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1、学习必备 精品知识点 全等三角形知识点总结及复习 一、知识网络 对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形 全等三角形 应用边角边 SAS判定 角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 HL作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理（一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形 定义：能够完全重合的两个 三角形 称为 全等三角形。（注：全等三角形是 相似三角形 中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫
2、做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有 对顶角 的，对顶角一定是对应角；2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相
3、等的两个三角形全等。学习必备 精品知识点（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找 夹角相
4、等(SAS)第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题 例 1.已知：如图所示，AB=AC，求证：.例 2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF 与 DE 交于点 B。求证：。例 3.如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点
5、互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点 例 4.如图所示，垂足分别为 D、E，BE 与 CD 相交于点 O，且 求证：BD=CE。例 5：已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分 BAD、CE AB 于 E，且 B+D=180。求证：AE=AD+BE 分析：从上面例
6、题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于 AC 是角平分线，所以在 AE上截 AF=AD，连结 FC，可证出 ADC AFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在 AE 上截取 AF=AD，连结 FC。在 AFC 和 ADC 中 AF ADAC AC 已作已知公共边1 2 AFC ADC（边角边）AFC=D（全等三角形对应角相等）B+D=180（已知）B=EFC（等角的补角相等）在 CEB 和 CEF 中 边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解
7、全等的图形必须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点 B EFCCEB CEFCE CE已 证已 知公 共 边90 CE
8、B CEF（角角边）BE=EF AE=AF+EF AE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段 EA 上截 EF=BE，连结 FC（如右图）。小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。（四）全等三角形复习练习题 一、选择题 1如图，给出下列四组条件：AB DE BC EF AC DF，；AB DE B E BC EF，；B E BC EF C F，；AB DE AC DF B E，其中，能使ABC DEF 的条件共有（）A 1 组 B 2 组 C 3 组 D 4 组 2.如图，D E，分别为ABC 的AC，BC边的中点
9、，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若48 CDE，则APD 等于（）3.如 图（四），点P是AB上 任 意 一 点，ABC ABD，还 应 补 充 一 个 条 件，才 能 推 出APC APD 从下列条件中补充一个条件，不一定能推出APC APD 的是（）ABC BD B AC AD C ACB ADB D CAB DAB A 42 B 48 C 52 D 58 1 题图 2 题图 4.如图，在 ABC 与 DEF 中，已有条件 AB=DE，还需添加两个条件才能使 ABC DEF，不能添加的一组条件是()(A)B=E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF(C)A=D，B=E（
10、D）A=D，BC=EF 5如图，ABC 中，C=90，AC=BC，AD 是 BAC 的平分线，DE AB 于 E，若 AC=10cm，则 DBE 的周长等于()A 10cm B 8cm C 6cm D 9cm 6 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）1 处 2 处 3 处 4 处 C A D P B 图（四）DC 边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情
11、况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点 4 题图 5 题图 7某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（）A带去 B带去 C带去 D带去 8如图，在Rt ABC 中
12、，90 B，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E已知 10 BAE，则C 的度数为（）A 30 B 40 C 50 D 60 9如图，ACB A C B，BCB=30，则ACA的度数为（）A 20 B 30 C 35 D 40 10如图，AC AD，BC BD，则有（）A AB 垂直平分 CD B CD 垂直平分 AB 1 题图 C AB 与 CD 互相垂直平分 D CD 平分 ACB 8 题图 10 题图 11尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作
13、法得OCP ODP 的根据是（）A SAS B ASA C AAS D SSS 12.如图,C=90,AD 平分 BAC交 BC 于 D,若 BC=5cm,BD=3cm,则点 D 到 AB的距离为()A.5cm B.3cm C.2cm D.不能确定 13如图，OP 平分AOB，PA OA，PB OB，垂足分别为 A，B下列结论中不一定成立的是（）APA PB B PO平分APB C OA OB D AB垂直平分OP 14.如图，已知AB AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC 的是（）ACB CD B BAC DAC C BCA DCA D 90 B D 11 题图 12 题图
14、 二、填空题 1.如 图，已 知AD AB，DAC BAE，要 使 ABC ADE，可 补 充 的 条 件 是 A D C E B 8 题AB CD7 题图 ABCDA B C D 14 题图 C A B B A O 13 题图 B A P O D P C A B 边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对
15、应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点（写出一个即可）_ 2.如图,在 ABC中,C=90,AC=BC,AD平分 BAC交 BC于 D,DE AB于 E,且 AB=5cm,则 DEB的周长为 _ 3.如图，BAC ABD，请你添加一个条件：，使OC OD（只添一个即可）4.如图，在 ABC 中，C=90 ABC 的平分线 BD交 AC于点
16、D,若 BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点 D到直线 AB的距离是 _厘米。1 题图 2 题图 3 题图 4 题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形 有 个 6.已知：如图，OAD OBC，且 O 70，C 25，则 AEB _度.7 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE、AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ.以下五个结论：AD=BE；PQ AE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的结论
17、有 _（把你认为正确的序号都填上）。8.如图所示，AB=AD，1=2，添加一个适当的条件，使 ABC ADE，则需要添加的条件是_.6 题图 7 题图 8 题图 三、解答题 第 1个 第 2个 第 3个A C E B D O A B C D E D O C B A ABCDEQ POBEDC AA 边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫
18、做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点 1.如图，已知 AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.2.如图，在ABC 中，40 AB AC BAC，分别以AB AC，为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使90 BAD CAE（1）求DBC 的度数；（2）求证：BD CE 3.如图，在 ABE 中，AB
19、AE,AD AC,BAD EAC,BC、DE交于点 O.求证：(1)ABC AED；(2)OB OE.4.如图，D 是等边 ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边 EDC，连接 AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由 5.如图，在 ABC 和 DCB 中，AB=DC，AC=DB，AC 与 DB 交于点 M（1）求证：ABC DCB；（2）过点 C 作 CN BD，过点 B 作 BN AC，CN 与 BN 交于点 N，试OCEBDAA D M E D C B A 边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必
20、须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点 判断线段 BN 与 CN 的数量关系，并证明你的结论 6.如图，四边形ABCD
21、的对角线AC与BD相交于O点，1 2，3 4 求证：（1）ABC ADC；（2）BO DO 7如图，在ABC 和ABD 中，现给出如下三个论断：AD BC；C D；1 2 请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：（2）请选择一个真命题加以证明 你选择的真命题是：证明：8.已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，AB DC，BE CF，B C求证：OA OD 2 1 D C B A O 1 2 3 4 边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必须满足形状
22、相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点 9如图，ABC 中，BAC=90 度，AB=AC，BD 是 ABC 的平分线，BD 的延
23、长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F 求证：BD=2CE 10.如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F 于点，平分 交 于点，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明 11已知：如图，DC AB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点，（1）求证：AED EBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除 EBC 外，请再写出两个与 AED 的面积相等的三角 形（直接写出结果，不要求证明）：12 如图，E、F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DE AC 于 E，BF AC 于 F，若 AB=CD，AF=CE，BD 交 A
24、C 于点 M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当 E、F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；OEDCBAB D C F A 郜E FEDCBA边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角
25、一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点 若不成立请说明理由 13 已知：如图 A、D、C、B 在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF 求证：（1）DF CE（2）DE=CF A D F E 14.如图，已知在 ABC 中，BE、CF 分别是 AC、AB 两条边上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在 CF 的延长线上截取 CG=AB，连结 AD、AG，则 AG 与 AD 有何关系？试证明你的结论 15.如图
26、，已知 BE AC 于 E，CF AB 于 F，BE、CF 相交于点 D，若 AB=AC 求证：AD 平分 BAC B C E 边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等
27、三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点 16.如图，B=C=90，M 是 BC 中点，DM 平分 ADC，求证：AM 平分 DAB 17.如图，在 ABC 和 DBC 中，ACB=DBC=90，E 是 BC 的中点，EF AB，垂足为 F，且 AB=DE 8.如图，AD 是 ABC 的角平分线，DE AB，DF AC，垂足分别为 E、F，连接 EF，EF 与 AD 交于 G，AD 与 EG 垂直吗？证明你的结论。19 如图，在 ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD，
28、CE相交于点 O 试说明 AE+CD=AC 如图，在 ABC 中，B=60，边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定
29、方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角学习必备 精品知识点 ABC 的角平分线 AD，CE 相交于点 O 试说明 AE+CD=AC 20.如图，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC上，且 DAE=FAE.求证：AF=AD+CF。已知：在 ABC 中，BAC=90，AB=AC,AE 是过点 A的一条直线，且 BD AE于 D，CE AE于 E,(1)当直线 AE处于如图的位置时，有 BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线 AE处于如图的位置时，则 BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1）（2），请用
30、简洁的语言表达 BD,DE,CE之间的关系。A B F C E D B C E A D B A D E C 边边角边判定角边角角角边斜边直角边角平分线作图性质与判定定理应用二基础知识梳理一基本概念全等的理解全等的图形必须满足形状相同的图形大小相等的图形即能够完全重合的两个图形叫全等形同样我们把能够完全重合的两 中的特殊情况当两个三角形完全重合时互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫做对应边互相重合的角叫做对应角由此可以得出全等三角形的对应边相等对应角相等全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对 的角一定是对应角有对顶角的对顶角一定是对应角全等三角形的性质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角