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1、5.4正、余弦定理（精练）（提升版）题组一判断三角形额形状1.（2022四川省峨眉第二中学校）在“4 Be中，已知（c-a）（b +c +a）=3 A，且2c o s 8 s i n C =s i n/，则 /8c的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意,s i n 4=s i n彳s i*4）=（fiiSin G as C B 则 2c o s E s i n C =s i n 8 c o s c +s i n C e o s 5 o s i n 8 c o s c -c o s 8 s i n C =s i n（8 -C）=0，
2、又 一 根M 则B =C，由 3 +c-a）（b +c +）=3儿可得S+C）2_ 2=3A,HPb2+c2-a2=bc,所以 8 s=由 /，知2hc 2 3综上可知即“I B C的形状是等边三角形.故选：B2.（2022 全国高三专题练习）在A/。中，角人，所对的边分别为“，J ,若8 sg =包a-ccosB s i n则“8C的形状是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形【答案】AB.直角三角形D.等边三角形 s a l.EU -ccosA sinB-十3 e 丁，口 sin B-sin C cos A sinB 击日【解析】因为百菽也正弦定理可得：s in/-s 屋嬴 不 整理可得:s
3、in A cos 力=sin 8 cos B，R即n sin24=sin23，r所r 以r.2A=2B 或者_ 2A+2B=7r，r所r r以l A=B 或42+C8 =it，2而当/+8 =工时则C=工，所以三角形 3 C为直角三角形，所以C.cos8=a,2 2则叫=当中,这 时 c cos8=0,分母为o无意义所以4=8,选：八a-ccosB sin J3.（2022 全国高三专题练习）在“8 C 中，已知。+6=乙+,则“8 C 的形状一 定 是（）tan A tan BA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得sin Z+sin
4、 8=包 4 +=cos A+cos B,tan A tan B整理得:sin A cos A=-sin 5+cos B即&s i n _ j=_&s i n（5 _?），乂因为“津 武。/）,所以卜一?卜（一；,弓）小一所以移项得：Z+8=1，所以三角形一定为直角三角形.故选：B4.（2022 西藏 拉萨中学高三阶段练习（理）在“。中，8=二，c=0,b=50拒，则为6（）A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形【答案】Bb。50 150.73 0 Cc2B.sin A s=in B s=in C5-6-7cos2 A+cos2 B cos2 C=1 D.ta
5、n A+tan B+tan C 0【答案】BD【解析】对于A,若由余弦定理可知cosC=，W 二 Mo,即角,为锐角，不能推出其他lab角均为锐角，故错误；对于3 因为皿啦处,可得s i ：sin8:sinC=5:6:7,可得q：b：c=5：6:7,设a=5k,b=6k,5 6 7c=1 k，k 0,可得c 为最大边，c 为三角形最大角，根据余弦定理得3 0 岁 =次+=4始=!0,可得C 为锐角，可得A8 C 一定是锐角三角形,2ab 2 x5k x 6k 5故正确；对于 C，因为 cos?/+cos,B-cos2 c =1，得 1-sin?/+1-sin,3-（1-sin?C）=1，整理可
6、得s in +sin2 8=sin2C，由正弦定理可得/+=/，可得。为直角，故错误；对-于D，因为.由 工于，“c、tan A+tanS m tan+tan 5=-tan C+tan A tan B tan Ctan(4+8)=-,整理得，1 -tan J tan B故 tan 4+tan 8+tan C=tan A tan B tan C,山 tan 4+tan 8+tan C 0 故 tan 4 tan 8 tan C 0 故A，8，c 均为锐角，8 c 为锐角三角形，故正确.故选：BD.6.(2022浙 江 高 三 专 题 练 习)己 知 内 角 A，8，c 所对的边分别为0，b c，
7、面积为s 若asin史 =6sinZ,2S=B A CAt 贝 i 8 c 的形状是（）2A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】因为asin生 =b s in/,所以asin(%-O =bsinN，即 4cosO=bsin/,2 U 2 J 2D由正弦定理可得：sin A cos =sin S sin A,2r asin J 0 g、B.口 、.B B因为，所以cos=sm4=2sincos一,22 2因为。0 生，所以c o s 。，所以2 s id =l,可得s i i =L所以与解得5=g,2 2 2 2 2 2 2 6 3因为2s=6 历L C
8、/,所以2 x 4 c s in/=6 b c c o s X,即sinZ=6 c o s/,2所以tan4=6,可得力=工，所以c =7 r-4-8 =工,所以“8 c 的形状是正三角形，故选：C.337.（2022湖南 长沙一中）（多选）在-4 8 c 中，角“，&C 所对的边分别为。，b,c,以下说法中正确的 是（）A-若 N 8,则sin/sin 8B.若a=4,6=5,c=6,则 为 钝 角 三 角 形C.若a=5,6=10,/=生，则符合条件的三角形不存在D 若 aco s/=ZcosB，贝 U“5 c 一定是等腰三角形【答案】AC【解析】若/8,则 所 以 由 正 弦 定 理 可
9、 得 s in/s in 8,故 A 正确：若a=4,6=5,，=6,则/+/,即cosC F2二 i 0,所以角,为锐角，即“尤 为锐角三角2 a b形，故 B 错误；若“=5,=1 0,月=；,根据正弦定理可得加 8=姆上1=3 也=&14a 5 2所以符合条件的三角形不存在，即 C 正确；若aco s/=bcos8,则sinZcos4=sin8cos8,即5苗2%=5m28,因为2/78（）,）,2 （0,），所以24=2 8 或2N+2 B ，即=8 或/+8=生，所以 S C 为等腰或直角三角形，故口错误.故选：AC2题组二最值问题1.（2021安徽）已知四边形N8CZ）是圆内接四边
10、形，AB=4,AD=5,BD=3,则”台。的周长取最大值时，四边形4 8 8 的面积为（）A 3 B H C.9 +3标 D.3+3加 4 4【答案】A【解析】Z 4 BD 中，因 AB2+BD2=2 5=AD2,则/窃。=9 0 ,c o s =-,而四边形4 88是圆内接四边形，如图：.A+C =7T 6,4.3贝 I J ,c o s C =-c o s/l =，s i n C =-5 5在8 C。中，由余弦定理 S C +C D2-2 BC-C D co s C =B D2 得 8 c 2 +CD2+B C C D =9 ,（BC+CD）2=9+-BC CD3,所以BC=CD =典 时
11、，四边形/BC。的周长取最大值，2四边形/8 C。的面积S =5,8 0 +5 0 3 1 8 c C Q s in ZB8=_ L.3.4 +L 我 画 3=卫.4 2 2 2 2 2 2 5 4故选：A2.（2 0 2 1 全国高三专题练习（文）在/以；中，角A，B c的对边分别是，b c，且A，B，C成等差数列，一”则分的取值范围是（）1/T-C 4 UA.【I?)B.(，2 C.1，由D.。，+)【答案】A【解析】在中，由A，B C成等差，可得2 8 =Z+C，由 ，得，B=3.由 余 弦 定 理=+c _ 2QCCOS8,可得/_ 2 a c x；=(a +c _ 3 a c =4
12、3 a c ,又3 a c 0 a +c)、3,当且仅当 5时等号成立，即.-.l 4-3 c 4 ,BP 1 f t2 4 解得1 4 b k+Z C -,由于A,。为锐角三角形，则N C&,.工4N C 工，则0 COSN CWL32 3 2 2即。/+(+1-(2左 y 1,整理得9-2人-5 1 35.(2022全国高三专题练习)在8 c 中，是8 c 边上一点，且=工，亚=！，若。是8 c 的中点,6 BD 2则 生=；若=4百，则 的 面 积 的 最 大 值 为AB【答案】叵 4百3【解析】若。是C 的中点，则4。=必=空，B=-2 4 6在48。中，由余弦定理可得NO?=友）2+
13、4 8 2-2/8.8 COS8即 空=BD2+AB2-24B BDX也，整理得4 8 2-6 4 比 8 0 +:8。2 =0,424即止争X，所以所争。在 A/8 C 中，由余弦定理得/C?=8C2+4 8 2-2/8/C-co s 8o/T6 7=4BO2+-5 )2-2 x 5Z)x25)x =-B O24 2 2 4AC上2BD力 厂 L BD/T7所以哼=专=理AB g BD 32若3,吟，,由上述”畀作山人于 点 已 由 Y，知DE=AD.DA AB作,.AF A.BC于.点,.尸r，Z/.AsDnB=71所以A C在C 边上的高为=丝=且/尸，BF=A B =BD2 4 2 4
14、所以 SMDC=:4FCD=BD,CDZo因为=C =4 G,NADB=%,所以N N O C=233由余弦定理得 AC?=NO?+CD?_ 2/0-C)cosZADCi i i Q即 48=-BD2+CD2+-B D C D =(CD BD)2+-B D C D4 2 2 2当时，皿0 有最大值，即为。=4 8,则B=322 2所以&血=BD-CD=x32=4y/3A D C g 8故答案为：岑，4 66(2022山 东)如图，设“8C 的内角 A、B、C 的对边分别为。、b、。，G(acosC +ccos/)=2bsin 8，且N C =X.若点。是“8 C 外一点，31,33,则当=_
15、_ _ _ _ _ 时，四边形 8 8 的面积的最3大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】13+乎【解析】.百(QCOSC+CCOS/)=2bsin B，由 I上弦定理可得G(sin/cosC +cos/sinC)=2sin2 B 所以，2sin2 5=/3sin(?1+C)=V 3sin(-B)=/3sinB N C/8=/0,L考，所以，A/8 C 为等边三角形，设。则 0 2_2/0-CDcose=10-6cos。，S。/ARC=g.兀 _ 氏（c 公 573 35/35 Z。sin ,彳（1。-6 cos。）=-cos 31 3S ACD=2 AD-C D2sin
16、 O=sin0，所以，四边形 8的面积为s =s.g+s，sc=Tsine+乎 一 乎 cose=3sin（e-2）+W，：0 0 7 V 7 1 八冗 2 乃，0 ，3 3 3所以，当。-生=三 时，即当/）=0=至 时，四边形 8 8 的面积取最大值3+亚.3 2 6 2故答案为：济3+迫.6 27.（2021上海市进才中学）在 锐 角 3 c 中，f 一 心 桃,则广二-丁二+2加/的取值范围为【解析】./一 =6c，利用余弦定理可得:I）2+c2-2 bcco sA-b2=bc 1c2 一 2bc cos A=bc c-2b cos A=b由正弦定理可得:sinC-2sin3cos/=
17、sin8 /.sin(J+)-2sin Bcos A=sin即 sin A cos 5-sin 5 cos 4=sin 5，即 sin(4-B)=sin B乂春台。为锐角三角形，./一3=夕E|J A=2B7 1 7 1 n 冗 冗/九0 2 5 -A -2 6 4 3 2，7 10 7 r-3 B 2A B B C-A B B C =-A B B C ,4 2 2所以&5 C 4 5 6,当且仅当/3 =3 C 时等号成立，所以ZB SC的最大值为56.故答案为：56.9.(2022湖南 长 沙 一中高三阶段练 习)在A48。中，内角N,B,C 的对边分别为“，b,c,且sin C+cos
18、C=sin 5+sin Csin A(1)求角4(2)若/B C 是锐角三角形，且 c=4,求 b 的取值范围.【答案】（号Q，8）.【解析】,G sinC+cosC=s in 8+s in C,.6 sin-sin C +sin 4 co sc=sin8+sinCsin JVJsin Zsin C+sin A cos C=sin（Z+C）+sin CV3 sin 4 sin C+sin A cos C=sin J cos C+cos/sin C+sin CG sin/sin C=cos JsinC+sinCv C e（O,-）s i n C 0/3sin J =cos/l+l VJsin力
19、一 cos力=1 2sin（力一工）一1 sin4 一 工）=!6 I 6,6 J71 _ T l66,式.=A.=3Mg ecT，;.c咛为.48C 是锐角三角形，.0 C&n 0 2-8（生n 工 8 生，2 3 2 6 2同理，工 C 工.根据正弦定理得,6 2be 4 sin 5 4sin（4+C）=n b=；-=-；-sin 5 sinC sinC sinC-4 h_ _c_o_s _C_ _+-siJn C=2+m厂sin C tan C-C =0 e（2,8）.6 2 y/j tanC、10.（2022宁夏石嘴山一模（理）在A/BC 中，角4 B，C 的对边分别为a,b,c,D为
20、的中点,右 2b cos C=2a+c 求/B S 若a+c=6，求8。的最小值【答案】（1）8=如（2）33 2【解析】解：由 双。sC=2a+c,利用L弦定理J得：2sinBcosC=2sin N+sinC 2cosSsinC+sinC=0 sin%。，；.cos人 ，.8=网2 3AC _ 1 _ _（2）由。为 的中点，访=（现+於），,4BD=BA+BC2+2BA BC =c2+a2+2accosB=（a+c）2-3ac 1又.a+cW2 疝，4（丁，：-4BD2 （a+c）2=9,当且仅当”=c=3时，|丽|取最小值3.2题组三 三角形解的个数1.（2022 全国高三专题练习）（多
21、选）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（）人 a=3 h=4 4=30。0。=3 6=4 八 3A.,H.,COS D 5C-a=3 6=4，C=30 D-a=3，6=4，8=30。【答案】BCD【解析】根据题意，在 A条件下N =ml =si n 3 =&x s i n/=2,因为.2 =2 v3,c o s =,5 =6 0 ;u-【答案】A B D【解析】对于4 大边对大角，而。1，无解；对于 C，由c o s/=也 可 得 si n Z =2 叵，正弦定理求出“，再由正弦定理或余弦定理可求出;有解;5 5对于D,由和通过余弦定理可得c o sC =0，Hc=6 0 矛盾，无解故选
22、：A B D3.（2022全国高三专题练习）已知AZ8C的内角力，B,C 所对的边分别为明 h,c,若 =0，6=2,A=,则满足条件的AB C（）6A.无解 B.有一个解C.有两个解 D.不能确定【答案】C【解析】因为a=&b=2,A=J,6由正弦定理可得一 三=勺，所以sin8=2sinN=E，sin A sinB Q 2因为B为三角形内角，所以生因此8=1 或 8=史，6 6 4 4若8=9,则。=上 符 合 题意；若 8=包，则C=三，符合题意；4 12 4 12因此A/8 C 有两个解：故选：C4.（2022 全国高三专题练习）在“S C 中，cos/=，若角C 有唯一解，则实数”的
23、取值范13围 是（）A.M B.岛 1 C.副唱 D.（0,割 31【答案】D【解析】在 8 C 中，cos/=,S in 5 =W,若有唯一解，则 8 C 有唯一解，13设内角A，B C 所对应的边分别为Q，b由cos/=乜，则A 为一确定的锐角且Sin4=工，所以q =也=工，13 13 6 sin 8 13机如图以C 为圆心，a 为半径画圆弧，当圆弧与边4 8 有 1个交点时满足条件，如图示：即圆弧与边/A相切或与圆弧与边4A相交有2 个交点，A bAD其中一个交点在线段 的反向延长线上（或在点八处），t t La=bsin A=-b a-b,13叫 二 言，即。合，得拿或eC，解得I或
24、0 4 B 0 x-4 C”D.8 石a.D-J 4 x 4 x 3 3【答案】D【解析】如图:C D L A B BDB因为三角形ZB。小两解，所以C Q 8 c%c，所以b s i n/c a S所以3x 4 x，得4 x Ja2+b2-2abcos400=725-2 4 cos40由正弦定理：和扁J，有：一 三sin A4 j25-24cos40sin B sin 40可以求出角4、3,45c 唯一确定；故 B 正确.g工厂 =3,6=4,4=40 a b 士 3对十c：由正弦定理：i=有：诉4sin B._ 4xsin 40sin B=-3V a=3,6=4,ab*40=AB,这样的角
25、B 有 2 个，所以 力 5 c 不唯一，故 C 错误.对于 D：a=3,b=4,8=40由正弦定理：步扁二袅,有：总4sin 40.3 x sin 40 sin A=-,4,*a=3,b=4,:a 3 时，=0 B.当人=3 时，=1C 当 0 41 时，=o D.当 时，=2【答案】C【解析】作出A/8 C 外接圆如图所示，因为 =8 c =2 6 所以ANBC的外接圆半径为 二 二=地=3 2sinN V3因 为/=工，所以乙BOC=也，=1,3 3所以当Z8=/C 时，最大为3,此时“/B e 是唯一的，所以B 正确，A 正确，当o a时，由圆的对称性可知，此时一/所以c错误，D正确，
26、故选：C8.（2022云南师大附中高三阶段练习（文）A/BC 的内角“，B，C的对边分别为mb,c,已知/=30。,6=12，若A48C有两解，写出。的一个可能的值为【答案】7（满足ae（6,12）均可，答案不唯一）【解析】由于满足条件的 布 有 两个，则即6/3X3+=“Be 2 2 2 69 /2+6 /3 .-,4选四指时:由可知3浮等在 A/BC 中，由余弦定理得c o s B=B C2+-,即3=6 +”2 72,AB=30,2 BC-AB 3 2 瓜 AB:.S,r=-/1S-5 C s i n S =-x 3 V 2 x V 6 x =3 -*BC 2 2 32,（2 02 2
27、山西）在A/BC 中，D E 分 别 在 线 段 上，且 N 4 C D =N D C E =N B C E =3 7 C E =4,3s i n 3 7 =j）（1）若 8 c =5，求证：C E L AB（2）设乙C D E=，且。4 5。,6 0。，求 的 最 大值.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为2 8.【解析】（1）由s i n 3 7 Q=士可得c o s 3 7 0=-.5 5由余弦定理可得 8 炉=8C2+CE2-28C-CE-COSZ8CE=25+16-2X5X4X9=9,BE=3 B E2+C E2=B C2，N 8 E C =9 0即 C E L 48：C D E
28、 C E D E 4 D E“12-=-ULL,=-（2）在 中，由正弦定理可得s i n N C O E s i nZ D C E ,BP s i n3 3 ,故 5 s i n 0，5同理 sJ s i n（O +3 7。）.如/必 加 3 7。3 C D 12 s i n（0+3 7。）s i n。s i n（0-3 7）5 s i n （0-3 7）5 s i n 0s i n（0-3 7）由条件可得 4 c o 与ME的面积之比恰好等于A D :DE，-C-C s i n 3 7 2即-C C Z）s i n 3 7 2A D D E，A CC E即A D D E 4 AD 4 s
29、i n（6 +3 7 ）_ 4 s i n 0 c o s 3 7 0+4 c o s 0 s i n 3 7 _ 16 s i n 0+12 c o s 0D E s i n（。-3 7。）s i n 0 c o s 3 7 -c o s 0 s i n 3 7 0 4 s i n 0-3 c o s 0_ 16 t an 6 +12 _ 4（4 t an 6-3）+2 4 _4t 2 44 t an 0-3 4 t an 0-3 4 t an 6 -3.同4 5。,6 0。,.匕 皿 虫 可，.J。的最大值为2 8.3.（2。2 2 全国 高三专题练习）如图,在梯形小 8 32,（1）若4
30、 C =2 不，求梯形4 5。的面积;。）若 AC t B D求 t an N ABD -【答案】（1）7 色（2）t a n 4 8 D =辿 3【解析】设 S C ，在 8 C 中，由余弦定理叱=族+心-2AB BC cos/ABC28=22+x2-2.2.x.cos,即/+2%-2 4 =0,而 口，解得 一3得:所以*4,则“8 C 的面积小 好呢皿424*25梯形 8 8 中，/B/C。，AZ8C与“。C 等高，且c,=%生2所以“D C 的面积以 皿=应 亚=5 6，则 梯 形 的 面 积 S=S*+S ADC(?)在悌形/BCD 中，设 4 8 D =cT 例 4CJ.5。，则.
31、Z.BDC=a,N/DBAAC =-7-1-cc NDBC-2-7-r-ci,/B心C-A =a-7-1,236 B C AB _ BC 2 _ BC在 由正弦定理 sinZS。=sinZ54c 得:s i n(a_ )-s i n(_a)BDC CD _ BC 5 _ BC在 中，由正弦定理 sinNZZBC sin Z.BDC f J：sin/%a)s in a，2 sin(-a)两式相除得：-5sin(a-)、，向 J 2(cosa+sina)sina、2 2sin(-a)5.(当sin a 一;cos a)sinacos a格 里 得 5 G sin2 a 7 sin a cos a-
32、2 百 cos2 a=0 1 5 6 tan2 a-7 tan a-2百=0解得tan a考或t a na*，因为由 钙),则2考,M an 皿4.（2022云南）如图，a/B C中，点。在 上 且 满 足：AD=AB=y/24AD sin A=BD sin B在8=3,/c D/=工，.，_ 在这三个条件中任选一个，补充在题设中，求 BC的面积4 in-丁（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】6.【解析】在 8 中，由正弦定理得，一 ADsinA CDsinZACD,sinzf ACD sig在 8 中，由正弦定理得，=3 n 8 D s in 8 CD sin Z BC
33、D,sin BCD sinB JDsin A=Dsin B 9CD sin ZACD=CD sin ZBCD）即 sin/ZCD=sin Z8cD 则乙4CD=NBCD，即 a）是 4 c 8 的角平分线;AD=AB=6 n AD=6，8。=3夜，AB=4,4在 A/8C 中，由 4sinN=8Z）sinB 及正弦定理得，AD BC=BD AC.二&8C=3&ZC，即 8c=3ZC-若选：CD=3-在A/O C中，由余弦定理得，cos J =小+心-必-2AD AC(+/2-3 2242 ACAC1-1242AC在A 3 c 中，由余弦定理得，c o s=痛+2 -B=3 2-8/,2AB-A
34、C 8 V Lic4 c z-7 32-8ZC，=AC=f5-2y2AC=8714 cBC=3AC=3 亚则cos/=32 8x(南872x75sin A=Vl-cos2 A=1=Vio=JC-J5 sin?!=x75 x4/2 x 1=6.2 2 M若选：ZCDA=-.4“DC ZACD=0 cAri _ JY 乙i Q.in八 w =-1-在 中，设，由正弦定理 得 正=布，则 A C，TCD Z4CB,.，-八小,2是 的角平分线，故c o s 4 c 8 =cos26=l-2sin0=l-rAC2在A/8 C 中，由余弦定理得，AC2+BC2-A B2=2AC-BC -cos ZACB
35、=10AC2-32=6AC2解得“C=石，sin=4=,BC=3AC=3后,V52 3 4故 cosN/C8=l-=/.sin ZACB=-AC2 5 5则 S-8 c=；4C-3C sin/4C 3=6.若选：sin Z AC D =-5设NZC。6,则 cosN4CB=cos26=l-2sin2 0=3,sinZ.AC B-,55在.4 台。中，由余弦定理得，1 QAC2+BC2-AB2=2 A C B CCOSZACB0AC2-32=AC2,5解得A C =4 5 B C=3 A C =3 y 5,则 S-Bc=；ZC-8C sin NZC8=6.5.(2022山东聊城一模)如 图，在四
36、边形8 中，瓦),.cos5=又3w(U),.二 生2 3(2)连接 8。，因为AB=1 AD=拒，所以 BD J AB?+AD?=+(6)=2，tan Z.ABD=力 =也，所以 4 3。=百，所以 NCBD=N4BC N4BD=三.3 377r 7 1又/BCD=,所以/BDC=式 一 /BCD NCBD=,12 12ABCD BD BC 2 BC在 中，由正弦定理可得sin/BCQ sinNBQC,11.7兀 兀 一 二一sin sin12 122 sin 71 2 sin所以8C=普=.7nsin12在A/8 C 中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC1-2AB-BCcos ZABC=
37、f +(4 _ 2/3)2-2 x 1 x(4-25/3 jcos-y=33-1 8 ,所以NC=J33-18百,BQ T 廿，-1 廿 口 士、二4r”nn、士31/43CQ r+i=7 BC=13 CD=AD 口 18.（2022江苏吊州图二期末）已知在四边形 中，且cos8=,7/BAD=2ZBCD.求Z8C/；求4。【答案】(1)&(2)76【解析】在“8 C中，依 卜 网2 +忸c 一2的8cleosBWlJ|JC|=49+169-2x7xl3x1=7192=873cos Z-BCA|zcf+时一网22|JC|5C|169+192-49 _V32x13x873 2又在“BC中,故皿6
38、(2).设,L AD=CD=X，ABAC=a，NBCA=J/3 ZACD=0，则.ZCAD=0，夕=-nHPO由 =即 a+6 =2（P+e）可知，9 =a -2/3=t z-y4 ABe在 中,4 9 +1 9 2-1 6 9 9 3 Gc o s a =-7 -=-7=-,2x7 x8 V 3 1 4 V 3 1 4册,贝|J有s i n a =U1 4收 n,%、1 V 3.1 36 G l 3 4有c o s 0 =c o s（a-）=c o s a d-s i n a =-x-+x =-3 2 2 2 1 4 2 1 4 7在 4 8 中，|公=|/C +|CD|2-2|T4C|CD
39、|COS0即丁=（8后+X2_2X8氐邪，解之得x=7,即）的长为79.（20 22 全国高三专题练习）已知A/8 C 中，内角A、B c的 对 边 分 别 为b、c，BD角平分线.N AB C 的HD求证：DC a 若 5。=台 口-c=2 a，求cos N/8 C 的大小【答案】证明见解析cos乙伤。=三3744【解析】证明：由题意可得sin 4 D 8 =sin W-/8 O C)=sinZB。，用 为 BD为NABC的角平分线，则/ABD=Z.CBD Q A B D +AD c在 中，-=-sin/ABD sin/.ADBmiAD sin/.ABD则-=-c sin Z.ADB同理可
40、得 匹=smNC8。,因 此 丝=生，故 丝=a sin ZBDC c a DC a(2)解：设/4BD =NCBD=e 则=因为,Be S&ABD+S.CBD,即 L a c sjn 20=cb sin 0+ab sin 0,2 2 2m s因为,0 20 7t:，则 0 6 0,cos0 022acsin0cos0=hcsin0-ahsin0 八即，可得cos。he+ab 3ab 3b-lac 4a2 4a山(1)可 得 =2,则/DC a 3 3ABD2,2 4h2在 中，八 AB2+BD2-A D2 M町+-3 6/+5/3b S l l-1-2AB BD 2x2axh 36ab 4a
41、整理可得=身.2,所以，c o s*=2 _ =2 x =巫，1 11 6 a 2 1 6 1 1 8 8o I 37因 小 匕，c o s Z J B C=c o s 20 =2c o s20-1 =2x-1 =一 .8 8 4 410,（20 22甘肃酒泉局三期中）在四边形Z B C Q中，力 8 8，4 0 =8 0 =0 0 =1 ,若 48=3,求 8C；2若 AB=2BC，求 cos/BDC，【答案】立 6-12【解析】（1）ABD9,AB2+AD2-BD2 4 +1-1 3在三角形 中，根据余弦定理可得，c o s N 4=-t|题得:AD AU J i 4ZX-XI2乙”乙4B
42、D=N B D C所以COSC=COSNN=3,在 三 角 形 中，根据余弦定理可得,4BC2-BD2+CD2-2 BD CD cosZBDC=+-2 x-=-,所以，B C=4 2 2Q）设8 =2BC=2 a,在三角形相。中，根据余弦定理可得，-4=初+初 一=靖+1 7 ”,在2 A B A D 2X2QX1三角形3 8 中，根据余弦定理可得，+所 以 =,2B D C D 2x1x1 2 2得：。=6-1 或。=-6-1 （舍），W lJ cos AB DC=cos=a=V3-1题组五正余弦定理与平面向量的综合运用1.（2022 全国高三专题练习）四边形 8 8 为梯形，且 方=2灰，
43、1 0 c H 1=2,N D43=%，点是3四边形/8CZ）内及其边界上的点.若（万 一 而）.（而+0）=_ 4，则点P 的轨迹的长度是（）A.6 B.2 G C.47r D.16%【答案】B【解析】（AP-D P）.（PB+BA）=（AP+PD）.（PB+BA）=茄 刀=-N 益=-4，即N 布=4 设向量Q 与 通 的 夹角为0,则 万.而 斗万|益|cos8=4，因为|应|=2，所以|万|cos0=2 由向量投影定义得，向 量 方 在向量7万上的投影为2,即动点p 在过点n且垂直于,n的直线上.,BAD.兀 AD=2 AB=2DC=2AD=4在.中，ZDAB=,由余弦定理得BZP=N
44、r2+/s2-248./4rcos60=12-所以8 0 =2百；B D2+A D2 AB2,所以因为P 是四边形4 5 8 内及其边界上的点，所以点P的轨迹为线段瓦所以点P 的轨迹的长度为2 G.故选：B.八2.（2022全国高三专题练习）（多选）如图，已知点G 为ANB C的重心，点。，E 分别为4 c 上的点，且。，G,E 三点共线，茄=加 而,AE=nAC 0,n 0，记“D E ,B C，四边形 8OEC的面积分别为，Sz，S”则（）【答案】ABCD送【解析】连接/G 并延长交8 C T 点M,如图，因 G 为A 4。的用心，则知是8 c 边的中点，且 2-A G =-A M ,3又
45、O,G,三点共线，DG=tD E（o ti 丛 _L=3即$2-9,而 反，于是 得&S S S S 殳 -，5,c正确，D错误.S2 9故选：A B C3.（2 0 2 2全国高三专题练习）（多选）已知点G是三角形/8C的重心，以下结论正确的是（）A AB+A C =3 AGB.若（9+彘）.初=0，则三角形48c是等腰三角形c.三角形的面积等于;而则/=2 4D.若|9|=3,|衣|=4,4=与，则就 卜 率【答案】AB【解析】如图，M、N分别为8C、4?的中点，r _ _ 4 T _由重心的性质及向量的运算知，AB+A C =2 A M =2 x-A G =3 AG ,故A正确；2因为
46、为中线，所以G/+G8=2GN,由(G4+G8)-/8=2GN48=0,知GN _ L 4 8即CN，所以三角形A B C是等腰三角形，故B正确；三 角 形 的 面 积 等 于;“8.C 4即s=，cscos(%-N)=；Z?csin A.解得匕“,1，所以工=红，故C不正确：4由 A 矢口/2 =(在+K)=(JV +2万%+就=*(9+2X3X4COS|+16)=,所以 衣 上 姮，故D不正确.故选：AB4.（2022全国高三专题练习）（多选）在 8 C中，就=3,回=2 6，其中“，均为边8cBD=DC 4E-AC 4E-4B上的点，分别满足：,干不=不取，则下列说法正确的是（）A.|而
47、|为定值3B.面积的最大值为3遥C.|前|的取值范围是0,3D.若/为 中 点，则|而|不可能等于石【答案】ABD【解析】设对于A:因 为 丽=反，所以。为8C的中点.因为|瑟|=|就-万|=26，所以|次 一 万=（2&）;A C2-2ACAB+AB2=24,所,以万？=30因 为 亚=；国+珂，所 以 而=；（笈+2就.在+希 卜;（30+6）=9,所 以 同=3.故A正确；i 13 3对于 B：S ARC=Z3x4Cxsin6=x-xsinO=tan 0，：2 2 cos0 2c。3 3 J J|润=|就|又.一 辟 网 就 洞 2+园2-三-5,当且仅当，1%时，取”=，此时 tan0
48、=J -1 276 Vcos20所以 S ABC-tan。376.故 B 正确；Aiiot 2A E A C AE A B|ZE|C O S ZEA C=lfl cos ZEAB对于c：因为“二干/，所以 1 1 111 以 cos NEA C=cos NEAB，当cos。=g 时，D、E 重合，q 取得最大值3.可知为锐角，当 最 大 锐 角 时，回 最大，但无法取到.故C 错误;对于D：若为中点，则 而=g +二）=；J 网 2 +2.反1+即=以研+2网、2遥cosB+24 君.故D 正确.故选：ABD.5.（2022上海市复兴高级中学高三阶段练习）在 8 中，若 B-C =8,|在-2
49、 就 卜 6,则面积的最大值为【答案】-2【解析】由条件可知 C 8 S”=8,即c os 4的h eSDBC=；b e s i n Z =；bcl-co s2 A=；J 6 2 c 2-6 4 因为卜-2 同=6 =三-4“+4 庐=3 6,即？2 +4 庐 _ 3 2 =3 6 =器+4 户=6 8 2 4 加 得6 c 41 7，当且仅当b=c时等号成立所以 S.ABC&g V 1 72-6 4 =y ,即“8C面积的最大值为”.2故答案为：-26.（2 0 2 2 河南高三阶段练习（文）己知ANBC是。的内接正三角形，。是劣弧标的中点，动点E,尸同时从点出发以相同的速度分别在/民 4
50、c边上运动到8,C.若0。的半径为 百，则 瓦.方 的最 大 值 与 最 小 值 之 和 等 于.【答案】8c【解BD由已知，的半径为6,A CB=,由正弦定理可得3=33连 接 皿 如 图，由条件可知3数 =5*设4E=f 0 r 3 D E-D F =(D A+AE)-DA+AF)=D A+D A-AF +AE-D A+AE-AF=3)J3伍 兀 兀 1 2 3 16 YECOS+广 cos=z +6 3 2l 2J 8：.D E D F 3.所 以 瓦,赤 的最大值与最小值之和等 于 +3=史.8 8故答案为：.87.（2022 全国高三专题练习）如图，平面四边形O/8C 中，OAOB=