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1、函数的单调性的教学设计函数的单调性的教学设计【教学目标】【教学目标】1.知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法步骤。2.过程与方法：通过观察函数图象的变化趋势上升或下降，初步体会函数单调性，然后数形结合，让学生尝试归纳函数单调性的定义，并能利用图像及定义解决单调性的证明。3.情感、态度与价值观：在对函数单调性的学习过程中，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，增强学生由现象猜想结论的能力。【教学重点】【教学重点】函数单调性的概念、判断。【教学难点】【教学难点】根据定义证明函数的单调性。【教学方法】【教学方法】教师
2、启发讲授，学生探究学习。【教学工具】【教学工具】教学多媒体。【教学过程】【教学过程】一、创设情境，引入课题1：师：同学们刚刚从楼下走到了教室，如果把每一个楼梯的台阶都标上数字，我们一起来描述一下从楼下走到教室这一过程中，同学们的位置变化。生：随着楼梯台阶标号的增大，我们所处的位置在不断地上升。师：(积极反馈，全班鼓掌表扬)反之，我们下楼时，我们的位置显然是在下降的。2.画出下列函数的图像，并观察所画的函数图象，随着函数自变量的增大(减小)，你能得到什么信息?（1）f(x)=x（2）f(x)=-x+1（3）f(x)x2二、归纳探索，形成概念以f(x)x2为例，详讲。图象在 y 轴左侧“下降”,也
3、就是,在区间(-,0上随着 x 的增大,相应的 f(x)反而随着减小;图象在 y 轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+)上随着 x 的增大,相应的 f(x)也随着增大.本节内容其实就是针对自变量与函数值之间的变化关系进行的专题研究之一函数单调性的研究。1.借助图象，直观感知根据以上的图像，用自己的话语定义一下增函数和减函数。2.抽象思维，形成概念在函数的定义区间上描述随着自变量值的变化，函数值的变化情况。师：思考，如何利用函数解析式来描述函数随着自变量值的变化，函数值的变化情况?(注意函数的定义区间)师：如果给出函数，你能用准确的数学符号语言表述出函数单调性的定义吗?生：(师生共同探究，得出
4、增函数严格的定义)一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域上某个区间 A 上的任意两个自变量的值 x1,x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 A 上是增函数;如果对于定义域上某个区间 B 上的任意两个自变量的值 x1,x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 B 上是减函数。3.如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间.注意：（1）如果函数 y=f(x)在区间 I 是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y=f(x
5、)在区间 I 上具有单调性。在单调区间上，从左到右看，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。（2）函数单调性是针对某个区间而言（3）x 1,x 2 取值的任意性判断 1：函数f(x)x2在,是单调增函数；判断 2：定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)f(1)，则函数 f(x)在 R 上是增函数；三、掌握证法，适当延展【例 1】下图是定义在下图是定义在 5 5，55上的函数上的函数y yf f(x x)的图象的图象,根据图象说出根据图象说出y yf f(x x)的单调区间的单调区间,以及在每一单调区间上以及在每一单调区间上,y yf f(x x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数
6、.y y321-5-4-3-2-1O O12345x x-1-2解:函数 y=f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5.其中 y=f(x)在区间-5,-2),1,3)上是减函数,在区间-2,1),3,5上是增函数.探究：画出下列函数图像，并写出单调区间：1(1)y(x 0);x1能不能说y(x 0)在定义域(,0)x是单调减函数?(0,)上【例 2】物理学中的波意耳定律 p=k/V(k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积 V 减小时,压强 p 将增大.试用函数的单调性证明之.思考：问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以
7、吗?引导学生分析这种叙述与定义的等价性设计意图初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤 等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔练习：四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，共同完成小结。1.函数单调性的定义中有哪些关键点？2.判断函数单调性有哪些常用方法？3.你学会了哪些数学思想方法？五、布置作业，拓展探究课后探究：(1)证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且(2)研究函数有的单调性，并结合描点法画出函数的草图六、板书设计函数的单调性一、引例二、概念三、例题讲解四、归纳小结，布置作业七、教学反思在有限的课
8、堂时间，使学生掌握利用数形结合的思想方法准确理解函数单调性的有关概念，加深对基本概念的认识。首先，展示一个学生都熟悉无比的情境，在这个情境中让学生直观地理解上升(递增)或下降(递减)的现象，然后针对所给的三个图象，结合情境中的直观现象，让学生描述这三个函数图象的特征。学生在描述函数图象特征(上升或下降)的时候较为顺利，但总觉得有错误，可又说不清理由。此时，教师指出：在叙述函数图像特征时要按照一定的标准，即观察的顺序应沿 x 轴正方向，自变量从左向右变化时，函数值(图像)的变化趋势，这样即可得到正确答案。学生在理解错误原因过程中亦得到了正确的研究方法。接下来，单刀直入地提出函数的单调性这个函数的性质。继而提出：图象特征如何转化为数学语言?经过学生探究思考，教师启发，学生归纳总结函数单调性的定义。结合图像，学生通过自主合作探索，自己给出了函数单调性的定义。然后让学生打开书本，与书上的表述比较，肯定他们的成果，并提示注意书本叙述的精确用语。本课学生印象深刻，理解深入，合作探究激发了学生的内驱力与自信心