高中数学含参函数的单调性.pdf

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1、【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性 讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为 0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”考点一 导主一次型【例题选讲】例 1 已知函数 f(x)xalnx(aR)，讨论函

2、数 f(x)的单调性 解析 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1axxax，令 f(x)0，得 xa，当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，当 a0 时，x(0，a)时，f(x)0，综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增，当 a0 时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增【对点训练】1已知函数 f(x)alnxax3(aR)讨论函数 f(x)的单调性1解析 函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)a(1x)x，令 f(x)0，得 x1，当 a0 时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当 a0)，当 a0

3、 时，f(x)1xa0，即函数 f(x)在(0，)上单调递增 当 a0 时，令 f(x)1xa1axx0，可得 x1a，当 0 x0；当 x1a时，f(x)1axx0 时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，上单调递减 考点二 导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果 x1，x2都在定

4、义域内，则讨论个零点 x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式 0 和 0 分类讨论；【例题选讲】命题点 1 是不是有没有在不在 例 2(2021全国乙节选)已知函数 f(x)x3x2ax1讨论 f(x)的单调性 解析 由题意知 f(x)的定义域为 R，f(x)3x22xa，对于 f(x)0，(2)243a4(13a)当 a13时，f(x)0，f(x)在 R 上单调递增；当 a0，则 xx1或 xx2；令 f(x)0，则 x1xx2 所以 f(x)在(，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增 综上，当 a13时，f(x)在

5、R 上单调递增；当 a0讨论 f(x)的单调性 4解析 由题意知，f(x)的定义域是(0，)，导函数 f(x)12x2axx2ax2x2.设 g(x)x2ax2，二次方程 g(x)0 的判别式 a28.当 0，即 0a0 都有 f(x)0此时 f(x)是(0，)上的单调递增函数 当 0，即 a2 2 时，仅对 x 2有 f(x)0，对其余的 x0 都有 f(x)0 此时 f(x)是(0，)上的单调递增函数 当 0，即 a2 2时，方程 g(x)0 有两个不同的实根 x1a a282，x2a a282，0 x10，试讨论函数 f(x)的单调性 解析 因为 f(x)ln xax2(2a1)x，所以

6、 f(x)2ax2(2a1)x1x(2ax1)(x1)x 由题意知函数 f(x)的定义域为(0，)，令 f(x)0 得 x1 或 x12a，若12a12，由 f(x)0 得 x1 或 0 x12a，由 f(x)0 得12ax1，即 0a0 得 x12a或 0 x1，由 f(x)0 得 1x12a，即函数 f(x)在(0，1)，12a，上单调递增，在1，12a上单调递减；若12a1，即 a12，则在(0，)上恒有 f(x)0，即函数 f(x)在(0，)上单调递增 综上可得，当 0a12时，函数 f(x)在0，12a上单调递增，在12a，1上单调递减，在(1，)上单调递增 例 6 已知函数 f(x

7、)x2eax1(a 是常数)，求函数 yf(x)的单调区间 解析 根据题意可得，当 a0 时，f(x)x21，函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减 当 a0 时，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)因为 eax0，所以令 g(x)ax22x0，解得 x0 或 x2a(1)当 a0 时，函数 g(x)ax22x 在(，0)和2a，上有 g(x)0，即 f(x)0，函数 yf(x)单调递减；函数 g(x)ax22x 在0，2a上有 g(x)0，即 f(x)0，函数 yf(x)单调递增(2)当 a0，即 f(x)0，函数 yf(x)单调递增；函数 g(x)ax22x 在2

8、a，0 上有 g(x)0，即 f(x)0，函数 yf(x)单调递减 综上所述，当 a0 时，函数 yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)；当 a0 时，函数 yf(x)的单调递减区间为(，0)，2a，单调递增区间为0，2a；当 a0，试讨论函数 yf(x)的单调性 6解析 函数的定义域为(0，)，f(x)ax(a1)1xax2(a1)x1x(ax1)(x1)x 当 0a1，x(0，1)和1a，时，f(x)0；x1，1a时，f(x)1 时，01a0；x1a，1 时，f(x)0，函数 f(x)在0，1a和(1，)上单调递增，在1a，1 上单调递减 综上，当 0a1 时，函数 f

9、(x)在0，1a和(1，)上单调递增，在1a，1 上单调递减 7已知函数 f(x)x2eax11a(aR)，求函数 f(x)的单调区间 7解析 f(x)x2eax11a(aR)的定义域为(，)，f(x)x(ax2)eax1 当 a0 时，x0，f(x)0；x0，f(x)0 时，x，2a，f(x)0；x2a，0，f(x)0，所以函数 f(x)的单调递增区间为，2a，(0，)，单调递减区间为2a，0 当 a0 时，x(，0)，f(x)0；x2a，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；(2)当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减；(3)当 0a1 时，令 f(x)0，解得

10、 x1a2a，则当 x0，1a2a时，f(x)0，故 f(x)在0，1a2a上单调递减，在(1a2a，)上单调递增 9已知函数 f(x)k4klnx4x2x，其中常数 k0，讨论 f(x)在(0，2)上的单调性 9解 因为 f(x)k4kx4x21k4kx4x2x2xkx4kx2(x0，k0)当 0kk0，且4k2，所以当 x(0，k)时，f(x)0，所以函数 f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数；当 k2 时，4kk2，f(x)2 时，04k4k，所以当 x0，4k时，f(x)0，所以函数 f(x)在0，4k上是减函数，在4k，2 上是增函数 综上可知，当 0k2 时，f(

11、x)在0，4k上是减函数，在4k，2 上是增函数 10已知函数 f(x)ln(x1)ax2x(x1)2，且 1a1 当12a30，即 1a32时，当1x0 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 2a3x0 时，f(x)0，即32a2 时，当1x2a3 时，f(x)0，则 f(x)在(1，0)，(2a3，)上单调递增 当 0 x2a3 时，f(x)0，则 f(x)在(0，2a3)上单调递减 综上，当 1a32时，f(x)在(1，2a3)，(0，)上单调递增，在(2a3，0)上单调递减；当 a32时，f(x)在(1，)上单调递增；当32a0，则由 f(x)0，得 xln a当 x(，ln a)时，

12、f(x)0.故 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 若 a0，则由 f(x)0，得 xlna2当 x，lna2时，f(x)0；故 f(x)在，lna2上单调递减，在lna2，上单调递增 例 11 已知 f(x)(x2ax)lnx32x22ax，求 f(x)的单调递减区间 解析 易得 f(x)的定义域为(0，)，f(x)(2xa)ln xxa3x2a(2xa)ln x(2xa)(2xa)(lnx1)，令 f(x)0 得 xa2或 xe 当 a0 时，因为 x0，所以 2xa0，令 f(x)0 得 xe，所以 f(x)的单调递减区间为(0，e)当 a0 时，若a2e，即

13、 0a2e，当 x0，a2时，f(x)0，当 xa2，e 时，f(x)0，当 x(e，)时，f(x)0，所以 f(x)的单调递减区间为a2，e；若a2e，即 a2e，当 x(0，)时，f(x)0 恒成立，f(x)没有单调递减区间；若a2e，即 a2e，当 x(0，e)时，f(x)0，当 xe，a2时，f(x)0，当 xa2，时，f(x)0，所以 f(x)的单调递减区间为e，a2 综上所述，当 a0 时，f(x)的单调递减区间为(0，e)；当 0a2e 时，f(x)的单调递减区间为a2，e；当a2e 时，f(x)无单调递减区间；当 a2e 时，f(x)的单调递减区间为e，a2【对点训练】11已知

14、函数 f(x)exax1 的定义域为(0，)，讨论函数 f(x)的单调性 11解析 f(x)exax1，f(x)exa易知 f(x)exa 在(0，)上单调递增 当 a1 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时，由 f(x)exa0，得 xln a，当 0 xln a 时，f(x)0，当 xln a 时，f(x)0，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 综上，当 a1 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增 12已知函数 f(x)(x22ax)ln x12x22ax(aR)

15、(1)若 a0，求 f(x)的最小值；(2)求函数 f(x)的单调区间 12解析(1)若 a0，f(x)x2ln x12x2，定义域为(0，)，f(x)2xln xx21xx2xln x，由 f(x)0 可得 x1，由 f(x)0 可得 0 x1，所以 f(x)在(0，1)单调递减，在(1，)单调递增，所以 f(x)的最小值为 f(1)12(2)f(x)(2x2a)ln x(x22ax)1xx2a(2x2a)ln x，当 a0 时，2x2a0，由 f(x)0 可得 x1，由 f(x)0 可得 0 x1，此时 f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)；当 0a1 时，由 f(x

16、)0 可得 0 xa 或 x1，由 f(x)0 可得 ax1，此时 f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，)；当 a1 时，f(x)0 恒成立，此时 f(x)的单调递增区间为(0，)；当 a1 时，由 f(x)0 可得 0 x1 或 xa，由 f(x)0 可得 1xa，此时 f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，)综上所述：当 a0 时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)；当 0a1 时，f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，)；当 a1 时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单

17、调递减区间；当 a1 时，f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，)考点四 导主正余型【例题选讲】例 12(2017 山东理)已知函数 f(x)x22cosx，g(x)ex(cosxsinx2x2)，其中 e 是自然对数的底数(1)求函数 g(x)的单调区间；(2)讨论函数 h(x)g(x)af(x)(aR)的单调性 解析(1)g(x)(ex)(cos xsin x2x2)ex(cos xsin x2x2)ex(cos xsin x2x2sin xcos x2)2ex(xsin x)记 p(x)xsin x，则 p(x)1cos x 因为 cos x1，1，所以 p

18、(x)1cos x0，所以函数 p(x)在 R 上单调递增 而 p(0)0sin 00，所以当 x0 时，p(x)0，g(x)0 时，p(x)0，g(x)0，函数 g(x)单调递增 综上，函数 g(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)因为 h(x)g(x)af(x)ex(cos xsin x2x2)a(x22cos x)，所以 h(x)2ex(xsin x)a(2x2sin x)2(xsin x)(exa)由(1)知，当 x0 时，p(x)xsin x0；当 x0 时，p(x)xsin x0，所以 x0 时，h(x)0，函数 h(x)单调递增；x0 时，h(x)0 时，令

19、 h(x)2(xsin x)(exa)0，解得 x1ln a，x20 若 0a1，则 ln a0，所以 x(，ln a)时，exa0，函数 h(x)单调递增；x(ln a，0)时，exa0，h(x)0，h(x)0，函数 h(x)单调递增 若 a1，则 ln a0，所以 xR 时，h(x)0，函数 h(x)在 R 上单调递增 若 a1，则 ln a0，所以 x(，0)时，exa0，函数 h(x)单调递增；x(0，ln a)时，exa0，h(x)0，h(x)0，函数 h(x)单调递增 综上所述，当 a0 时，函数 h(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减；当 0a1 时，函数 h(x)在

20、(，0)，(ln a，)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减【对点训练】13(2017山东)已知函数 f(x)13x312ax2，其中参数 aR(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数 g(x)f(x)(xa)cosxsinx，讨论 g(x)的单调性 13解析(1)由题意得 f(x)x2ax，所以当 a2 时，f(3)0，f(x)x22x，所以 f(3)3，因此曲线 yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是 y3(x3)，即 3xy90(2)因为 g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以 g(x)f(x)cos x(xa)sin xco

21、s xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)令 h(x)xsin x，则 h(x)1cos x0，所以 h(x)在 R 上单调递增 因为 h(0)0，所以当 x0 时，h(x)0；当 x0 时，h(x)0 当 a0 时，g(x)(xa)(xsin x)，当 x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当 x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增 当 a0 时，g(x)x(xsin x)，当 x(，)时，g(x)0，所以 g(x)在(，)上单调递增 当 a0 时，g(x)(xa)(xsin x)，当 x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当 x(0，a)时，x

22、a0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增 综上所述，当 a0 时，函数 g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减 1/11 含参数函数单调性 基础知识总结和逻辑关系 一、函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤和方法:1)确定函数的()f x的定义区间；2)求()fx，令()0fx，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；3)把函数()f x的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些 点把函数()f x的定义区间分成若干个小区间；4)确定()fx在各个区间内的符号，由()fx的符号判定函数 f x在每个相应小区间内的单调性.二、函数的极

23、值 求函数的极值的三个基本步骤 1)求导数()fx；2)求方程()0fx 的所有实数根；3)检验()fx在方程()0fx 的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()f x在这个根处取得极大（小）值.三、求函数最值 1)求函数()f x在区间(,)a b上的极值；2)将极值与区间端点函数值(),()f af b比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.四 利用导数证明不等式 1）利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0 时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数

24、的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的.2）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.含参函数

25、的单调性，核心是三个步骤，四个流程：1）第一步：先求定义域，再求导；2）第二步：准确求出导数()fx之后，按以下四个流程依次走：【注意题目本身给定的参数范围】流程：最高次项系数如果含参数，分“0；0；0”三种情况依次讨论该系数。（不含参就直接略过）“0”时，求出参数的值，代回()fx，写出不含参数的()fx的最简洁、直观的形式；“0”或“0”时，把最高次项系数外提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来。流程：接流程，判断方程()0fx是否有根。如果方程()0fx没有任何实根，说明()0fx或()0fx恒成立，()f x恒定单增或单减，直接写结论；如果方程()0fx有实根，

26、全部求出来，写明“1x ”，“2x ”然后进入流程。流程：判断由得出的根是否在定义域内。（i）定义域内没有根，写出()fx，肯定有()0fx或()0fx，说明函数 ()f x在定义域内恒定单增或单减，直接写出结论；（ii）定义域内有且只有一个根，对这个唯一的根进行列表，判断()f x单调递增区间和单调递减区间；（iii）定义域内有两根（包含两等根或两异根），那么就进入流程。流程：在流程中确定二次函数型()0fx在定义域内有两根12,x x的情况下，讨论两根大小（“”，“”，“”）。然后列表，依据表格写出结论。3）第三步：（3）写综上所述。对参数的所有可能取值都要写出，对应结论相同的时候，参数范

27、围必须合并。【题】讨论函数()(0)kxf xxek的单调区间。【难度】*【题】讨论函数2()ln(1)2kf xxxx的单调区间。【难度】*【点评】求单调区间的步骤（1）确定函数的定义域，（2）求出()fx，令 ()0fx ，求出根，求出在定义域内所有的根，（3）把函数的间断点在横坐标上从小到大排列起来，把定义域分成若干个小区间，（4）确定()fx在每个区间的正负号，求出相应的单调区间。【题】判断函数2()4lnf xxxax的单调性。【难度】*【题】求函数232()14af xxaxx的单调区间。【难度】*【题】、求函数2()(1)(2,)xf xexaxxaR 的单调区间。【难度】*【题

28、】求函数21()ln()2f xxax aR的单调区间。【难度】*【题】讨论函数2()2ln(21)f xkxxx的单调性。【难度】*【题】讨论函数()1kxef xx的单调性。【难度】*【题】讨论函数22()(1)xaf xx的单调性。【难度】*【题】求函数2()(1)(1,)xf xexaxxaR 的单调区间。【难度】*【题】求函数2()(1)(3,)xf xexaxxaR 的单调区间。【难度】*3 利用导数研究含参变量函数的最值问题 利用导数研究含参变量函数最值的基本思路和大致步骤：通常是先讨论函数的单调性，必要时画出函数的示意图，然后进行最值的讨论。【题】已知函数 xf xxk e 1

29、求 f x的单调区间；2求 f x在区间0,1上的最小值.【解析】：（1）,1k减1,k （2）1,k minf xk 2,k min(1)f xk e 1k2，1minkf xe 【难度】*【题】已知函数2()1(0)f xaxa，3()g xxbx当24ab时，求函数()()f xg x的单调区间，并求其在区间,1 上的最大值.【难度】*【题】已知函数321()2313f xxxx，给定区间,2 aa，（0a），试求()f x在此区间上的最大值。【难度】*【题】已知0a，函数ln()axf xx：（1）讨论()f x的单调性；（2）求()f x在区间,2 aa上的最值.【答案】：02ea时

30、，maxln2()(2)2af xfa，min()()lnf xf aa ae时，max()()lnf xf aa，minln2()(2)2af xfa 2ae时，max()()af xf ee，minln2()(2)2af xfa 22ea时，max()()af xf ee，min()()lnf xf aa【难度】*【点评】【题】、已知函数1()ln(1),0,01xf xaxxax(1)求()f x的单调区间；(2)若()f x的最小值为 1，求 a 的取值范围.【答案】：2a 时，()f x在0,)上单调递增 02a时，()f x在20,)aa上单调递减 ()f x在2(,)aa上单调递

31、增 2a 【难度】*【题】已知函数：)(ln)1()(Raxaxaxxf,当 ex,1时，求)(xf的最小值；【答案】当ea 1 时，1ln1minaaaxf 当ea 时，eaaexf1min 【难度】*【题】已知函数23()31(0),()9f xxag xxx，若()()f xg x上的最大值为28.求实数k的取值范围【难度】*【题】已 知 函 数 32f xaxxbx（其 中 常 数,a bR），g xf xfx为奇函数.(1)求 f x的表达式；(2)讨论 g x的单调性，并求 g x在区间1,2上的最大值与最小值.【答案】3213f xxx g x在1,2上最大值为4 23，最小值4

32、3【难度】*【题】设3211()232f xxxax.（1）若()f x在2(,)3上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当02a时，()f x在1,4上的最小值为163，求()f x在该区间上的最大值。【答案】a的取值范围是1(,)9()f x在该区间上的最大值为103.【难度】*【题】已知函数2()lnf xxx(1)求函数()f x的单调递增区间；(2)求函数()f x在(0,(0)aa 上的最大值.【答案】当202a时，()f x在(0,(0)aa 上的最大值为2lnaa;当22a 时，()f x在(0,(0)aa 上的最大值为1ln22【难度】*【题】设函数23()1(1)f x

33、a xxx，其中0a:（1）讨论()f x在其定义域上的单调性；（2）0,1x时，求()f x取得最大值和最小值时x的值.【难度】*【题】已知函数32()f xxaxbxc(实数,a b c为常数2(0,)2 )的图像过原点，且在1x 处的切线为直线12y (1)求函数()f x的解析式;(2)若0m，求函数()f x在区间,m m上的最大值.【难度】*【题】设函数22()3lnf xxaxax(1)讨论()f x的单调性;(2)若 a 为正常数，求()f x在区间(0,(0)t t 上的最小值.【难度】*友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。