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1、2 0 1 6 天 津 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案数 学（理 工 类）本 试 卷 分 第 卷（选 择 题）和 第 卷（非 选 择 题）两 部 分，共 1 5 0 分，考 试 用 时 1 2 0 分 钟。第 卷 1至 2 页，第 卷 3 至 5 页。答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 号 填 写 在 答 题 卡 上，并 在 规 定 位 置 粘 贴 考 试 用 条 形 码。答 卷 时，考 生 务 必 将 答 案 涂 写 在 答 题 卡 上，答 在 试 卷 上 的 无 效。考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。祝 各 位 考 生
2、考 试 顺 利！第 卷注 意 事 项：1.每 小 题 选 出 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再选 涂 其 他 答 案 标 号。2.本 卷 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分。参 考 公 式：如 果 事 件 A，B 互 斥，那 么 如 果 事 件 A，B 相 互 独 立，那 么()()()P A B P A P B.()()()P A B P A P B.圆 柱 的 体 积 公 式 V S h.圆 锥 的 体 积 公 式13V S h.其 中 S 表 示 圆 柱 的 底 面 面
3、积，其 中 S 表 示 圆 锥 的 底 面 面 积，h 表 示 圆 柱 的 高.h 表 示 圆 锥 的 高.一.选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.学 科.网（1）已 知 集 合 4,3,2,1 A，A x x y y B,2 3，则 B A（A）1（B）4（C）3,1（D）4,1（2）设 变 量 x，y 满 足 约 束 条 件.0 9 2 3,0 6 3 2,0 2y xy xy x则 目 标 函 数y x z 5 2 的 最 小 值 为（A）4（B）6（C）10（D）1 7（3）在 A B C 中，若 13 A B，3
4、 B C，1 2 0 C，则 A C（A）1（B）2（C）3（D）4（4）阅 读 右 边 的 程 序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，则 输 出 S的 值 为（A）2（B）4（C）6（D）8（5）设 na 是 首 项 为 正 数 的 等 比 数 列，学 科&网 公 比 为 q，则“0 q”是“对 任 意 的 正 整 数 n，02 1 2n na a”的（A）充 要 条 件（B）充 分 而 不 必 要 条 件（C）必 要 而 不 充 分 条 件（D）既 不 充 分 也 不 必 要 条 件（6）已 知 双 曲 线 1422 2 by x）（0 b，以 原 点 为 圆 心，双 曲 线 的 实 半
5、 轴 长 为 半 径 长 的 圆 与 双 曲 线 的 两 条 渐近 线 相 交 于 A，B，C，D 四 点，学 科&网 四 边 形 A B C D 的 面 积 为 b 2，则 双 曲 线 的 方 程 为（A）14342 2 y x（B）13442 2 y x（C）14 422 2 y x（D）112 42 2 y x（7）已 知 A B C 是 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形，点 D，E 分 别 是 边 A B，B C 的 中 点，连 接 D E并 延 长 到 点 F，使 得 E F D E 2，则 B C A F 的 值 为（A）85（B）81（C）41（D）81 1（8）已 知 函
6、 数 0,1)1(l o g0,3)3 4()(2x xx a x a xx fa（0 a，学.科 网 且 1 a）在 R 上 单 调 递 减，且 关 于 x 的方 程 x x f 2)(恰 好 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解，则 a 的 取 值 范 围 是（A）32,0(（B）43,32（C）32,31 43（D）)32,31 43绝 密 启 用 前2 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(天 津 卷)（第 4 题 图）数 学（理 工 类）第 卷注 意 事 项：1.用 黑 色 墨 水 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 答 案 写 在 答 题 卡 上.2
7、.本 卷 共 1 2 小 题,共 1 1 0 分.二 填 空 题:本 大 题 共 6 小 题,每 小 题 5 分,共 3 0 分.（9）已 知 a，b R，i 是 虚 数 单 位，若 a b)i 1)(i 1(，则ba的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.（1 0）8 2)1(xx 的 展 开 式 中7x 的 系 数 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.（用 数 字 作 答）（1 1）已 知 一 个 四 棱 锥 的 底 面 是 平 行 四 边 形，该 四 棱锥 的 三 视 图 如 图 所 示（单 位：m），学 科.网 则 该 四 棱 锥 的 体 积
8、为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3m.（1 2）如 图，A B 是 圆 的 直 径，弦 C D 与 A B 相 交 于 点 E，2 2 A E B E，E D B D，则 线 段 C E 的 长为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.（1 3）已 知)(x f 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，且 在 区 间)0,(上 单 调 递 增.若 实 数 a 满 足)2()2(1f fa，则 a 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.（1 4）设 抛 物 线p t yp t x2,22（t 为 参 数，0 p）的 焦点
9、F，准 线 为 l.过 抛 物 线 上 一 点 A 作 l 的 垂 线，垂 足 为B.设)0,27(p C，A F 与 B C 相 交 于 点 E.若 A F C F 2，且 A C E 的 面 积 为 2 3，则 p 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.三.解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 8 0 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 小 题 满 分 1 3 分）已 知 函 数 3)3c o s()2s i n(t a n 4)(x x x x f.正 视 图 侧 视 图 俯 视 图（第 11 题 图
10、）（第 14 题 图）（）求)(x f 的 定 义 域 与 最 小 正 周 期；（）讨 论)(x f 在 区 间 4,4 上 的 单 调 性.（1 6）（本 小 题 满 分 1 3 分）某 小 组 共 10 人，利 用 假 期 参 加 义 工 活 动.已 知 参 加 义 工 活 动 次 数 为 1，2，3 的 人 数 分别 为 3，3，4.现 从 这 10 人 中 随 机 选 出 2 人 作 为 该 组 代 表 参 加 座 谈 会.（）设 A 为 事 件“选 出 的 2 人 参 加 义 工 活 动 次 数 之 和 为 4”，求 事 件 A 发 生 的 概 率；（）设 X 为 选 出 的 2 人
11、 参 加 义 工 活 动 次 数 之 差 的 绝 对 值，求 随 机 变 量 X 的 分 布 列和 数 学 期 望.（1 7）（本 小 题 满 分 1 3 分）如 图，正 方 形 A B C D 的 中 心 为 O，四 边 形 O B E F 为 矩 形，平 面 O B E F 平 面 A B C D，点 G 为 A B 的中 点，2 B E A B.（）求 证：E G 平 面 A D F；（）求 二 面 角 C E F O 的 正 弦 值；（）设 H 为 线 段 A F 上 的 点，且 H F A H32，求 直 线 B H 和 平 面 C E F 所 成 角 的 正 弦 值.（1 8）（本
12、 小 题 满 分 1 3 分）已 知 na 是 各 项 均 为 正 数 的 等 差 数 列，学.科.网 公 差 为 d.对 任 意 的 N n，nb 是na 和1 na 的 等 比 中项.（）设2 21 n n nb b c，N n，求 证：数 列 nc 是 等 差 数 列；（）设 d a 1，nkkknb T212)1(，N n，求 证2121 1d Tnk k.（1 9）（本 小 题 满 分 1 4 分）设 椭 圆 13222 yax)3(a 的 右 焦 点 为 F，右 顶 点 为 A.已 知F AeO A O F3 1 1，其 中 O 为 原 点，e 为 椭 圆 的 离 心 率.学.科.
13、网（）求 椭 圆 的 方 程；（）设 过 点 A 的 直 线 l 与 椭 圆 交 于 点 B（B 不 在 x 轴 上），垂 直 于 l 的 直 线 与 l 交 于 点 M，与 y 轴 交于 点 H.若 H F B F，且 M O A M A O，求 直 线 l 的 斜 率 的 取 值 范围.（2 0）（本 小 题 满 分 1 4 分）设 函 数 b ax x x f 3)1()(，x R，其 中 a，b R.（）求)(x f 的 单 调 区 间；（）若)(x f 存 在 极 值 点0 x，且)()(0 1x f x f，其 中0 1x x，求 证：3 20 1 x x；（）设 0 a，函 数)
14、()(x f x g，求 证：)(x g 在 区 间 2,0 上 的 最 大 值 不 小 于 412 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（天 津 卷）数 学（理 工 类）一、选 择 题：（1）【答 案】D（2）【答 案】B（3）【答 案】A（4）【答 案】B（5）【答 案】C（6）【答 案】D（7）【答 案】B（8）【答 案】C第 卷二、填 空 题：（9）【答 案】2（1 0）【答 案】5 6（1 1）【答 案】2（1 2）【答 案】2 33（1 3）【答 案】1 3(,)2 2(1 4)【答 案】6三、解 答 题（1 5）【答 案】（）,2x x k k
15、Z，.（）在 区 间,1 2 4 上 单 调 递 增,学 科&网 在 区 间4 1 2，上 单 调 递 减.【解 析】试 题 分 析：（）先 利 用 诱 导 公 式、两 角 差 余 弦 公 式、二 倍 角 公 式、配 角 公 式 将 函 数 化 为 基 本 三 角 函 数：()=2 s i n 23f x x，再 根 据 正 弦 函 数 性 质 求 定 义 域、学 科&网 周 期 根 据（1）的 结 论，研 究 三 角 函 数在 区 间,4 4 上 单 调 性试 题 解 析：解：f x 的 定 义 域 为,2x x k k Z.4 t a n c o s c o s 3 4 s i n c o
16、 s 33 3f x x x x x x 21 3=4 s i n c os s i n 3 2 s i n c os 2 3 s i n 32 2x x x x x x=s i n 2 3 1-c o s 2 3 s i n 2 3 c o s 2=2 s i n 23x x x x x.所 以,f x 的 最 小 正 周 期2.2T 解：令 2,3z x 函 数 2 s i n y z 的 单 调 递 增 区 间 是 2,2,.2 2k k k Z 由 2 2 22 3 2k x k,得5,.1 2 1 2k x k k Z 设5,4 4 12 12A B x k x k k Z，易 知,
17、1 2 4A B.所 以,当,4 4x 学.科 网 时,f x 在 区 间,1 2 4 上 单 调 递 增,在 区 间4 1 2，上 单 调 递减.考 点：三 角 函 数 性 质，诱 导 公 式、两 角 差 余 弦 公 式、二 倍 角 公 式、配 角 公 式【结 束】(1 6)【答 案】（）13（）详 见 解 析【解 析】试 题 分 析：（）先 确 定 从 这 1 0 人 中 随 机 选 出 2 人 的 基 本 事 件 种 数：21 0C，再 确 定 选 出 的 2 人 参 加 义 工 活 动次 数 之 和 为 4 所 包 含 基 本 事 件 数：1 1 23 4 4C C C，最 后 根 据
18、 概 率 公 式 求 概 率（）先 确 定 随 机 变 量 可 能 取 值 为0,1,2.学.科 网 再 分 别 求 出 对 应 概 率，列 出 概 率 分 布，最 后 根 据 公 式 计 算 数 学 期 望试 题 解 析：解：()由 已 知，有 1 1 23 4 42101,3C C CP AC 所 以，事 件 A 发 生 的 概 率 为13.()随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2.2 2 23 3 42100C C CP XC 415，1 1 1 13 3 3 42107115C C C CP XC，1 13 42104215C CP XC.所 以，随 机 变
19、量 X 学.科 网 分 布 列 为X 0 1 2P41 571 541 5随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 4 7 40 1 2 11 5 1 5 1 5E X.考 点：概 率，概 率 分 布 与 数 学 期 望【结 束】(1 7)【答 案】（）详 见 解 析（）33（）72 1【解 析】试 题 分 析：（）利 用 空 间 向 量 证 明 线 面 平 行，关 键 是 求 出 面 的 法 向 量，利 用 法 向 量 与 直 线 方 向 向 量 垂 直 进行 论 证（）利 用 空 间 向 量 求 二 面 角，关 键 是 求 出 面 的 法 向 量，再 利 用 向 量 数 量 积 求 出 法
20、向 量 夹 角，最 后根 据 向 量 夹 角 与 二 面 角 相 等 或 互 补 关 系 求 正 弦 值（）利 用 空 间 向 量 证 明 线 面 平 行，关 键 是 求 出 面 的 法 向量，再 利 用 向 量 数 量 积 求 出 法 向 量 夹 角，最 后 根 据 向 量 夹 角 与 线 面 角 互 余 关 系 求 正 弦 值试 题 解 析：依 题 意，O F A B C D 平 面，如 图，以 O 为 点，分 别 以,A D B A O F 的 方 向 为 x 轴，y 轴、z 轴的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，依 题 意 可 得(0,0,0)O，1,1,0,(1,1,
21、0),(1,1,0),(1 1,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G，.（I）证 明：依 题 意，(2,0,0),1,1,2 A D A F.设 1,n x y z 为 平 面 A D F 的 法 向 量，则1100n A Dn A F，即2 02 0 xx y z.不 妨 设 1 z，可 得 10,2,1 n，又 0,1,2 E G，可 得10 E G n，又 因 为 直 线E G A D F 平 面，所 以/E G A D F 平 面.（I I）解：易 证，1,1,0 O A 为 平 面 O E F 的 一 个 法 向 量.依 题 意，1,1,0,
22、1,1,2 E F C F.设 2,n x y z 为 平 面 C E F 的 法 向 量，则2200n E Fn C F，即02 0 x yx y z.不 妨 设 1 x，可 得 21,1,1 n.因 此 有2226c os,3O A nO A nO A n，于 是23s i n,3O A n，所 以，二 面 角 O E F C 的 正 弦 值为33.（I I I）解：由23A H H F，学.科 网 得25A H A F.因 为 1,1,2 A F，所 以2 2 2 4,5 5 5 5A H A F，进 而 有3 3 4,5 5 5H，从 而2 8 4,5 5 5B H，因 此2227c
23、os,21B H nB H nB H n.所 以，直 线 B H 和 平 面 C E F 所 成 角 的 正 弦 值 为72 1.考 点：利 用 空 间 向 量 解 决 立 体 几 何 问 题【结 束】(1 8)【答 案】（）详 见 解 析（）详 见 解 析【解 析】试 题 分 析：（）先 根 据 等 比 中 项 定 义 得：21 n n nb a a，从 而2 21 1 2 1 12n n n n n n n nc b b a a a a d a，因此 根 据 等 差 数 列 定 义 可 证：21 2 12 2n n n nc c d a a d（）对 数 列 不 等 式 证 明 一 般 以
24、 算 代 证 先 利用 分 组 求 和 化 简 2211nnn nkT b 2 2 2 2 2 21 2 3 4 2 1 2 n nb b b b b b 22 1 d n n，再 利 用 裂 项 相消 法 求 和 2 2 21 1 11 1 1 1 1 1 1 112 1 2 1 2 1n n nk k kkT d k k d k k d n，易 得 结 论.试 题 解 析：（I）证 明：由 题 意 得21 n n nb a a，有2 21 1 2 1 12n n n n n n n nc b b a a a a d a，因 此 21 2 12 2n n n nc c d a a d，所 以
25、 nc 是 等 差 数 列.（I I）证 明：2 2 2 2 2 21 2 3 4 2 1 2 n n nT b b b b b b 2 2 22 4 22 2 2 12nnn a ad a a a d d n n 所 以 2 2 2 21 1 11 1 1 1 1 1 1 1 112 1 2 1 2 1 2n n nk k kkT d k k d k k d n d.考 点：等 差 数 列、等 比 中 项、分 组 求 和、裂 项 相 消 求 和【结 束】（1 9）【答 案】（）2 214 3x y（）),46 46,(【解 析】试 题 分 析：（）求 椭 圆 标 准 方 程，只 需 确 定
26、量，由1 1 3|cO F O A F A，得1 1 3()cc a a a c，再 利 用2 2 23 a c b，可 解 得21 c，24 a（）先 化 简 条 件：M O A M A O|M A M O，即 M再 O A 中 垂 线 上，1Mx，再 利 用 直 线 与 椭 圆 位 置 关 系，联 立 方 程 组 求 B；利 用 两 直 线 方 程 组 求 H，最 后 根据H F B F，列 等 量 关 系 解 出 直 线 斜 率.取 值 范 围试 题 解 析：（1）解：设(,0)F c，由1 1 3|cO F O A F A，即1 1 3()cc a a a c，可 得2 2 23 a
27、c c，又2 2 23 a c b，所 以21 c，因 此24 a，所 以 椭 圆 的 方 程 为2 214 3x y.（2）（）解：设 直 线 l 的 斜 率 为 k（0 k），则 直 线 l 的 方 程 为)2(x k y.设),(B By x B，由 方 程 组)2(13 42 2x k yy x，消 去 y，整 理 得 0 12 16 16)3 4(2 2 2 2 k x k x k.解 得 2 x，或3 46 822kkx，由 题 意 得3 46 822kkxB，从 而3 4122kkyB.由（）知，)0,1(F，设),0(Hy H，有),1(Hy F H，)3 412,3 44 9
28、(2 22 kkkkB F.由 H F B F，得0 H F B F，所 以 03 4123 44 92 22kk ykkH，解 得kkyH124 92.因 此 直 线 M H 的 方 程 为kkxky124 9 12.设),(M My x M，由 方 程 组)2(124 9 12x k ykkxky消 去 y，解 得)1(129 2022kkxM.在 M A O 中，|M O M A M A O M O A，即2 2 2 2)2(M M M My x y x，化 简 得 1 Mx，即 1)1(129 2022kk，解得46 k 或46 k.所 以，直 线 l 的 斜 率 的 取 值 范 围
29、为),46 46,(.考 点：学.科 网 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质，直 线 方 程【结 束】（2 0）【答 案】（）详 见 解 析（）详 见 解 析（）详 见 解 析【解 析】试 题 分 析：（）先 求 函 数 的 导 数：a x x f 2)1(3)(，再 根 据 导 函 数 零 点 是 否 存 在 情 况，分 类 讨 论：当 0 a 时，有()0 f x 恒 成 立，所 以()f x 的 单 调 增 区 间 为(,).当 0 a 时，存 在 三 个 单 调 区 间（）由 题 意 得3)1(20ax，计 算 可 得0 0(3 2)()f x f x 再 由)()(0 1
30、x f x f 及 单 调 性 可 得 结 论（）实质 研 究 函 数)(x g 最 大 值：主 要 比 较(1),(1)f f，3 3|(|,|()|3 3a af f 的 大 小 即 可，分 三 种 情 况 研 究 当 3 a 时，331 2 0331a a，当334a 时，33 21 2331331 033 21a a a a，当304a 时，2331331 0 a a.试 题 解 析：（）解：由 b a x x x f 3)1()(，可 得 a x x f 2)1(3)(.下 面 分 两 种 情 况 讨 论：（1）当 0 a 时，有 0)1(3)(2 a x x f 恒 成 立，所 以
31、)(x f 的 单 调 递 增 区 间 为),(.（2）当 0 a 时，令 0)(x f，解 得331ax，或331ax.当 x 变 化 时，)(x f，)(x f 的 变 化 情 况 如 下 表：x)331,(a 331a)331,331(a a 331a),331(a)(x f 0 0)(x f 单 调 递 增 极 大 值 单 调 递 减 极 小 值 单 调 递 增所 以)(x f 的 单 调 递 减 区 间 为)331,331(a a，单 调 递 增 区 间 为)331,(a，),331(a.（）证 明：因 为)(x f 存 在 极 值 点，所 以 由（）知 0 a，且 10 x，由 题
32、 意，得 0)1(3)(20 0 a x x f，即3)1(20ax，进 而 baxab a x x x f 3 32)1()(0 030 0.又 b a a x xab x a x x f 3 2)1(38)2 2()2 2()2 3(0 0 030 0)(3 320 0 x f baxa，且0 02 3 x x，由 题 意 及（）知，存 在 唯 一 实 数 满 足)()(0 1x f x f，且0 1x x，因 此0 12 3 x x，所 以 3 20 1 x x；（）证 明：设)(x g 在 区 间 2,0 上 的 最 大 值 为 M，,m a x y x 表 示 y x,两 数 的 最
33、 大 值.下 面 分 三 种 情 况 同理：（1）当 3 a 时，331 2 0331a a，由（）知，)(x f 在 区 间 2,0 上 单 调 递 减，所 以)(x f 在区 间 2,0 上 的 取 值 范 围 为)0(),2(f f，因 此|1|,2 1 m a x|)0(|,)2(m a x|b b a f f M|)(1|,)(1 m a x|b a a b a a 0),(10),(1b a b a ab a b a a，所 以 2|1 b a a M.（2）当 343 a 时，33 21 2331331 033 21a a a a，由（）和（）知，)331()33 21()0(a
34、faf f，)331()33 21()2(afaf f，所 以)(x f 在 区 间 2,0 上 的 取 值 范 围 为)331(),331(afaf，因 此|392|,392m a x|)331(|,)331(m a x|b a aab a aa afaf M|)(392|,)(392m a x|b a aab a aa 414334392|392 b a aa.（3）当430 a 时，2331331 0 a a，由（）和（）知，)331()33 21()0(afaf f，)331()33 21()2(afaf f，学.科 网 所 以)(x f 在 区 间 2,0 上 的 取 值 范 围 为)2(),0(f f，因 此|2 1|,1 m a x|)2(|,)0(m a x|b a b f f M|)(1|,)(1 m a x|b a a b a a 41|1 b a a.综 上 所 述，当 0 a 时，)(x g 在 区 间 2,0 上 的 最 大 值 不 小 于41.考 点：导 数 的 运 算，利 用 导 数 研 究 函 数 的 性 质、证 明 不 等 式【结 束】