程当直线 l 斜率为 0 时AB为直径的圆的方程两圆的交点 Q当直线l的斜率存在且不为 0 时AB以为直径的圆恒过点 Q 即可.【解析】（1）由题意，22cea，222212abea，所以2ab，cb.又2222234acab，1ab，所以1b，22a，故椭圆C的方程为2212yx（2）当ABx轴时，以AB
20、为直径的圆的方程为2211639xy当ABy轴时，以AB为直径的圆的方程为221xy.可得两圆交点为10Q ，由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为10Q ，下证10Q ，符合题意设直线l的斜率存在，且不为 0，则方程为13yk x，代入2212yx并整理得22222122039kxk xk，设11A xy，22B xy，则2122232kxxk ，21221892kx xk，所以121211QA QBxxy y 1212x xxx21211133kxx 22212121111139kx xkxxk22218192kkk 2113k22232kk 21109k 故QAQB ，即10
21、Q ，在以AB为直径的圆上综上，以AB为直径的圆恒过定点10，【例 4】（2022全国乙 T21）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过30,2,12AB两点（1）求 E 的方程；（2）设过点1,2P的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足MTTH 证明：直线 HN 过定点【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点设出直线方程与椭圆 C 的方程联立求 HN 的方程是否过定点.【解析】（1）设椭圆 E 的方程为221mxny，过30,2,12AB，则41914nmn，解得13m，
22、14n，所以椭圆 E 的方程为：22143yx.（2）3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AB yx，若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得2 6(1,)3M，2 6(1,)3N，代入 AB 方程223yx，可得2 6(63,)3T，由MTTH 得到2 6(2 65,)3H.求得 HN 方程：2 6(2)23yx，过点(0,2).若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykM x yN xy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkk xk k，可得1221226(2)343(4)34kkx
23、xkkkx xk，12222228(2)344(442)34kyykkky yk，且1221224(*)34kx yx yk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyx y 可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0,2).【解题技法】【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水
24、平位置、竖直位置，即 k0 或 k 不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点 P(x1，y1)，利用点在曲线 f(x，y)0 上，即 f(x1，y1)0 消参.【跟踪训练】【跟踪训练】（2022江苏淮安模拟预测）平面直角坐标系xOy中，点1F（3，0），2F（3，0），点M满足122MFMF，点 M 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)已知 A（1，0），过点 A 的直线 AP，AQ 与曲线 C 分别交于点 P 和 Q（点 P 和 Q 都异于点 A），若满足APAQ，求证：直线 PQ 过定点.【解析】(1)因为122MFMF，所以122222 3MFMFF F由双曲线定义可知，M
25、 的轨迹为双曲线，其中3,1ca所以222bca所以曲线 C 的方程为：2212yx(2)若直线 PQ 垂直于 x 轴，易知此时直线 AP 的方程为(1)yx，联立2212yx 求解可得3x ，直线 PQ 过点(3,0).当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 方程为ykxm，1122(,),(,)P x yQ xy代入2212yx，整理得：2222220kxkmxm则212122222,22kmmxxx xkk因为 APAQ，所以11221212(1,)(1,)(1)(1)AP AQxyxyxxy y 221212111kx xkmxxm222222212221022kmk mkmmkk 整
26、理得223230kkmmkmkm解得3mk或mk 因为点 P 和 Q 都异于点 A，所以mk 不满足题意故3mk，代入ykxm，得(3)yk x，过定点(3,0).综上，直线 PQ 过定点(3,0).模拟训练模拟训练1（2023浙江嘉兴统考模拟预测）已知抛物线2:20C ypx p，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且ABAFBF.(1)求抛物线C的方程；(2)若点4,4P，直线PA，PB分别交准线l于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点.【分析】（1）设:R2pAB xmym，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据ABAFBF建立方程求出p得解；（2）由直线方程求出
27、,M N的坐标，计算4MNyy，设,Q x y是以线段MN为直径的圆上任意一点，根据0MQ NQ 化简201MNxyyyy，根据对称性令0y 可得解.【详解】（1）设:R2pAB xmym，11,A x y，22,B xy，则联立222ypxpxmy得2220ypmyp，所以222122124402p mpyypmy yp，所以212212214xxmppx x，又12pAFx，22pBFx，所以12ABAFBFxxp由ABAFBF得121222ppxxpxx，即212121224ppxxpx xxx所以222212122ppmppmp，化简得2120mp p，又0p，所以2p，所以抛物线C的
28、方程为24yx.（2）由（1）知:1RAB xmym，11,A x y，22,B xy，所以124yym，124y y ，易得21242xxm，121x x，由题意知114:444yAP yxx，224:444yBP yxx，所以令=1x得115443Myymy，225443Nyymy，即11541,44yMx，22541,44yNx，所以121212124584585454443333MNmymyyyyymymymymy222121222221212458 45644 45324564 64364394129169my ymyymmmmm y ym yymmm 设,Q x y是以线段MN为直
29、径的圆上得任意一点，则有0MQ NQ ，即201MNxyyyy，由对称性令0y 得220114MNxy yx，所以1x 或3x 所以以线段MN为直径的圆经过定点，定点坐标为3,0与1,0.【点睛】关键点点睛：求出,M N的点的坐标，计算出MNyy为定值4，是解题的关键之一，其次写出以MN为直径的圆的方程，根据圆的方程201MNxyyyy，由对称性，令0y 求定点是解题的关键.2（2023山西晋中统考二模）已知双曲线 C：222210,0 xyabab的离心率为2，点3,5T在双曲线上(1)求双曲线 C 的方程；(2)若 A，B 为双曲线的左、右顶点，1,Mm，若 MA 与 C 的另一交点为 P
30、，MB 与 C 的另一交点为 Q（P与 A，Q 与 B 均不重合）求证：直线 PQ 过定点，并求出定点坐标【分析】（1）把点3,5T代入双曲线的标准方程222210,0 xyabab，结合其离心率2e 来联立方程求解即可；（2）根据题意当0m 时，设出直线PQ方程为xnyt，并设交点11,P x y，22,Q xy，联立直线与曲线的方程，利用韦达定理可得12yy，12y y，从而由题意3PBBQkk 推出直线 PQ 恒过定点4,0，最后检验当0m 时，也符合题意即可.【详解】（1）由题意可知222222951caabcab，解得222 2abc,故双曲线 C 的方程为22144xy（2）证明：
31、A，B 为双曲线22144xy的左、右顶点，2,0,2,0AB，又1,Mm当0m 时，可得，3PAMAmkk，BQBMkkm，3BQPAkk 又点 P 在双曲线22144xy上，22222241pppppppPBpPAkykyyyyxxx，331BQPBPAPAkkkk 设11,P x y，22,Q xy，PQl：xnyt，与双曲线 C 的方程联立得2221240nyntyt，22222(2)4(4)1416016nttntn，12221ntyyn，212241ty yn，121222PBBQyykkxx 1222121222y yn y yn tyyt222222442221tntntttn
32、232tt，解得4t，此时满足0，直线 PQ 恒过点4,0当0m 时，P 与 B 重合，Q 与 A 重合，此时直线 PQ 的方程为0y 综上，直线 PQ 恒过点4,03（2023贵州毕节统考一模）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点2,0Dp，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，5MF(1)求C的方程；(2)在x轴上是否存在一定点Q，使得_？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由从点N关于x轴的对称点N与M，Q三点共线；x轴平分MQN这两个条件中选一个，补充在题目中“_”处并作答注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分【分析】（1）当直线MD垂直于x轴时
33、，点M的横坐标为2p，根据抛物线的定义，252pMFp，则 C的方程可求；（2）若选，设直线MN的方程为：1xmy，与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线MN的斜率，得直线MN的方程即可判断；若选，设直线MN的方程为：1xmy，与抛物线方程联立，设,0Q t，由题意0MQNQkk，结合韦达定理得410m t 对任意的Rm恒成立，则1t ，得出答案【详解】（1）当直线MD垂直于x轴时，点M的横坐标为2p根据抛物线的定义，252pMFp，2p则抛物线方程为：24yx（2）若选，若直线MNy轴，则该直线与曲线C只有一个交点，不合题意，1,0F，设直线MN的方程为：1xmy，设11,M x y，22,
34、N xy，22,Nxy联立214xmyyx，得2440ymy，216160m恒成立得124yym，124y y 直线MN的斜率1212121212111444444MNyyymmkxxxxm yyyyy直线MN的方程为1112144yyyxxy由2114yx，化简得121414yyxy直线MN过定点1,0，存在1,0Q 若选，若直线MNy轴，则该直线与曲线C只有一个交点，不合题意，1,0F，设直线MN的方程为：1xmy设11,M x y，22,N xy，设,0Q t联立214xmyyx，得2440ymy，216160m恒成立得124yym，124y y x轴平分MQN1212121211MQN
35、Qyyyykkxtxtmytmyt 122112121212112(1)1111ymytymytmy ytyymytmytmytmyt 1284(1)011mmtmytmyt 84(1)0mmt，即410m t 对任意的Rm恒成立，则1t 存在1,0Q 4（2023江苏泰州统考一模）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于,P Q两点.当PQx轴时，10PA，PAQ的面积为 3.(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.【分析】（1）根据题意，可得2bPFa，22222222101 232bcaabcaacab，进而求解；（2）设PQ方
36、程为2xmy，1122,P x yQ xy，联立直线和双曲线方程组，可得22311290mymy，以PQ为直径的圆的方程为12120 xxxxyyyy，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，进而得到21212120 xxxxx xy y，进而求解.【详解】（1）当PQx轴时，,P Q两点的横坐标均为c，代入双曲线方程，可得2Pbya，2Qbya，即2bPFa，由题意，可得22222222101 232bcaabcaacab，解得1a，3b，2c，双曲线C的方程为：2213yx；（2）方法一：设PQ方程为2xmy，1122,P x yQ xy，222222223443311290,33xm
37、ym ymyymymyxy以PQ为直径的圆的方程为12120 xxxxyyyy，22121212120,xxxxx xyyyyy y由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令0y，可得21212120 xxxxx xy y，而2121222124443131mxxm yymm，2212121212234222431mx xmymym y ym yym，2222222243490314530313131mxxmxxmmmm 22313510mxmx对mR恒成立，1x，以PQ为直径的圆经过定点1,0；方法二：设PQ方程为11222,xmyP x yQ xy，22222311290,33xmym
38、ymyxy由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点.设以PQ为直径的圆过,0E t，212121 21212000EP EQxtxty yx xt xxty y ，而2121212122224x xmymym y ym yy222229123424313131mmmmmmm，2121222124443131mxxm yymm2222234490313131mttmmm，222314530mttm，即22313510mtmt对mR恒成立，1t，即以PQ为直径的圆经过定点1,0.5（2023全国模拟预测）已知椭圆222:12 312xyaa的左顶点为 A，点 E 为直线111:0l kx y a
39、k 与的一个交点（异于点 A），当132k 时，点 E 在 y 轴上.(1)求的标准方程；(2)若点 F 为过点 A 且斜率为11 k的直线2l与的一个交点（异于点 A），求证：直线EF过定点，并求出该定点的坐标.【分析】（1）由题意求出点 E 的坐标，将点 E 的坐标代入直线1l的方程，求出 a 的值，代入即可得的标准方程.（2）判断直线EF的斜率是否存在,设出直线EF的方程并与椭圆方程联立,利用斜率间的关系建立等式,并借助根与系数的关系求参数间的关系,从而可写出直线EF的点斜式方程得到其所过定点，进而整合证明结论.【详解】（1）由题意知(,0)Aa，直线111:0l kx y ak，即1y
40、kxa，则直线1l过点 A，因为当132k 时，133:022lxya，点 E 在 y 轴上，又 E 在椭圆上，所以当 E 在 y 轴上时，E 为椭圆的上顶点或下顶点，又132k，所以 E 为椭圆的上顶点，所以0,2 3E，又点 E 在直线133:022lxya上，所以32 302a，解得4a，所以的标准方程为2211612xy.（2）当直线EF的斜率不存在时，点,E F关于 x 轴对称，此时2l的斜率为1k，这与2l的斜率为11 k相矛盾，所以直线EF的斜率存在.设直线EF的方程为ykxt，由2211612xyykxt，消去 y，得2224384480kxktxt，需满足2216(48363
41、)0kt，设11,E x y，22,F xy，124,4xx ，则122843ktxxk，212244843tx xk.由题意得4,0A，111AFAEkkk ，则2121144yyxx，得1212121214444yykxtkxtxxxx，即121221448160kx xktxxt，所以2224488214481604343tktkkttkk，所以2864460tktkk，即4460tktk，解得4tk或46tk.若4tk，则直线EF的方程为4ykxk，即4yk x，则直线EF恒过定点4,0，不符合题意.若46tk，则直线EF的方程为46ykxk，即46yk x，则直线EF恒过定点4,6，
42、综上，直线EF恒过定点，定点坐标为4,6.【点睛】在证明直线EF恒过定点时，设直线方程ykxt，和曲线方程联立，得到根与系数的关系式，此时的关键是要利用直线2l的斜率与直线1l的斜率之间的关系建立等式，进行化简，得到,k t之间的关系，从而证明直线过定点.6（2023湖南湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyWabab的离心率为22，椭圆W上的点与点0,2P的距离的最大值为 4.(1)求椭圆W的标准方程；(2)点B在直线4x 上，点B关于x轴的对称点为1B，直线1,PB PB分别交椭圆W于,C D两点（不同于P点）.求证：直线CD过定点.【分析】（
43、1）根据离心率可得22abc，设点,T m n结合椭圆方程整理得22(2)82TPnb，根据题意分类讨论求得2b，即可得结果；（2）设直线CD及,C D的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线CD的斜率是否存在.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由椭圆W的离心率为22，得22abc，设点,T m n为椭圆上一点，则22221,2mnbnbbb，则22222mbn，因为0,2P，所以2222222(2)2244(2)82TPmnbnnnnb，当02b时，22max|(2)824TPbb ，解得2b（舍去）；当2b 时，2max|824TPb，解得2b；综上所述：2b，则2 2,2ac，
44、故椭圆W的标准方程为22184xy.（2）当CD斜率不存在时，设000,2 22 2C xyx且00 x，则00,D xy，则直线CP为0022yyxx，令4x，得00482yyx，即00484,2yBx，同理可得010484,2yBx.B与1B关于x轴对称，则00004848220yyxx，解得042 2x，矛盾；当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为ykxm，2m，设1122,C x yD xy，其中10 x 且20 x，联立方程组22184ykxmxy，消去y化简可得222214280kxkmxm，222222164 21288 840k mkmkm，则2284mk，所以212122
45、2428,1212kmmxxx xkk，由0,2P，可得121222,PCPDyykkxx，所以直线PC的方程为1122yyxx，令4x，得11482yyx，即11484,2yx，直线PD的方程为2222yyxx，令4x，得22482yyx，即22484,2yx，因为1B和B关于x轴对称，则12124848220yyxx，把1122,kxm ykxmy 代入上式，则12214848220kxkxxxmm，整理可得12121220k x xmxx，则2222841 2201 21 2mkmkmkk，2m，则20m，可得 12220kmkm，化简可得42mk，则直线CD的方程为42ykxk，即24
46、yk x，所以直线CD过定点4,2；综上所述：直线CD过定点4,2.【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线 l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得 yk(xm)，故动直线过定点(m,0)（2）动曲线 C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点7（2023浙江模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的焦距为 10，且经过点(8,3 3)MA，B为双曲线 E 的左、右顶点，P 为直线2x 上的动点，连接 PA，PB 交双曲线 E 于点 C，D（
47、不同于 A，B）(1)求双曲线 E 的标准方程(2)直线 CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由【分析】（1）方法一：将(8,3 3)M代入方程，结合222abc求得,a b得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a得双曲线方程.（2）方法一：设 CD 的方程为xmyt，与双曲线联立，由 A 点与 C 点写出 AC 方程，求出py，由 B 点与 D 点写出 BD 方程，求出py，利用两个py相等建立关系式，代入韦达定理可求得t为定值.方法二：设 CD 的方程为,(2,)xmyt Pn，与双曲线联立，由 P 点与 A 点写出 AC 方程，由 P 点与 B 点写出 BD
48、方程，将1122,C x yD xy代入以上两方程，两式相比消去n建立关系式，代入韦达定理可求得t为定值.【详解】（1）法一由222225,64271,abab解得2216,9ab，双曲线 E 的标准方程为221169xy法二左右焦点为125,0,5,0FF，125,2196368caMFMF，22294,abca，双曲线 E 的标准方程为221169xy（2）直线 CD 不可能水平，故设 CD 的方程为1122,xmyt C x yD xy，联立221169xmytxy消去 x 得2222916189144=0,9160mymtytm，12218916mtyym，21229144916ty
49、ym，2212224916916tmyym，AC 的方程为11(4)4yyxx，令2x，得1164pyyx，BD 的方程为22(4)4yyxx，令2x，得2224pyyx，1221112212623124044yyx yyx yyxx21112231240myt yymyt yy1212431240my ytyty 12121242480my ytyytyy22222249144(24)1824(8)9160916916916mttmtttmmmm223(8)(8)9160mtttm22(8)39160tmtm，解得8t 或229163tmm，即8t 或4t（舍去）或4t （舍去），CD 的方
50、程为8xmy，直线 CD 过定点，定点坐标为(8,0)方法二直线 CD 不可能水平，设 CD 的方程为1122,(2,)xmyt C x yD xyPn，联立22,1,169xmytxy，消去 x 得2229161891440mymtyt，2121222189144,916916mttyyy ymm，AC 的方程为(4)6nyx，BD 的方程为(4)2nyx，,C D分别在 AC 和 BD 上，11224,462nnyxyx，两式相除消去 n 得211211223462444xyyyxxxy，又22111169xy，211194416xxy将2112344xyxy代入上式，得121227441