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1、用心爱心专心1 正弦定理與餘弦定理重點整理：面積公式1.若ABC之三邊長為cba,，r為其內切圓半徑，2cbas，則其面積=Cabsin21=Abcsin21=Bcasin21(已知兩邊及其夾角時)=)()(csbsass(Heron 公式)(已知三角形三邊)=rs。(可用於已知三角形三邊求內切圓半徑)重要例題：1.設ABC中，6,4,30cbA，求其面積。2.在ABC中，120ABC，BD為ABC的分角線且交AC於D點，試證：BDBCBA111。若3AB，5AC，則AD。類 1.ABC中，若120,8,6AACAB，則其面積為。用心爱心专心2 類 2.ABC中，5,2BCAB，面積為4，則A
2、BCcos。類 3.單位圓之內接正三角形面積為。類 4.若為四邊形ABCD之對角線AC與BD的一個交角，試證：四邊形ABCD面積=sin21BDAC。類 5.凸四邊形ABCD中，2AB，6BC，4CD，6BD，60ABD，則四邊形的面積=。Ans:1.312，2.53，3.433，4.略，5.2833。重點整理：正餘弦定理2.正弦定理：ABC中，bCAaBCcAB,，R為其外接圓半徑，則RCcBbAa2sinsinsin。3.ABC面積=CBARRabcAbcsinsinsin24sin212。4.餘弦定理：ABC中，bCAaBCcAB,，則Abccbacos2222或寫成bcacbA2cos
3、222。同理可寫出用心爱心专心3 2b；2c。5.鈍角三角形的判別：三角形ABC中，A為鈍角若且唯若222acb。6.海龍公式：設ABC的三邊長為cba,，2cbas，則其面積為)()(csbsass。7.投影定理：ABC中，bCAaBCcAB,，則BcCbacoscos，b，c。重要例題：1.ABC中，4,30,120ACBC，試解ABC。2.設三角形兩邊長為10，6，夾角為60，則第三邊長為，三角形面積用心爱心专心4 為。3.在ABC中，已知2,2 ba,13c，解此三角形。4.已知二邊與一角120,10,310Bcb，則ABC之面積。類 1.已知32a，6b，105c，試解ABC。類 2
4、.ABC中，已知45,60 BA，其最短邊為2 公尺，試求(1)其他二邊的長為，(2)面積為。類 3.已知ABC三邊長為213,1,22cba，求三內角。用心爱心专心5 Ans:1.30,45,33BAc，2.(1)13,6,(2)233，3.15,135,30CBA。5.ABC三邊長為cba,，且02cba，023cba，則(1)CBAsin:sin:sin=；(2)CBAsinsinsin；(3)最大角為；(4)Ccos；(5)若ABC周長為 15，則其面積為；(6)ABC之外接圓面積為；(7)ABC內切圓面積為。類 1.ABC中，45A，30B，3c，則ABC之外接圓半徑為。類 2.AB
5、C中，5:4:3:CBA且AB，則(A)45A (B)60B(C)75C (D)13BC (E)12BC類 3.ABC中，45A，30B，三邊之和為323，則最長邊為。類 4.在ABC中，已知1BC，BAsinsin，且Asin與Bsin為013482xx的兩根，則ABC的外接圓半徑等於(A)13(B)132(C)13(D)23(E)132。(84.社)類 5.半徑 10 的圓周上有三點CBA,，若5:4:3:CABCAB，則ABC用心爱心专心6 面積=。類 6.ABC中，已知13:6:2:cba，則ABC為。(銳角、直角或鈍角)類 7.設ABC的三邊分別為aBC，bCA，cAB，若5:6:7
6、)(:)(:)(baaccb，則Acos。類 8.ABC中，若CBAcbasinsinsin)(32，則其外接圓之直徑為。類 9.設ABC中，2AB，31AC，30A，則BC。(84.自)類 10.ABC中，若60,45CB，26a，則b，c，外接圓半徑=。類 11.設圓內接四邊形ABCD中，2,45,30CDACBCAD，求AB？類 12.若abcbacba3)(，則C。Ans:1.2)26(3，2.ABCD，3.13，4.C，5.24，6.銳角，7.87，8.23，9.2，10.2,32,22Rcb，11.22，12.60。6.圓內接四邊形ABCD，aADAB，90C，105D，則對角線A
7、C，BD=。類 1.圓的內接四邊形ABCD中，已知5AB，3BC，2CD，60B，用心爱心专心7 則AD，ABCD面積=。類 2.如右圖，30PP為半圓的直徑，1P、2P為半圓周上兩點。令10PPa，21PPb，32PPc，30PPd。試證：d為方程式02)(2223abcxcbax的一根。(81.自)Ans:1.3,4321，2.略。7.設ABC中，5,4,6BCACAB，若D為BC上異於C之一點，4AD，求BD？8.敘述並證明平行四邊形定理，並利用此定理敘述並證明三角形的中線定理。類 1.在ABC中，6AB，5BC，4CA，若AD為BC邊之中線，AE為A之角平分線，則AD=，AE=。類 2
8、.ABC中60ABC，ABC的角平分線交AC於D。已知6AB，用心爱心专心8 32BD，則(1)ABD的面積為。(2)線段AC的長度為。(3)ABC的面積為。(85.社)類 3.已知ABC三邊長分別為7AB，5BC，3AC，延長BC至D，如右圖所示，使得2CD，則AD。(86.社)類 4.ABC中，7,6,5CABCAB，D內分BC為2:1:DCBD，求AD？Ans:1.23,279，2.(1)33,(2)33,(3)239，3.7，4.5。9.若ABC之三邊cba,所對應之高分別為，20ah，15bh，12ch，則其最小內角的餘弦為。三邊長為。類 1.若ABC之三邊cba,所對應之高分別為，6ah，4bh，3ch，則其最小內角的餘弦為。Ans:1.87。10.設ABC滿足下列條件，試分別判別其形狀：(1)CBA222sinsinsin。(2)0coscoscosCcBbAa。(3)CBCBcossinsincos。A B D C 用心爱心专心9 類 1.在已知三角形ABC中，三內角的正弦比CBAsin:sin:sin17:15:8，則此三角形為銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？類 2.已知ABC，CBA222sinsinsin，則ABC為？類 3.已知ABC，BbAacoscos，則ABC為？Ans:1.直角，2.直角，3.等腰。