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1、1 解三角形练习题 一单选题 1.已知ABC 中，B=60，A=45，则 b=（）A2 B C D 2.在ABC 中，若 a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A12 B C28 D 3.在ABC 中，已知 a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 4.在ABC 中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则 cosC 的值为（）A B C D 5.在ABC 中，若 a2+b2=c2-ab，则角 C=（）A30 B150 C45 D135 6.在ABC 中，若 b=6，c=10，B=30，则解此三角形的结果为（）A无解 B有一解
2、C有两解 D一解或两解 7.在ABC 中，sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC，则 A 的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）8.在ABC 中，如果 sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么 cosC 等于（）A B C D 9.已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a=1，A+C=2B，则 sinA=（）A B C D 10.在ABC 中，若 C=90，a=6，B=30，则 b-c 等于（）A1 B-1 C D 11.在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若 A=，b=1，ABC 的面积为，则 c 的值为（）A1
3、B2 C D 12.在锐角ABC 中，a=1，b=2，则边 c 满足的关系是（）A1c B C1c Dc3 2 二填空题 13.ABC 中，若 a=5，b=3，则 c=_ 14 已知在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对应边长 若 B=45，c=2，b=2，则角 A=_ 15.D、C、B 在地面同一直线上，DC=100 米，从 D、C 两地测得 A 的仰角分别为 30和 45，则 A 点离地面的高 AB 等于_米 16.在ABC 中，2B=A+C，且 b=2，则ABC 的外接圆的半径 R=_ 三主观题 17.在中，角、所对应的边分别为、，且满足（I）求角的值；（）若，求的值 18
4、.在ABC 中，角 A，B，C 的对应边分别为 a,b,c，且（1）当 A=30时，求 a 的值；（2）当 a=2，且ABC 的面积为 3 时，求ABC 的周长 19.在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（）求 A 的大小；（）求 sinB+sinC 的最大值 3 20.ABC 中，是 A，B，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且 （1）求B 的大小；（2）若=4，求的值。21.在ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，且满足（2a-c）cosB=bcosC（I）求角 B 的大小；（II）若 22.
5、在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足（1）求角 B 的大小（2）设角 A 的大小为 x，ABC 的周长为 y，求 y=f（x）的最大值 4 一单选题 1.答案：B 分析：根据正弦定理的式子，结合题中数据加以计算即可得到边 b 的值 解答：解：ABC 中，B=60，A=45，由正弦定理，得 b=2 故选：B 点评：本题给出三角形的两角和其中一角的对边，求另一个角的对边着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题 2.答案：D 分析：已知三条边长利用余弦定理求得 cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得 sinC=，代入ABC 的面积公式进行运算 解答：解：在ABC
6、 中，若三边长分别为 a=7，b=3，c=8，由余弦定理可得 64=49+9-273 cosC，cosC=，sinC=，SABC=，故选 D 点评：本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出 sinC=的值是解题的关键 3.答案：C 分析：先根据余弦定理表示出 cosC，代入整理即可得到 b=c 从而知是等腰三角形 解答：解：a=2bcosC=2b=a2=a2+b2-c2b2=c2 因为 b，c 为三角形的边长b=c ABC 是等腰三角形 故选 C 点评：本题主要考查余弦定理的应用属基础题 4.答案：D 分析：根据正弦定理化简已知的比例式，得到 a：b：c 的比值，根据比例设出 a，
7、b 及 c，利用余弦定理表示出 cosC，把表示出的 a，b 及 c 代入，化简即可求出值 解答：解：由正弦定理=化简已知的比例式得：5 a：b：c=3：2：4，设 a=3k，b=2k，c=4k，根据余弦定理得 cosC=-故选 D 点评：此题考查了余弦定理，正弦定理及比例的性质，熟练掌握定理是解本题的关键 5.答案：B 分析：利用余弦定理表示出 cosC，将已知等式变形后代入计算求出 cosC 的值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数 解答：解：a2+b2=c2-ab，即 a2+b2-c2=-ab，cosC=-，C 为三角形的内角，C=150 故选 B 点评：
8、此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 6.答案：C 分析：直接利用正弦定理求出角 C 的大小，即可判断三角形解的个数 解答：解：在ABC 中，若 b=6，c=10，B=30，由正弦定理可知，所以 sinC=，所以 60C120，C 有两个解，一个锐角，一个钝角；所以三角形有两个解，故选 C 点评：本题是基础题，考查正弦定理在三角形中的应用，注意角的范围的判定，考查计算能力 7.答案：C 分析：先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得 cosA 的范围，进而求得 A 的范围 解答：解：由正弦定理可知 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
9、 sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC，a2b2+c2-bc cosA=A A0 A 的取值范围是（0，故选 C 点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆 8.答案：D 6 分析：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设 a=2k，b=3k，c=4k（k0），由余弦定理可求得答案 解答：解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4 可设 a=2k，b=3k，c=4k（k0）由余弦定理可得，=故选：D 点评：本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题 9.答案：
10、D 分析：在ABC 中，A+C=2B，A+C+B=180可求 B，由正弦定理可得，可得，把已知代入可求 解答：解：在ABC 中，A+C=2B，A+C+B=180 A+C=120，B=60 a=1，由正弦定理可得，=故选 D 点评：本题主要考查了三角形的内角和定理及正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题 10.答案：D 分析：由 B 与 C 的度数，以及 a 的值，利用正弦定理求出 c 的值，再利用余弦定理求出 b 的值，即可b-c 的值 解答：解：C=90，a=6，B=30，A=60，由正弦定理=得：b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=36+12=48，即 c=4，则 b
11、-c=2-4=-2 故选 D 点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键 11.答案：B 分析：由正弦定理的面积公式，结合题意建立关于 c 的等式，解之即可求出边 c 的值 7 解答：解：ABC 中，A=，b=1，ABC 的面积为 S=bcsinA=即 1csin=，解之得 c=2 故选：B 点评：本题给出三角形的一边和一角，在已知面积的情况下求另一边长着重考查了特殊角的三角函数值和正弦定理的面积公式等知识，属于基础题 12.答案：B 分析：根据余弦定理，分 b 为最大边和 c 为最大边两种情况加以讨论，分别建立关于边 c 的不等式，解之即可得到所求
12、边 c 满足的关系式 解答：解：当 b 为最大边时，即 cb 时 cosB0，即0 a2+c2-b2=c2-30，解之得 c 此时；当 c 为最大边时，即 cb 时 cosC0，即0 a2+b2-c2=5-c20，解之得 c 此时 综上所述，边 c 满足的关系是 1c 故选：B 点评：本题给出三角形的两边，在已知三角形为锐角三角形的情况下求第三边的范围着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题 二填空题 13.答案：7 分析：根据余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC 的式，结合题中数据直接列式，即可解出 c=7 解答：解：ABC 中，若 a=5，b=3，由余弦定理，得 8 c2=a
13、2+b2-2abcosC=25+9-253cos=49 c=7（舍负）故答案为：7 点评：本题给出三角形的两边和它们的夹角，求第三边的长着重考查了用余弦定理解三角形的知识，属于基础题 14.答案：答案为 105 分析：在ABC 中，由正弦定理以及大边对大角可得 C 的值，再由三角形内角和公式求得 A 的值 解答：解：在ABC 中，由正弦定理可得，即，解得 sinC=再由大边对大角可得 C 为锐角，故 C=30，A=180-B-C=105，故答案为 105 点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形内角和公式，以及大边对大角，属于中档题 15.答案：50（+1）分析：根据题意画出图形，在直角三角形
14、 ABD 中，由 AB 表示出 DB，在直角三角形 ABC 中，由 AB 表示出 BC，根据 DB+BC=DC=100 列出方程，求出方程的解即可得到 AB 的长 解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在 RtABD 中，D=30，得到 AB=DBtanD，即 DB=AB，在 RtABC 中，C=45，得到 AB=BCtanC=BC，根据题意得：DB+BC=DC=100，即AB+AB=100，解得：AB=50（+1），则 A 点离地面的高 AB 等于 50（+1）米 故答案为：50（+1）点评：此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及特殊角的三角形函数值，弄清题意是解本题
15、的关键 16.答案：分析：利用三角形的内角和求出 B 的值，利用正弦定理求出 R 即可 解答：解：因为 A+B+C=，2B=A+C，所以 B=，由正弦定理可知，9 所以 2R=，所以 R=故答案为：点评：本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和的应用，基本知识的考查 三。主观题 17.答案：（）；（）。【解析】试题分析：（I）由正弦定理得，1 分，即，3 分 由于，所以 4 分（II），6 分 因为，故，8 分 所以 10 分 考点：正弦定理；二倍角公式；和差公式。点评：我们在解三角形时，要注意三角形内的隐含条件：；。18.答案：（1）（2）【解析】试题分析：（1）在ABC 中，A=30，10
16、由正弦定理，得 4 分（2）在ABC 中，a=2，且，7 分 又由正弦定理，得，9 分 ABC 的周长为 10 分 考点：解三角形 点评：解三角形的题目主要是应用正余弦定理实现边与角的联系，本题还涉及到面积公式：19 答案：cosA=-，A=120（）由（）得：sinB+sinC=sinB+sin（60-B）=cosB+sinB=sin（60+B）故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1 分析：（）根据正弦定理，设，把 sinA，sinB，sinC 代入 2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC 求出 a2=b2+c2+bc 再与余弦定理联立方程，可求出 cosA
17、的值，进而求出 A 的值（）根据（）中 A 的值，可知 c=60-B，化简得 sin（60+B）根据三角函数的性质，得出最大值 解答：解：（）设 则 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC 11 2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC 方程两边同乘以 2R 2a2=（2b+c）b+（2c+b）c 整理得 a2=b2+c2+bc 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA 故 cosA=-，A=120（）由（）得：sinB+sinC=sinB+sin（60-B）=cosB+sinB=sin（60+B）故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1 点评：
18、本题主要考查了余弦函数的应用其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握 20.答案：，【解析】试题分析：由 考点：本题考查了正余弦定理的综合运用 点评：解三角形的内容包括正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，对这方面的考查经常出现，有时结合三角函数进行考查，以中等难度题目为主，同学们一定抓好基础知识 12 21.答案：分析：（1）先根据正弦定理用正弦表示出边，然后代入到已知条件中，再由两角和与差的公式整理可得到cosB 的值，最后可得角 B 的值（2）根据余弦定理将代入求出 ac 的值，再由三角形的面积公式可求得结果 解答：解：（I）在ABC 中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2R
19、sinB，c=2RsinC 代入（2a-c）cosB=bcosC 整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB 即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA0，2cosB=1，B 是三角形的内角，B=60（II）在ABC 中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac-2accosB ac=3 故 点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，在求值时经常用到边和角的相互转化，这里一般是用正弦定理 22.答案：y 的最大值为：4+2 分析：（1）把 b2=a2+c2+ac 代入余弦定理求得 cosB 的值，进而求得 B（2）利用正弦定理分别求得 a 和 c，进而求得三角形周长的表达式，利用和差化积公式化简整理后，利用余弦函数的性质求得最大值 解答：解：（1）b2=a2+c2+ac cosB=-B=120（2）由正弦定理可知=，a=sinA=4sinx，c=sin（60-x）=y=4sinx+4sin（60-x）+2=4cos（-30）+24+2 故 y 的最大值为：4+2 点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用解题的过程是通过余弦定理和正弦定理完成了边角问题的互化，达到解决问题的目的