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1、 第1页/共26页 2023 北京高考真题 数 学 本试卷满分本试卷满分 150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项题目要求的一项.1.已知集合20,10Mx xNx x=+=，则MN=（）A.21xx B.21xx C.2x x D.1x x
2、2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,3)，则z的共轭复数z=（）A.13i+B.13i C.13i+D.13i 3.已知向量ab，满足(2,3),(2,1)abab+=，则22|ab=（）A.2 B.1 C.0 D.1 4.下列函数中，在区间(0,)+上单调递增的是（）A.()lnf xx=B.1()2xf x=C.1()f xx=D.|1|()3xf x=5.512xx的展开式中x的系数为（）A.80 B.40 C.40 D.80 6.已知抛物线2:8C yx=的焦点为F，点M在C上若M到直线3x=的距离为 5，则|MF=（）A.7 B.6 C.5 D.4 7.在ABC中，()(si
3、nsin)(sinsin)acACbAB+=，则C=（）A.6 B.3 C.23 D.56 8.若0 xy，则“0 xy+=”是“2yxxy+=”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之 第2页/共26页 美如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形若25m,10mABBCAD=，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102m B.112m
4、 C.117m D.125m 10.已知数列 na满足()31166(1,2,3,)4nnaan+=+=，则（）A.当13a=时，na为递减数列，且存在常数0M，使得naM恒成立 B.当15a=时，na为递增数列，且存在常数6M，使得naM恒成立 C.当17a=时，na为递减数列，且存在常数6M，使得naM恒成立 D.当19a=时，na为递增数列，且存在常数0M，使得naM恒成立 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11.已知函数2()4logxf xx=+，则12f=_ 12.已知双曲线 C 的焦点为(2,0)和(2,0)，离心率
5、为2，则 C 的方程为_ 13.已知命题:p若,为第一象限角，且，则tantan能说明 p 为假命题的一组,的值为=_，=_ 14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”已知 9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 na，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且1591,12,192aaa=，则7a=_；数列 na所有项的和为_ 15.设0a，函数222,(),1,.xxaf xaxaxaxxa+=，给出下列四个结论：()f x在区间(1,)a+上单调递减；当1a 时，()f x存在最大值；设()()()()
6、()()111222,M xf xxaN xf xxa，则|1MN；第3页/共26页 设()()()()()()333444,P xf xxaQ xf xxa 若|PQ存在最小值，则 a 的取值范围是10,2 其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.如图，在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，13PAABBCPC=，（1）求证：BC平面 PAB；（2）求二面角APCB的大小 17.设函数()sincoscossin0,|2f xxx=+（1）若3(0)2
7、f=，求的值（2）已知()f x在区间 2,33上单调递增，213f=，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x存在，求,的值 条件：23f=；条件：13f=；条件：()f x在区间,23上单调递减 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同 时段 价
8、格变化 第4页/共26页 第 1 天到第 20 天-+0-+0+0-+-+0 0+第 21 天到第 40 天 0+0-+0+0+-+0-+用频率估计概率（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的离心率为53，A、C 分别是 E 的上、下顶点，B
9、，D分别是E的左、右顶点，|4AC=（1）求E的方程；（2）设P为第一象限内 E 上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线2y=交于点N求证：/MNCD 20.设函数3()eax bf xxx+=，曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程为1yx=+（1）求,a b的值；（2）设函数()()g xfx=，求()g x的单调区间；（3）求()f x的极值点个数 21.已知数列 ,nnab的项数均为 m(2)m，且,1,2,nna bm ,nnab的前 n 项和分别为,nnA B，并规定000AB=对于0,1,2,km，定义max,0,1,2,kikri BA im=，其中，m
10、ax M表示数集 M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3aaabbb=，求0123,r r r r的值；（2）若11ab，且112,1,2,1,jjjrrrjm+=，求nr；（3）证明：存在,0,1,2,p q s tm，满足,pq st 使得tpsqABAB+=+第5页/共26页 参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项题目要求的一项.1.【答案】A【分析】先化简集合,M N，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，20|
11、2Mx xx x=+=，10|1Nx xx x=，根据交集的运算可知，|21MNxx=.故选：A 2.【答案】D【分析】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】z在复平面对应的点是(1,3)，根据复数的几何意义，13iz=+，由共轭复数的定义可知，13iz=.故选：D 3.【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,a b满足(2,3),(2,1)abab+=，所以22|()()2(2)3 11ababab=+=+=.故选：B 4.【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断 ABC，举反例排除 D即
12、可.【详解】对于 A，因为lnyx=在()0,+上单调递增，yx=在()0,+上单调递减，所以()lnf xx=在()0,+上单调递减，故 A错误；对于 B，因为2xy=在()0,+上单调递增，1yx=在()0,+上单调递减，所以()12xf x=在()0,+上单调递减，故 B 错误；对于 C，因为1yx=在()0,+上单调递减，yx=在()0,+上单调递减，所以()1f xx=在()0,+上单调递增，故 C 正确；对于 D，因为1112213332f=，()()1 12 101331,233ff=，显然()13xfx=在()0,+上不单调，D错误.第6页/共26页 故选：C.5.【答案】D【
13、分析】写出512xx的展开式的通项即可【详解】512xx的展开式的通项为()()555 21551212rrrrrrrrTCxC xx+=令521r=得2r=所以512xx的展开式中x的系数为()25 2251280C=故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.6.【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线2:8C yx=的焦点()2,0F，准线方程为2x=，点M在C上，所以M到准线2x=的距离为MF，又M到直线3x=的距离为5，所以15MF+=，故4MF=.故选：D.7.【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sin
14、sin)(sinsin)acACbAB+=，所以由正弦定理得()()()ac acb ab+=，即222acabb=，则222abcab+=，故2221cos222abcabCabab+=，又0C，所以3C=.故选：B.8.【答案】C【分析】解法一：由2xyyx+=化简得到0 xy+=即可判断；解法二：证明充分性可由0 xy+=得到xy=，代入xyyx+化简即可，证明必要性可由2xyyx+=去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由xyyx+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0 xy+=代入即可，证明必要性可由 第7页/共26页 xyyx+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0 x
15、y+=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0 xy，且2xyyx+=，所以222xyxy+=，即2220 xyxy+=，即()20 xy+=，所以0 xy+=.所以“0 xy+=”是“2xyyx+=”的充要条件.解法二：充分性：因为0 xy，且0 xy+=，所以xy=，所以1 12xyyyyxyy+=+=，所以充分性成立；必要性：因为0 xy，且2xyyx+=，所以222xyxy+=，即2220 xyxy+=，即()20 xy+=，所以0 xy+=.所以必要性成立.所以“0 xy+=”是“2xyyx+=”的充要条件.解法三：充分性：因为0 xy，且0 xy+=，所以()2222222222x
16、yxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxy+=，所以充分性成立；必要性：因为0 xy，且2xyyx+=，所以()()22222222222xyxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxy+=，所以()20 xyxy+=，所以()20 xy+=，所以0 xy+=，所以必要性成立.所以“0 xy+=”是“2xyyx+=”的充要条件.故选：C 9.【答案】C 第8页/共26页 【分析】先根据线面角的定义求得5tantan14EMOEGO=，从而依次求EO，EG，EB，EF，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E做EO 平面ABCD，垂足为O，过E分别做EGBC，EMAB，垂足分别为
17、G，M，连接,OG OM，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO和EGO，所以5tantan14EMOEGO=.因为EO 平面ABCD，BC平面ABCD，所以EOBC，因为EGBC，,EO EG 平面EOG，EOEGE=，所以BC平面EOG，因为OG平面EOG，所以BCOG，.同理：OMBM，又BMBG，故四边形OMBG是矩形，所以由10BC=得5OM=，所以14EO=，所以5OG=，所以在直角三角形EOG中，()222253149EGEOOG=+=+=在直角三角形EBG中，5BGOM=，()22223958EBEGBG=+=+=，又因为55255515EFAB=，
18、所有棱长之和为2252 101548117m+=.故选：C 10.【答案】B【分析】法 1：利用数列归纳法可判断 ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断 B 的正误.法 2：构造()()31664xfxx=+，利用导数求得()f x的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项na所在区间，从而判断 na的单调性；对于 A，构造()()32192647342h xxxxx=+，判断得11nnaa+，进而取4mM=+推得naM不恒成立；对于 B，证明na所在区间同时证得后续结论；对于 C，记()0143log2log61mM=+，取01mm=+推得naM不恒成立；对于 D，构造()()3219
19、2649942g xxxxx=+，判断得11nnaa+，进而取1mM=+推得naM不恒成立.第9页/共26页 【详解】法 1：因为()311664nnaa+=+，故()311646nnaa+=，对于 A，若13a=，可用数学归纳法证明：63na 即3na，证明：当1n=时，1363a=，此时不等关系3na 成立；设当nk=时，63ka 成立，则()3162514764,4kkaa+=，故136ka+成立，由数学归纳法可得3na 成立.而()()()()231116666441nnnnnnaaaaaa+=，()20144651149na=，60na，故10nnaa+，故1nnaa+，故 na为减
20、数列，注意1063ka+故()()()()23111666649644nnnnnaaaaa+=，结合160na+，所以()16694nnaa+，故119634nna+，故119634nna+，若存在常数0M，使得naM恒成立，则19634nM，故16934nM，故9461 log3Mn+，故naM恒成立仅对部分n成立，故 A不成立.对于 B，若15,a可用数学归纳法证明：106na 即56na，证明：当1n=时，10611a=，此时不等关系56na成立；设当nk=时，56ka成立，则()31164416,0kkaa+=，故1106ka+成立即 由数学归纳法可得156ka+成立.而()()()(
21、)231116666441nnnnnnaaaaaa+=，()201416na ，60na，故10nnaa+，故1nnaa+，故 na为增数列，若6M=，则6na 恒成立，故 B 正确.第10页/共26页 对于 C，当17a=时，可用数学归纳法证明：061na即67na，证明：当1n=时，1061a，此时不等关系成立；设当nk=时，67ka成立，则()31160,4164kkaa+=，故1061ka+成立即167ka+由数学归纳法可得67na成立.而()()21166014nnnnaaaa+=，故1nnaa+，故 na为减数列，又()()()2111666644nnnnaaaa+=，结合160n
22、a+可得：()111664nnaa+，所以1164nna+，若1164nna+，若存在常数6M，使得naM恒成立，则164nM恒成立，故()14log6nM，n的个数有限，矛盾，故 C 错误.对于 D，当19a=时，可用数学归纳法证明：63na 即9na，证明：当1n=时，1633a=，此时不等关系成立；设当nk=时，9ka 成立，则()3162764143kkaa+=，故19ka+成立 由数学归纳法可得9na 成立.而()()21166014nnnnaaaa+=，故1nnaa+，故 na为增数列，又()()()2119666446nnnnaaaa+=，结合60na 可得：()11116396
23、449nnnaa+=，所以114963nna+，若存在常数0M，使得naM恒成立，则19643nM+，故19643nM+，故946log13Mn+，这与 n 的个数有限矛盾，故 D错误.故选：B.第11页/共26页 法 2：因为()3321119662648442nnnnnnnaaaaaaa+=+=+，令()3219264842f xxxx=+，则()239264fxxx=+，令0fx，得2 3063x或2 363x+；令()0fx，得2 32 36633x+；所以()f x在2 3,63和2 36,3+上单调递增，在2 32 36,633+上单调递减，令()0f x=，则3219264804
24、2xxx+=，即()()()146804xxx=，解得4x=或6x=或8x=，注意到2 34653，2 37683+，所以结合()f x的单调性可知在(),4和()6,8上()0f x，在()4,6和()8,+上()0f x，对于 A，因为()311664nnaa+=+，则()311646nnaa+=，当1n=时，13a=，()32116643aa=，则23a，假设当nk=时，3ka，当1nk=+时，()()331311646364kkaa+=，则13ka+，综上：3na，即(),4na ，因为在(),4上()0f x，所以1nnaa+，则 na为递减数列，因为()33211191661264
25、7442nnnnnnnaaaaaaa+=+=+，令()()32192647342h xxxxx=+，则()239264h xxx=+，因为()h x开口向上，对称轴为96324x=，所以()h x在(,3上单调递减，故()()23339 32604h xh=+，第12页/共26页 所以()h x在(,3上单调递增，故()()321933326 347042h xh=+，故110nnaa+，即11nnaa+，假设存在常数0M，使得naM恒成立，取4mM=+，其中1MMM，且ZM，因为11nnaa+，所以2132431,1,1MMaaaaaa+，上式相加得，()14333MaaMMM+=，则4mM
26、aaM+=，与naM恒成立矛盾，故 A错误；对于 B，因为15a=，当1n=时，156a=，()()33211166566644aa=+=+，假设当nk=时，6ka，当1nk=+时，因为6ka，所以60ka，则()360ka，所以()3116664kkaa+=+，又当1n=时，()()332111615610445aa=+=+，即25a，假设当nk=时，5ka，当1nk=+时，因为5ka，所以61ka ，则()361ka ，所以()3116654kkaa+=+，综上：56na，因为在()4,6上()0f x，所以1nnaa+，所以 na为递增数列，此时，取6M=，满足题意，故 B 正确；对于
27、C，因为()311664nnaa+=+，则()311646nnaa+=，注意到当17a=时，()3216617644a=+=+，3341 1664 41664a+=+=，143346166144416a+=+第13页/共26页 猜想当2n 时，()1312164kka+=，当2n=与3n=时，2164a=+与43164a=+满足()1312164nna+=，假设当nk=时，()1312164kka+=，当1nk=+时，所以()()()13113131122311666116664444kkkkaa+=+=+=，综上：()()13121624nnan=+，易知310n，则()13121014n，
28、故()()()1312166,724nnan=+，所以(,6 7na，因为在()6,8上()0f x，所以1nnaa+，则 na为递减数列，假设存在常数6M，使得naM恒成立，记()0143log2log61mM=+，取01mm=+，其中*00001,Nmmm m，则()0142log6133mmM=+，故()()14log61312mM，所以()1312614mM，即()1312164mM+，所以maM，故naM不恒成立，故 C 错误；对于 D，因为19a=，当1n=时，()32116427634aa=，则29a，假设当nk=时，3ka，当1nk=+时，()()331116936644kka
29、a+=，则19ka+，综上：9na，因为在()8,+上()0f x，所以1nnaa+，所以 na为递增数列，第14页/共26页 因为()332111916612649442nnnnnnnaaaaaaa+=+=+，令()()32192649942g xxxxx=+，则()239264gxxx=+，因为()gx开口向上，对称轴为96324x=，所以()gx在)9,+上单调递增，故()()23999 92604gxg=+，所以()()321999926 949042g xg=+，故110nnaa+，即11nnaa+，假设存在常数0M，使得naM恒成立，取1mM=+，其中1MMM，且ZM，因为11nn
30、aa+，所以213211,1,1MMaaaaaa+，上式相加得，1191MaaMMM+，则1mMaaM+=，与naM恒成立矛盾，故 D错误.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11.【答案】1【分析】根据给定条件，把12x=代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数2()4logxf xx=+，所以12211()4log2 1 122f=+=.故答案为：1 1
31、2.【答案】22122xy=【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为,a b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在 x 轴上，其半焦距2c=，由双曲线C的离心率为2，得2ca=，解得2a=，则222bca=，第15页/共26页 所以双曲线C的方程为22122xy=.故答案为：22122xy=13.【答案】.94 .3【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为()tanf xx=在0,2上单调递增，若0002，则00tantan，取1020122,2,kkk k=+=+Z，则()()100200tant
32、an 2 tan,tantan 2tankk=+=+=，即tantan，令12kk，则()()()()102012002 22kkkk=+=+，因为()120022,02kk，则()()12003202kk=+，即12kk，则.不妨取12001,0,43kk=，即9,43=满足题意.故答案为：9;43.14.【答案】.48 .384【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解,d q，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求73,aa，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【详解】方法一：设前 3 项的公差为d，后 7 项公比为0q，则4951921612aqa=，且0q，可得
33、2q，则5321 2aadq=+=，即123d+=，可得1d=，空 1：可得43733,48aaa q=，空 2：()127693 1 21 233 23 233841 2aaa=+=+=+方法二：空 1：因为,37nan为等比数列，则5272912 19248aa a=，且0na，所以748a=；第16页/共26页 又因为2537aa a=，则25373aaa=；空 2：设后 7项公比为0q，则2534aqa=，解得2q，可得()1339334567128933 192 26,381211 2aaaa qaaaaaaaaaqa+=+=+，所以12396381384aaaa+=+=.故答案为：
34、48；384.15.【答案】【分析】先分析()f x的图像，再逐一分析各结论；对于，取12a=，结合图像即可判断；对于，分段讨论()f x的取值范围，从而得以判断；对于，结合图像可知MN的范围；对于，取45a=，结合图像可知此时PQ存在最小值，从而得以判断.【详解】依题意，0a，当xa时，()2fxx=+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当axa 时，()22f xax=，易知其图像是，圆心为()0,0，半径为a的圆在x轴上方的图像（即半圆）；当xa时，()1f xx=，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于，取12a=，则()f x的图像如下，显然，当(1,)xa+
35、，即1,2x+时，()f x在1,02上单调递增，故错误；对于，当1a 时，当xa时，()221f xxa=+；当axa 时，()22f xax=显然取得最大值a；当xa时，()112f xxa=，第17页/共26页 综上：()f x取得最大值a，故正确；对于，结合图像，易知在1xa=，2xa且接近于xa=处，()()()()()()111222,M xf xxaN xf xxa的距离最小，当1xa=时，()10yf x=，当2xa且接近于xa=处，()221yf xa=，此时，121 1MNyya+，故正确；对于，取45a=，则()f x的图像如下，因为()()()()()()333444,
36、P xf xxaQ xf xxa ，结合图像可知，要使PQ取得最小值，则点P在()425f xxx=+上，点Q在()216442555f xxx=，同时PQ的最小值为点O到()425f xxx=+的距离减去半圆的半径a，此时，因为()425f xyxx=+的斜率为1，则1OPk=，故直线OP的方程为yx=，联立2yxyx=+，解得11xy=，则()1,1P，显然()1,1P 在()425f xxx=+上，满足PQ取得最小值，第18页/共26页 即45a=也满足PQ存在最小值，故a的取值范围不仅仅是10,2，故错误.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得()f x的图像，特别是当a
37、xa 时，()22f xax=的图像为半圆，解决命题时，可取特殊值进行排除即可.三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.【答案】（1）证明见解析 （2）3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PABC，再利用勾股定理证得BCPB，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC与平面PBC的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问 1 详解】因为PA 平面,ABC BC 平面ABC，所以PABC，同理PAAB，所以PA
38、B为直角三角形，又因为222PBPAAB=+=，1,3BCPC=，所以222PBBCPC+=，则PBC为直角三角形，故BCPB，又因为BCPA，PAPBP=，所以BC平面PAB.【小问 2 详解】由（1）BC平面PAB，又AB平面PAB，则BCAB，以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)APCB，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)APACBCPC=，第19页/共26页 设平面PAC的法向量为()111,mx y z=，则00m APm AC=，即
39、1110,0,zxy=+=令11x=，则11y=，所以(1,1,0)m=，设平面PBC的法向量为()222,xny z=，则00n BCn PC=，即222200yxyz=+=，令21x=，则21z=，所以(1,0,1)n=，所以11cos,222m nm nm n=，又因为二面角APCB为锐二面角，所以二面角APCB的大小为3.17.【答案】（1）3=.（2）条件不能使函数()f x存在；条件或条件可解得1=，6=.【分析】（1）把0 x=代入()f x的解析式求出sin，再由|2即可求出的值；（2）若选条件不合题意；若选条件，先把()f x的解析式化简，根据()f x在 2,33上的单调性
40、及函数的最值可求出T，从而求出的值；把的值代入()f x的解析式，由13f=和|2即可求出的值；若选条件：由()f x的单调性可知()f x在3x=处取得最小值1，则与条件所给的条件一样，解法与条件相同【小问 1 详解】因为()sincoscossin,0,|2f xxx=+所以()()3(0)sin0 coscos0 sinsin2f=+=，因为|2，所以3=.【小问 2 详解】因为()sincoscossin,0,|2f xxx=+，第20页/共26页 所以()()sin,0,|2f xx=+，所以()f x的最大值为1，最小值为1.若选条件：因为()()sinf xx=+的最大值为1，最
41、小值为1，所以23f=无解，故条件不能使函数()f x存在；若选条件：因为()f x在 2,33上单调递增，且213f=，13f=所以2233T=,所以2T=,21T=,所以()()sinf xx=+，又因为13f=，所以sin13+=，所以2,Z32kk+=+，所以2,Z6kk=+，因为|2，所以6=.所以1=，6=；若选条件：因为()f x在 2,33上单调递增，在,23上单调递减，所以()f x在3x=处取得最小值1，即13f=.以下与条件相同 18.【答案】（1）0.4 （2）0.168 （3）不变【分析】（1）计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算；（2）分别计算出表格中上涨
42、，不变，下跌的概率后进行计算；（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【小问 1 详解】根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：160.440=【小问 2 详解】在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，第21页/共26页 0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是22142C0.4C0.35 0.250.168=【小问 3 详解】由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次
43、仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.19.【答案】（1）22194xy+=（2）证明见解析【分析】（1）结合题意得到53ca=，24b=，再结合222acb=，解之即可；（2）依题意求得直线BC、PD与PA的方程，从而求得点,M N的坐标，进而求得MNk，再根据题意求得CDk，得到MNCDkk=，由此得解.【小问 1 详解】依题意，得53cea=，则53ca=，又,A C分别为椭圆上下顶点，4AC=，所以24b=，即2b=，所以2224acb=，即22254499aaa=，则29a=，所以椭圆E的方程为22194xy+=.【小问 2 详解】因为椭圆E的方
44、程为22194xy+=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0ACBD，因为P为第一象限E上的动点，设()(),03,02P m nmn，则22194mn+=，易得022303BCk+=，则直线BC的方程为223yx=，第22页/共26页 033PDnnkmm=，则直线PD的方程为()33nyxm=，联立()22333yxnyxm=，解得()3 32632612326nmxnmnynm+=+=+，即()3 32612,326326nmnMnmnm+，而220PAnnkmm=，则直线PA的方程为22nyxm=+，令=2y，则222nxm=+，解得42mxn=，即4,22mNn，又22
45、194mn+=，则22994nm=，22872 18mn=，所以()()()()()()122641223263 32696182432643262MNnnmnnmknmnmnmnmmnmn+=+2222226482464824986123696123672 18nmnmnmnmnmmnmnmnnm+=+()()22222324126482429612363332412nmnmnmnmnmnmnmnm+=+，又022303CDk+=，即MNCDkk=，显然，MN与CD不重合，所以/MNCD.20.【答案】（1）1,1ab=（2）答案见解析 （3）3 个【分析】（1）先对()f x求导，利用导数
46、的几何意义得到(1)0f=，(1)1f=，从而得到关于,a b的方程组，解之即可；（2）由（1）得()g x的解析式，从而求得()gx，利用数轴穿根法求得()0gx与()0gx的解，由此求得()g x的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(),0，()10,x，()12,x x与()2,x+上()fx的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得()f x的极值点个数.【小问 1 详解】因为3R()e,ax bf xxxx+=，所以()()2313eax bfxaxx+=，因为()f x在(1,(1)f处的切线方程为1yx=+，第23页/共26页 所以(1)
47、1 10f=+=，(1)1f=，则()31 1e013e1a ba ba+=+=，解得11ab=，所以1,1ab=.【小问 2 详解】由（1）得()()()()231R13exgfxxxxx+=，则()()1266 exxgxxx+=，令2660 xx+=，解得33x=，不妨设133x=，233x=+，则120 xx，易知1e0 x+恒成立，所以令()0gx，解得10 xx或2xx；令()0gx，解得0 x 或12xxx；所以()g x在()10,x，()2,x+上单调递减，在(),0，()12,x x上单调递增，即()g x的单调递减区间为()0,33和()33,+，单调递增区间为(),0和
48、()33,33+.【小问 3 详解】由（1）得()31R()exf xxxx+=，()()23113exfxxx+=，由（2）知()fx在()10,x，()2,x+上单调递减，在(),0，()12,x x上单调递增，当0 x 时，()24011ef =，()010f=，即()()010ff 所以()fx在(),0上存在唯一零点，不妨设为3x，则310 x，此时，当3xx时，()0fx，则()f x单调递减；当30 xx时，0fx，则()f x单调递增；所以()f x在(),0上有一个极小值点；当()10,xx时，()fx在()10,x上单调递减，则()()()13311 20fxff=，故()
49、()100ffx，所以()fx在()10,x上存在唯一零点，不妨设为4x，则410 xx，此时，当40 xx时，0fx，则()f x单调递增；当41xxx时，()0fx，则()f x单调递减；所以()f x在()10,x上有一个极大值点；当()12,xx x时，()fx在()12,x x上单调递增，则()()()233310fxff=+=，故()()120fxfx，第24页/共26页 所以()fx在()12,x x上存在唯一零点，不妨设为5x，则152xxx，此时，当15xxx时，()0fx，则()f x单调递减；当52xxx时，()0fx，则()f x单调递增；所以()f x在()12,x
50、x上有一个极小值点；当2333xx=+时，()232330 xxxx=，所以()()231013exfxxx+=，则()f x单调递增，所以()f x在()2,x+上无极值点；综上：()f x在(),0和()12,x x上各有一个极小值点，在()10,x上有一个极大值点，共有3个极值点.【点睛】关键点睛：本题第 3 小题的解题关键是判断()1fx与()2fx的正负情况，充分利用()fx的单调性，寻找特殊点判断即可得解.21.【答案】（1）00r=，11r=，21r=，32r=（2）,nrn n=N （3）证明见详解【分析】（1）先求01230123,AA AA BB BB，根据题意分析求解；（