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1、2 0 2 3 年 北 京 高 考 数 学 真 题 及 答 案本 试 卷 满 分 1 5 0 分.考 试 时 间 1 2 0 分 钟.考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上，在 试 卷 上 作 答 无 效.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 1 0 小 题，每 小 题 4 分，共 4 0 分.在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一项.1.已 知 集 合 2 0,1 0 M x x N x x，则M N（）A.2 1 x x B.2 1 x x C.2 x x D.1 x x
2、2.在 复 平 面 内，复 数z对 应 的 点 的 坐 标 是(1,3)，则z的 共 轭 复 数 z（）A.1 3 i B.1 3 i C.1 3 i D.1 3 i 3.已 知 向 量a b，满 足(2,3),(2,1)a b a b，则2 2|a b（）A.2 B.1 C.0 D.14.下 列 函 数 中，在 区 间(0,)上 单 调 递 增 的 是（）A.()l n f x x B.1()2xf x C.1()f xx D.|1|()3xf x5.512 xx 的 展 开 式 中x的 系 数 为（）A.8 0 B.4 0 C.4 0 D.8 06.已 知 抛 物 线2:8 C y x 的
3、 焦 点 为 F，点 M 在 C 上 若 M 到 直 线 3 x 的 距 离 为 5，则|M F（）A.7 B.6 C.5 D.47.在 A B C 中，()(s i n s i n)(s i n s i n)a c A C b A B，则 C（）A.6B.3C.2 3D.5 68.若 0 x y，则“0 x y”是“2y xx y”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件9.坡 屋 顶 是 我 国 传 统 建 筑 造 型 之 一，蕴 含 着 丰 富 的 数 学 元 素 安 装 灯 带 可 以 勾 勒 出
4、 建 筑 轮 廓，展 现 造 型 之美 如 图，某 坡 屋 顶 可 视 为 一 个 五 面 体，其 中 两 个 面 是 全 等 的 等 腰 梯 形，两 个 面 是 全 等 的 等 腰 三 角 形 若2 5 m,1 0 m A B B C A D，且 等 腰 梯 形 所 在 的 平 面、等 腰 三 角 形 所 在 的 平 面 与 平 面 A B C D 的 夹 角 的 正切 值 均 为1 45，则 该 五 面 体 的 所 有 棱 长 之 和 为（）A.1 0 2 m B.1 1 2 mC.1 1 7 m D.1 2 5 m1 0.已 知 数 列 na 满 足 3116 6(1,2,3,)4n n
5、a a n，则（）A.当13 a 时，na 为 递 减 数 列，且 存 在 常 数 0 M，使 得na M 恒 成 立B.当15 a 时，na 为 递 增 数 列，且 存 在 常 数 6 M，使 得na M 恒 成 立C.当17 a 时，na 为 递 减 数 列，且 存 在 常 数 6 M，使 得na M 恒 成 立D.当19 a 时，na 为 递 增 数 列，且 存 在 常 数 0 M，使 得na M 恒 成 立二、填 空 题：本 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5 分 1 1.已 知 函 数2()4 l o gxf x x，则12f _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6、_ _ 1 2.已 知 双 曲 线 C 的 焦 点 为(2,0)和(2,0)，离 心 率 为2，则 C 的 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 3.已 知 命 题:p若,为 第 一 象 限 角，且，则 t a n t a n 能 说 明 p 为 假 命 题 的 一 组,的 值为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4.我 国 度 量 衡 的 发 展 有 着 悠 久 的 历 史，战 国 时 期 就 已 经 出 现 了 类 似 于 砝 码 的、用 来 测 量 物 体 质 量 的“环权”已 知 9 枚 环 权 的 质 量（单 位
7、：铢）从 小 到 大 构 成 项 数 为 9 的 数 列 na，该 数 列 的 前 3 项 成 等 差 数 列，后 7 项 成 等 比 数 列，且1 5 91,12,192 a a a，则7a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；数 列 na 所 有 项 的 和 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5.设 0 a，函 数2 22,(),1,.x x af x a x a x ax x a，给 出 下 列 四 个 结 论：()f x在 区 间(1,)a 上 单 调 递 减；当 1 a 时，()f x存 在 最 大 值；设 1 1 1 2 2 2,M x f x x a
8、 N x f x x a，则|1 M N；设 3 3 3 4 4 4,P x f x x a Q x f x x a 若|P Q 存 在 最 小 值，则 a 的 取 值 范 围 是10,2 其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 8 5 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 6.如 图，在 三 棱 锥 P A B C 中，P A 平 面 A B C，1 3 P A A B B C P C，（1）求 证：B C 平 面 P A B；（2）求 二 面 角 A
9、 P C B 的 大 小 1 7.设 函 数()s i n c o s c o s s i n 0,|2f x x x（1）若3(0)2f，求的 值（2）已 知()f x在 区 间 2,3 3 上 单 调 递 增，2 13f，再 从 条 件、条 件、条 件 这 三 个 条 件 中 选择 一 个 作 为 已 知，使 函 数()f x存 在，求,的 值 条 件：23f；条 件：13f；条 件：()f x在 区 间,2 3 上 单 调 递 减 注：如 果 选 择 的 条 件 不 符 合 要 求，第（2）问 得 0 分；如 果 选 择 多 个 符 合 要 求 的 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个
10、 解答 计 分 1 8.为 研 究 某 种 农 产 品 价 格 变 化 的 规 律，收 集 得 到 了 该 农 产 品 连 续 4 0 天 的 价 格 变 化 数 据，如 下 表 所 示 在描 述 价 格 变 化 时，用“+”表 示“上 涨”，即 当 天 价 格 比 前 一 天 价 格 高；用“-”表 示“下 跌”，即 当 天 价格 比 前 一 天 价 格 低；用“0”表 示“不 变”，即 当 天 价 格 与 前 一 天 价 格 相 同 时 段 价 格 变 化第 1 天 到 第 2 0 天-+0-+0+0-+-+0 0+第 2 1 天 到 第 4 0 天 0+0-+0+0+-+0-+用 频 率
11、 估 计 概 率（1）试 估 计 该 农 产 品 价 格“上 涨”的 概 率；（2）假 设 该 农 产 品 每 天 的 价 格 变 化 是 相 互 独 立 的 在 未 来 的 日 子 里 任 取 4 天，试 估 计 该 农 产 品 价 格 在 这 4天 中 2 天“上 涨”、1 天“下 跌”、1 天“不 变”的 概 率；（3）假 设 该 农 产 品 每 天 的 价 格 变 化 只 受 前 一 天 价 格 变 化 的 影 响 判 断 第 4 1 天 该 农 产 品 价 格“上 涨”“下跌”和“不 变”的 概 率 估 计 值 哪 个 最 大（结 论 不 要 求 证 明）1 9.已 知 椭 圆2 2
12、2 2:1(0)x yE a ba b 的 离 心 率 为53，A、C 分 别 是 E 的 上、下 顶 点，B，D 分 别 是 E 的左、右 顶 点，|4 A C（1）求 E 的 方 程；（2）设 P 为 第 一 象 限 内 E 上 的 动 点，直 线 P D 与 直 线 B C 交 于 点 M，直 线 P A 与 直 线 2 y 交 于 点 N 求证：/M N C D 2 0.设 函 数3()ea x bf x x x，曲 线()y f x 在 点(1,(1)f 处 的 切 线 方 程 为 1 y x（1）求,a b 的 值；（2）设 函 数()()g x f x，求()g x的 单 调 区
13、 间；（3）求()f x的 极 值 点 个 数 2 1.已 知 数 列,n na b 的 项 数 均 为 m(2)m，且,1,2,n na b m,n na b 的 前 n 项 和 分 别 为,n nA B，并 规 定0 00 A B 对 于 0,1,2,k m，定 义 m a x,0,1,2,k i kr i B A i m，其 中，m a x M 表 示 数 集 M 中 最 大 的 数.（1）若1 2 3 1 2 32,1,3,1,3,3 a a a b b b，求0 1 2 3,r r r r 的 值；（2）若1 1a b，且1 12,1,2,1,j j jr r r j m，求nr；（
14、3）证 明：存 在,0,1,2,p q s t m，满 足,p q s t 使 得t p s qA B A B 参 考 答 案一、选 择 题：本 题 共 1 0 小 题，每 小 题 4 分，共 4 0 分.在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一项.【1 题 答 案】【答 案】A【2 题 答 案】【答 案】D【3 题 答 案】【答 案】B【4 题 答 案】【答 案】C【5 题 答 案】【答 案】D【6 题 答 案】【答 案】D【7 题 答 案】【答 案】B【8 题 答 案】【答 案】C【9 题 答 案】【答 案】C【1 0 题 答 案】【答 案】B
15、二、填 空 题：本 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5 分【1 1 题 答 案】【答 案】1【1 2 题 答 案】【答 案】2 212 2x y【1 3 题 答 案】【答 案】.9 4.3【1 4 题 答 案】【答 案】.4 8.3 8 4【1 5 题 答 案】【答 案】三、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 8 5 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤【1 6 题 答 案】【答 案】（1）证 明 见 解 析（2）3【1 7 题 答 案】【答 案】（1）3.（2）条 件 不 能 使 函 数()f x存 在；条 件 或 条 件 可 解 得 1，6.【1 8 题 答 案】【答 案】（1）0.4（2）0.1 6 8（3）不 变【1 9 题 答 案】【答 案】（1）2 219 4x y（2）证 明 见 解 析【2 0 题 答 案】【答 案】（1）1,1 a b（2）答 案 见 解 析（3）3 个【2 1 题 答 案】【答 案】（1）00 r，11 r，22 r，33 r（2）,nr n n N（3）证 明 见 详 解