2018年天津高考理科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 8 年 天 津 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案本 试 卷 分 为 第 卷（选 择 题）和 第 卷（非 选 择 题）两 部 分，共 1 5 0 分，考 试 用 时 1 2 0分 钟。第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 5 页。答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 考 上，并 在 规 定 位 置 粘 贴 考 试 用条 形 码。答 卷 时，考 生 务 必 将 答 案 涂 写 在 答 题 卡 上，答 在 试 卷 上 的 无 效。考 试 结 束 后，将 本试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。祝 各 位 考 生 考 试 顺

2、利！第 I 卷注 意 事 项：1 每 小 题 选 出 答 案 后，用 铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。2 本 卷 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分。参 考 公 式：如 果 事 件 A，B 互 斥，那 么()()()P A B P A P B.如 果 事 件 A，B 相 互 独 立，那 么()()()P A B P A P B.棱 柱 的 体 积 公 式 V S h，其 中 S 表 示 棱 柱 的 底 面 面 积，h 表 示 棱 柱 的 高.棱 锥 的 体 积

3、公 式13V S h，其 中 S 表 示 棱 锥 的 底 面 面 积，h 表 示 棱 锥 的 高.一.选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.(1)设 全 集 为 R，集 合 0 2 A x x，1 B x x，则()RI A B(A)0 1 x x(B)0 1 x x(C)1 2 x x(D)0 2 x x(2)设 变 量 x，y 满 足 约 束 条 件5,2 4,1,0,x yx yx yy 则 目 标 函 数 3 5 z x y 的 最 大 值 为(A)6(B)1 9(C)2 1(D)4 5(3)阅 读 如 图 的 程

4、序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，若 输 入 N 的 值 为 2 0，则 输 出 T 的 值 为(A)1(B)2(C)3(D)4(4)设 x R，则“1 1|2 2x”是“31 x”的(A)充 分 而 不 必 要 条 件(B)必 要 而 不 充 分 条 件(C)充 要 条 件(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件(5)已 知2l o g e a，l n 2 b，121l o g3c，则 a，b，c 的 大 小 关 系 为(A)a b c(B)b a c(C)c b a(D)c a b(6)将 函 数 s i n(2)5y x 的 图 象 向 右 平 移1 0个 单 位 长 度，所

5、得 图 象 对 应 的 函 数(A)在 区 间3 5,4 4 上 单 调 递 增(B)在 区 间3,4 上 单 调 递 减(C)在 区 间5 3,4 2 上 单 调 递 增(D)在 区 间3,2 2 上 单 调 递 减(7)已 知 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 离 心 率 为 2，过 右 焦 点 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 双曲 线 交 于 A，B 两 点.设 A，B 到 双 曲 线 同 一 条 渐 近 线 的 距 离 分 别 为1d 和2d，且1 26 d d，则 双 曲 线 的 方 程 为(A)2 214 1 2x y(B)2 211 2 4x y(

6、C)2 213 9x y(D)2 219 3x y(8)如 图，在 平 面 四 边 形 A B C D 中，A B B C，A D C D，1 2 0 B A D，1 A B A D.若 点 E 为 边 C D 上 的 动 点，则 u u u r u u rA E B E 的 最 小 值 为(A)2116(B)32(C)2516(D)3第 卷注 意 事 项：1.用 黑 色 墨 水 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 答 案 写 在 答 题 卡 上。2.本 卷 共 1 2 小 题，共 1 1 0 分。二.填 空 题：本 大 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 3 0 分。(9)i 是 虚 数

7、 单 位，复 数6 7 i1 2 i.(1 0)在51()2xx 的 展 开 式 中，2x 的 系 数 为.(1 1)已 知 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 的 棱 长 为 1，除 面 A B C D 外，该 正 方 体 其 余 各 面 的 中心 分 别 为 点 E，F，G，H，M(如 图)，则 四 棱 锥 M E F G H 的 体 积 为.(1 2)已 知 圆2 22 0 x y x 的 圆 心 为 C，直 线21,2232 x ty t(t 为 参 数)与 该 圆 相 交 于 A，B 两 点，则 A B C 的 面 积 为.(1 3)已 知,a b R，且 3 6

8、 0 a b，则128ab 的 最 小 值 为.(1 4)已 知 0 a，函 数222,0,()2 2,0.x a x a xf xx a x a x 若 关 于 x 的 方 程()f x a x 恰 有 2 个互 异 的 实 数 解，则 a 的 取 值 范 围 是.三.解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 8 0 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 小 题 满 分 1 3 分）在 A B C 中，内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c.已 知 s i n c o s()6b A a B.（I）求 角 B 的 大

9、 小；（I I）设 a=2，c=3，求 b 和 s i n(2)A B 的 值.(1 6)(本 小 题 满 分 1 3 分)已 知 某 单 位 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 人 数 分 别 为 2 4，1 6，1 6.现 采 用 分 层 抽 样 的 方法 从 中 抽 取 7 人，进 行 睡 眠 时 间 的 调 查.（I）应 从 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 多 少 人？（I I）若 抽 出 的 7 人 中 有 4 人 睡 眠 不 足，3 人 睡 眠 充 足，现 从 这 7 人 中 随 机 抽 取 3 人 做进 一 步 的 身 体 检 查.（i）用 X 表

10、 示 抽 取 的 3 人 中 睡 眠 不 足 的 员 工 人 数，求 随 机 变 量 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望；（i i）设 A 为 事 件“抽 取 的 3 人 中，既 有 睡 眠 充 足 的 员 工，也 有 睡 眠 不 足 的 员 工”，求事 件 A 发 生 的 概 率.(1 7)(本 小 题 满 分 1 3 分)如 图，A D B C 且 A D=2 B C，A D C D,E G A D 且 E G=A D，C D F G 且 C D=2 F G，D G A B C D 平 面，D A=D C=D G=2.（I）若 M 为 C F 的 中 点，N 为 E G 的 中 点，求

11、 证：M N C D E 平 面；（I I）求 二 面 角 E B C F 的 正 弦 值；（I I I）若 点 P 在 线 段 D G 上，且 直 线 B P 与 平 面 A D G E 所 成 的 角 为 6 0，求 线 段 D P 的长.(1 8)(本 小 题 满 分 1 3 分)设 na 是 等 比 数 列，公 比 大 于 0，其 前 n 项 和 为()nS n N，nb 是 等 差 数 列.已 知11 a，3 22 a a，4 3 5a b b，5 4 62 a b b.（I）求 na 和 nb 的 通 项 公 式；（I I）设 数 列 nS 的 前 n 项 和 为()nT n N，

12、（i）求nT；（i i）证 明221()22()(1)(2)2n nk k kkT b bnk k n N.(1 9)(本 小 题 满 分 1 4 分)设 椭 圆2 22 21x xa b(a b 0)的 左 焦 点 为 F，上 顶 点 为 B.已 知 椭 圆 的 离 心 率 为53，点 A的 坐 标 为(,0)b，且 6 2 F B A B.（I）求 椭 圆 的 方 程；（I I）设 直 线 l：(0)y k x k 与 椭 圆 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P，且 l 与 直 线 A B 交 于 点Q.若5 2s i n4A QA O QP Q(O 为 原 点)，求 k 的 值.(2

13、 0)(本 小 题 满 分 1 4 分)已 知 函 数()xf x a，()l ogag x x，其 中 a 1.（I）求 函 数()()l n h x f x x a 的 单 调 区 间；（I I）若 曲 线()y f x 在 点1 1(,()x f x 处 的 切 线 与 曲 线()y g x 在 点2 2(,()x g x 处 的切 线 平 行，证 明1 22 l n l n()l nax g xa；（I I I）证 明 当1ee a 时，存 在 直 线 l，使 l 是 曲 线()y f x 的 切 线，也 是 曲 线()y g x 的 切 线.参 考 答 案：一、选 择 题：本 题 考

14、 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算 每 小 题 5 分，满 分 4 0 分（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A二、填 空 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算 每 小 题 5 分，满 分 3 0 分（9）4 i（1 0）52（1 1）11 2（1 2）12（1 3）14（1 4）(4 8)，三、解 答 题（1 5）本 小 题 主 要 考 查 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系，两 角 差 的 正 弦 与 余 弦 公 式，二 倍 角 的 正 弦与 余 弦 公 式，以 及 正 弦 定 理、余 弦 定 理 等 基 础 知 识，考 查 运 算

15、 求 解 能 力 满 分 1 3 分（）解：在 A B C 中，由 正 弦 定 理s i n s i na bA B，可 得 s i n s i n b A a B，又 由s i n c o s()6b A a B，得s i n c o s()6a B a B，即s i n c o s()6B B，可 得 t a n 3 B 又因 为(0)B，可 得 B=3（）解：在 A B C 中，由 余 弦 定 理 及 a=2，c=3，B=3，有2 2 22 c os 7 b a c ac B，故 b=7 由s i n c o s()6b A a B，可 得3s i n7A 因 为 a c，故2c os7

16、A 因 此4 3s i n 2 2 s i n c os7A A A，21c o s 2 2 c o s 17A A 所 以，s i n(2)s i n 2 c os c os 2 s i n A B A B A B 4 3 1 1 3 3 37 2 7 2 14（1 6）本 小 题 主 要 考 查 随 机 抽 样、离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 与 数 学 期 望、互 斥 事 件 的 概 率 加法 公 式 等 基 础 知 识 考 查 运 用 概 率 知 识 解 决 简 单 实 际 问 题 的 能 力 满 分 1 3 分（）解：由 已 知，甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 人

17、 数 之 比 为 3 2 2，由 于 采 用 分 层 抽样 的 方 法 从 中 抽 取 7 人，因 此 应 从 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 3 人，2 人，2 人（）（i）解：随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0，1，2，3 P（X=k）=34 337C CCk k（k=0，1，2，3）所 以，随 机 变 量 X 的 分 布 列 为X 0 1 2 3P13 51 23 51 83 543 5随 机 变 量 X 的 数 学 期 望1 1 2 1 8 4 1 2()0 1 2 33 5 3 5 3 5 3 5 7E X（i i）解：设 事 件 B

18、为“抽 取 的 3 人 中，睡 眠 充 足 的 员 工 有 1 人，睡 眠 不 足 的 员 工 有 2人”；事 件 C 为“抽 取 的 3 人 中，睡 眠 充 足 的 员 工 有 2 人，睡 眠 不 足 的 员 工 有 1 人”，则 A=B C，且 B 与 C 互 斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(B C)=P(X=2)+P(X=1)=67所 以，事 件 A 发 生 的 概 率 为67（1 7）本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 平 面 平 行、二 面 角、直 线 与 平 面 所 成 的 角 等 基 础 知 识 考 查 用空 间 向 量 解

19、决 立 体 几 何 问 题 的 方 法 考 查 空 间 想 象 能 力、运 算 求 解 能 力 和 推 理 论 证 能力 满 分 1 3 分 依 题 意，可 以 建 立 以 D 为 原 点，分 别 以D A，D C，D G 的 方 向 为 x 轴，y 轴，z 轴 的 正方 向 的 空 间 直 角 坐 标 系（如 图），可 得 D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，32，1），N（1，0，2）（）证 明：依 题 意D C=（0，2，0），D E=（2，0，2）设 n0=(x，y，z)为 平 面 C D

20、 E的 法 向 量，则0000D CD E，nn即2 02 2 0yx z，不 妨 令 z=1，可 得 n0=（1，0，1）又M N=（1，32，1），可 得00 M N n，又 因 为 直 线 M N平 面 C D E，所 以 M N 平 面 C D E（）解：依 题 意，可 得B C=（1，0，0），(1 2 2)B E，C F=（0，1，2）设 n=（x，y，z）为 平 面 B C E 的 法 向 量，则00B CB E，nn即02 2 0 xx y z，不 妨 令 z=1，可 得 n=（0，1，1）设 m=（x，y，z）为 平 面 B C F 的 法 向 量，则00B CB F，mm即

21、02 0 xy z，不 妨 令 z=1，可得 m=（0，2，1）因 此 有 c o s=3 1 0|1 0m nm n，于 是 s i n=1 01 0所 以，二 面 角 E B C F 的 正 弦 值 为1 01 0（）解：设 线 段 D P 的 长 为 h（h 0，2），则 点 P 的 坐 标 为（0，0，h），可 得(1 2)B P h，易 知，D C=（0，2，0）为 平 面 A D G E 的 一 个 法 向 量，故22c o s5B P D CB P D CB P D C h，由 题 意，可 得225 h=s i n 6 0=32，解 得 h=33 0，2 所 以 线 段 D P

22、的 长 为33.（1 8）本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式，等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 前 n 项 和 公 式 等 基 础 知识.考 查 等 差 数 列 求 和 的 基 本 方 法 和 运 算 求 解 能 力.满 分 1 3 分.（I）解：设 等 比 数 列 na 的 公 比 为 q.由1 3 21,2,a a a 可 得22 0 q q.因 为 0 q，可 得 2 q，故12nna.设 等 差 数 列 nb 的 公 差 为 d，由4 3 5a b b，可 得13 4.b d 由5 4 62 a b b，可 得13 13 16,b d 从 而11,1,

23、b d 故.nb n 所 以 数 列 na 的 通 项 公 式 为12nna，数 列 nb 的 通 项 公 式 为.nb n（I I）（i）由（I），有1 22 11 2nnnS，故11 12(1 2)(2 1)2 2 21 2n n nk k nnk kT n n n.（i i）证 明：因 为，所 以，.（1 9）本 小 题 主 要 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质、直 线 方 程 等 基 础 知 识 考 查 用 代 数 方 法研 究 圆 锥 曲 线 的 性 质 考 查 运 算 求 解 能 力，以 及 用 方 程 思 想 解 决 问 题 的 能 力 满 分 1 4分（）

24、解：设 椭 圆 的 焦 距 为 2 c，由 已 知 知2259ca，又 由 a2=b2+c2，可 得 2 a=3 b 由 已 知可 得，F B a，2 A B b，由 6 2 F B A B，可 得 a b=6，从 而 a=3，b=2 所 以，椭 圆 的 方 程 为2 219 4x y（）解：设 点 P 的 坐 标 为（x1，y1），点 Q 的 坐 标 为（x2，y2）由 已 知 有 y1 y2 0，故1 2s i n P Q A O Q y y 又 因 为2s i nyA QO A B，而 O A B=4，故22 A Q y 由5 2s i n4A QA O QP Q，可 得 5 y1=9

25、y2由 方 程 组2 219 4y k xx y，消 去 x，可 得 1269 4kyk 易 知 直 线 A B 的 方 程 为 x+y 2=0，由 方 程 组2 0y k xx y，消 去 x，可 得221kyk 由 5 y1=9 y2，可 得 5（k+1）=23 9 4 k，两 边 平 方，整 理 得256 50 11 0 k k，解 得12k，或1 12 8k 所 以，k 的 值 为1 1 12 2 8或（2 0）本 小 题 主 要 考 查 导 数 的 运 算、导 数 的 几 何 意 义、运 用 导 数 研 究 指 数 函 数 与 对 数 函 数 的性 质 等 基 础 知 识 和 方 法

26、.考 查 函 数 与 方 程 思 想、化 归 思 想.考 查 抽 象 概 括 能 力、综 合 分 析问 题 和 解 决 问 题 的 能 力.满 分 1 4 分.（I）解：由 已 知，()l nxh x a x a，有()l n l nxh x a a a.令()0 h x，解 得 x=0.由 a 1，可 知 当 x 变 化 时，()h x，()h x 的 变 化 情 况 如 下 表：x(,0)0(0,)()h x 0+()h x极 小 值所 以 函 数()h x 的 单 调 递 减 区 间(,0)，单 调 递 增 区 间 为(0,).（I I）证 明：由()l nxf x a a，可 得 曲

27、线()y f x 在 点1 1(,()x f x 处 的 切 线 斜 率 为1l nxa a.由1()l ng xx a，可 得 曲 线()y g x 在 点2 2(,()x g x 处 的 切 线 斜 率 为21l n x a.因 为 这 两 条 切 线 平 行，故 有121l nl nxa ax a，即122(l n)1xx a a.两 边 取 以 a 为 底 的 对 数，得2 1 2l og 2 l og l n 0ax x a，所 以1 22 l n l n()l nax g xa.（I I I）证 明：曲 线()y f x 在 点11(,)xx a 处 的 切 线 l1：1 11l

28、n()x xy a a a x x.曲 线()y g x 在 点2 2(,l og)ax x 处 的 切 线 l2：2 221l o g()l nay x x xx a.要 证 明 当1ee a 时，存 在 直 线 l，使 l 是 曲 线()y f x 的 切 线，也 是 曲 线()y g x 的切 线，只 需 证 明 当1ee a 时，存 在1(,)x，2(0,)x，使 得 l1和 l2重 合.即 只 需 证 明 当1ee a 时，方 程 组11 121 21l nl n1l n l ogl nxx xaa ax aa x a a xa 有 解，由 得12 21(l n)xxa a，代 入，

29、得1 11 11 2 l n l nl n 0l n l nx xaa x a a xa a.因 此，只 需 证 明 当1ee a 时，关 于 x1的 方 程 有 实 数 解.设 函 数1 2 l n l n()l nl n l nx xau x a x a a xa a，即 要 证 明 当1ee a 时，函 数()y u x 存 在 零 点.2()1(l n)xu x a x a，可 知(,0)x 时，()0 u x；(0,)x 时，()u x 单 调 递减，又(0)1 0 u，21(l n)211 0(l n)au aa，故 存 在 唯 一 的 x0，且 x0 0，使 得0()0 u x，

30、即0201(l n)0 xa x a.由 此 可 得()u x 在0(,)x 上 单 调 递 增，在0(,)x 上 单 调 递 减.()u x 在0 x x 处 取 得极 大 值0()u x.因 为1ee a，故 l n(l n)1 a，所 以.下 面 证 明 存 在 实 数 t，使 得()0 u t.由（I）可 得 1 l nxa x a，当1l nxa 时，有，所 以 存 在 实 数 t，使 得()0 u t 因 此，当1ee a 时，存 在1(,)x，使 得1()0 u x.所 以，当1ee a 时，存 在 直 线 l，使 l 是 曲 线()y f x 的 切 线，也 是 曲 线()y g x 的 切 线.#