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1、学习必备 精品知识点 解三角形 一、基础知识 1、相关三角函数公式（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式 s inc o sc o ss ins in s ins inc o sc o sc o s t a nt a n1t a nt a nt a n（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式 c o ss in22s in 22s inc o s2c o s22 c o s1212 s i n 2t a n1t a n22t a n (3)降次公式 221 cos 21cos 2sin,cos.22 21c o s 2t a n1c o s 2.(4）辅助角公式 )s in(c o ss in22b
2、aba 其中2222cos,sin,tanabbaabab 2、三角形相关定理、公式（1）正弦定理 asinAbsinBcsinC2R(2R 为三角形外接圆的直径)变形:a:b:csinA:sinB:sinC a2RsinA b2RsinB c2RsinC sinAa2R sinBb2R sinCc2R（2）余弦定理 a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC 变形:b2c2a22bccosA a2c2b22accosB a2b2c22abcosC cosAb2c2a22bc cosBa2c2b22ac cosCa2b2c22ab sin2Asin2Bs
3、in2C2sinBsinCcosA(正余弦定理相结合)学习必备 精品知识点（3）面积公式 S12absinC12bcsinA12acsinB12(|OA|OB|)2(OAOB)2（4）内角和定理 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.ABC C(AB)C22AB2 Sin（A+B）sinC，cos（A+B）cosC，sinAB2cosC2 锐角三角形最大角是锐角三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角一角正弦大于另一角的余弦（sincosCA）任意两边的平方和大于第三边的平方.（5）其他定理 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；大边对大角,小边对小角（6
4、）两个常用结论 AB 是 sinAsinB 的充要条件；若 sin2Asin2B,则 AB 或 AB2 二、基本方法 1、解三角形 条件 解法 已知两角一边，如 A、B、a 用正弦定理sinsinBAba，求得 b.已知两边和其中一边的对角，如 a、b、A 方法一：用正弦定理sinsinBAba，求得sin B，若sin1B 则无解，若sin1B 则一解，若sin1B 则可能有两解、一解，要结合大边对大角定理进行判断，如果 B 是大角则有两解，否则一解.方法二：用余弦定理2222 cosabcbA，求得 c.已知两边和其夹角，如 a、b、C 用余弦定理2222oscababc，求得 c，再用余
5、弦定理求出另外两角.已知三边，如 a、b、c 用余弦定理222cos2bcaAbc，求得 A，同理求得 B、C.2、三角形综合问题的解法（1）突破口是边角关系的分析，正余弦定理都能实现边角关系的互化，但边化角往往用正弦定理，角化边往往用余弦定理。（2）问题中若涉及面积问题，首先选择面积公式，弄清条件或需要求的几个量，选择公切公式降次公式辅助角公式其中三角形相关定理公式正弦定理为三角形外接圆的直径变形余弦定理变形正余弦定理相结合学习必备精品知识点面积公式内角和定理任意两角和与第三个角总互补任意两半角和与第三个角的半角总互余意两边的平方和大于第三边的平方其他定理两边之和大于第三边两边之差小于第三边
6、大边对大角小边对小角两个常用结论是的充要条件若则或二基本方法解三角形条件已知两角一边如已知两边和其中一边的对角如已知两边和其夹角角定理进行判断如果是大角则有两解否则一解方法二用余弦定理求得用余弦定理外两角求得再用余弦定理求出另用余弦定理求得同理求得三角形综合问题的解法突破口是边角关系的分析正余弦定理都能实现边角关系的互化但边化角学习必备 精品知识点 式时往往以已知角为主。（3）若三角形中有一个角已经确定，如 A，由此可知 B+C，用此可消去一个角，也可以结合余弦定理得2222 cosabcbA，转化为边的关系。（4）若三角形中有两个角已经确定，如 A、B，则可以确定另一角 C，从而可以选择正弦
7、定理结合条件求解。（5）在三角形内进行三角恒等变形时，往往遇见sincoscossinBCBC这类式子，要将其转化为sin()BC，当化简到一定程度不能化简却又得不到所求时，一定要用内角和定理消角后再变形，如sin()sinBCA。（6）题目条件不足，无法求解时，要主动结合正余弦定理，挖掘出隐含条件后再求解，如求得ac后，可结合正弦定理sinsinaAcC，形成方程组求解。三、典型例题 1、（2010 年高考广东卷理科 11）已知 a,b,c 分别是ABC的三个内角 A,B,C 所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则 sinC=.2、(2010 年高考湖北卷理科 3)在ABC中，a=15
8、，b=10,A=060，则cos B（）A.2 23 B.2 23 C.63 D.63 3、(2010 年高考天津卷理科 7)在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若223abbc，sinC=23sinB，则 A=（）A、30 B、60 C、120 D、150 4（辽宁）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则ab（）A2 3 B2 2 C3 D2 5、（四川）在ABC中222sinsinsinsinsinBCBC.则 A的取值范围是（）(A)(0，6 (B)6，)(c)(0，3 (D)3，)切公式降次公式辅助角
9、公式其中三角形相关定理公式正弦定理为三角形外接圆的直径变形余弦定理变形正余弦定理相结合学习必备精品知识点面积公式内角和定理任意两角和与第三个角总互补任意两半角和与第三个角的半角总互余意两边的平方和大于第三边的平方其他定理两边之和大于第三边两边之差小于第三边大边对大角小边对小角两个常用结论是的充要条件若则或二基本方法解三角形条件已知两角一边如已知两边和其中一边的对角如已知两边和其夹角角定理进行判断如果是大角则有两解否则一解方法二用余弦定理求得用余弦定理外两角求得再用余弦定理求出另用余弦定理求得同理求得三角形综合问题的解法突破口是边角关系的分析正余弦定理都能实现边角关系的互化但边化角学习必备 精品
10、知识点 6、（湖南）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c 若120C，2ca，则（）Aab Bab Ca=b Da与b的大小关系不能确定 7、(2010 年宁夏卷 16）在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=12DC，ADB=120，AD=2，若ADC 的面积为33，则BAC=_ 8、（2010 年高考江苏卷试题 13）在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，6cosbaCab，则tantantantanCCAB=_ _。9、（天津）如图，在ABC中，D是边AC上的点，且,23,2ABCDABBD BCBD，则sinC的值为（）A33 B36 C63 D
11、66 10、（全国课标）在ABC中，60,3BAC，则2A BB C的最大值为 。2 7 A B C D 切公式降次公式辅助角公式其中三角形相关定理公式正弦定理为三角形外接圆的直径变形余弦定理变形正余弦定理相结合学习必备精品知识点面积公式内角和定理任意两角和与第三个角总互补任意两半角和与第三个角的半角总互余意两边的平方和大于第三边的平方其他定理两边之和大于第三边两边之差小于第三边大边对大角小边对小角两个常用结论是的充要条件若则或二基本方法解三角形条件已知两角一边如已知两边和其中一边的对角如已知两边和其夹角角定理进行判断如果是大角则有两解否则一解方法二用余弦定理求得用余弦定理外两角求得再用余弦定
12、理求出另用余弦定理求得同理求得三角形综合问题的解法突破口是边角关系的分析正余弦定理都能实现边角关系的互化但边化角学习必备 精品知识点 11、在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知cos A-2cosC2c-a=cos Bb.（1）求sinsinCA的值；（2）若 cosB=14，2b,求ABC的面积.12、ABCV的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知2acb，90A C,求C.切公式降次公式辅助角公式其中三角形相关定理公式正弦定理为三角形外接圆的直径变形余弦定理变形正余弦定理相结合学习必备精品知识点面积公式内角和定理任意两角和与第三个角总互补任意两半角和与第三个
13、角的半角总互余意两边的平方和大于第三边的平方其他定理两边之和大于第三边两边之差小于第三边大边对大角小边对小角两个常用结论是的充要条件若则或二基本方法解三角形条件已知两角一边如已知两边和其中一边的对角如已知两边和其夹角角定理进行判断如果是大角则有两解否则一解方法二用余弦定理求得用余弦定理外两角求得再用余弦定理求出另用余弦定理求得同理求得三角形综合问题的解法突破口是边角关系的分析正余弦定理都能实现边角关系的互化但边化角学习必备 精品知识点 13、在ABCV中，角,A B C的对边分别是,a b c，已知sincossinCCC.来求sinC的值；若()abab ，求边c的值.14、（江苏）在ABC
14、 中，角 A、B、C 所对应的边为cba,（1）若,cos2)6sin(AA 求 A 的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值.切公式降次公式辅助角公式其中三角形相关定理公式正弦定理为三角形外接圆的直径变形余弦定理变形正余弦定理相结合学习必备精品知识点面积公式内角和定理任意两角和与第三个角总互补任意两半角和与第三个角的半角总互余意两边的平方和大于第三边的平方其他定理两边之和大于第三边两边之差小于第三边大边对大角小边对小角两个常用结论是的充要条件若则或二基本方法解三角形条件已知两角一边如已知两边和其中一边的对角如已知两边和其夹角角定理进行判断如果是大角则有两解否则一解方法二用余弦定理求
15、得用余弦定理外两角求得再用余弦定理求出另用余弦定理求得同理求得三角形综合问题的解法突破口是边角关系的分析正余弦定理都能实现边角关系的互化但边化角学习必备 精品知识点 15、在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且22()(23)abcbc，2cossinsin2CBA，BC边上中线AM的长为7 16、设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，3cos()cos2A CB，2bac，求B。切公式降次公式辅助角公式其中三角形相关定理公式正弦定理为三角形外接圆的直径变形余弦定理变形正余弦定理相结合学习必备精品知识点面积公式内角和定理任意两角和与第三个角总互补任意两半角和与第三
16、个角的半角总互余意两边的平方和大于第三边的平方其他定理两边之和大于第三边两边之差小于第三边大边对大角小边对小角两个常用结论是的充要条件若则或二基本方法解三角形条件已知两角一边如已知两边和其中一边的对角如已知两边和其夹角角定理进行判断如果是大角则有两解否则一解方法二用余弦定理求得用余弦定理外两角求得再用余弦定理求出另用余弦定理求得同理求得三角形综合问题的解法突破口是边角关系的分析正余弦定理都能实现边角关系的互化但边化角学习必备 精品知识点 17、在ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC 求 b 18、在ABC中，内角A BC
17、，对边的边长分别是abc，已知2c，3C(）若ABC的面积等于3，求ab，；(）若sinsin()2sin 2CBAA，求ABC的面积 切公式降次公式辅助角公式其中三角形相关定理公式正弦定理为三角形外接圆的直径变形余弦定理变形正余弦定理相结合学习必备精品知识点面积公式内角和定理任意两角和与第三个角总互补任意两半角和与第三个角的半角总互余意两边的平方和大于第三边的平方其他定理两边之和大于第三边两边之差小于第三边大边对大角小边对小角两个常用结论是的充要条件若则或二基本方法解三角形条件已知两角一边如已知两边和其中一边的对角如已知两边和其夹角角定理进行判断如果是大角则有两解否则一解方法二用余弦定理求得用余弦定理外两角求得再用余弦定理求出另用余弦定理求得同理求得三角形综合问题的解法突破口是边角关系的分析正余弦定理都能实现边角关系的互化但边化角