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1、高中数学2.1.6 正、余弦定理的应用举例（1）教案北师大版必修5-1-/9 2.2.1 正、余弦定理的应用举例（1）知识梳理一、解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解二测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.三解决有关测量、航海
2、等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.典例剖析题型一距离问题例 1.如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结11A B，由已知2210 2A B，122030 210260A A，1222A AA B，又12218012060A A
3、B，122A A B是等边三角形，121210 2ABA A，由已知，1120A B，1121056045B A B，在121A B B中，由余弦定理，22212111211122cos45B BA BA BA BA B22220(10 2)220 10222001210 2B B因此，乙船的速度的大小为10 26030220（海里/小时）答：乙船每小时航行30 2海里题型二高度问题北1B2B1A2A1 2 0105甲乙高中数学2.1.6 正、余弦定理的应用举例（1）教案北师大版必修5-2-/9 例 2、在某点B处测得建筑物AE的顶端 A的仰角为，沿 BE方向前进30m，至点 C处测得顶端 A
4、的仰角为2，再继续前进103m至 D点，测得顶端A的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，ADC=180-4，2sin310=)4180sin(30。sin4=2sin2cos2cos2=23,得 2=30=15，在 RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h 在 RtACE中,(103+x)2+h2=302在 RtADE中,x2+h2=(103)2两式相减，得x=53,h=15 在 RtACE中,tan2=xh310=33
5、2=30,=15答：所求角为 15，建筑物高度为15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=103m 在 RtACE中，sin2=30 x-在 RtADE中，sin4=10 3x,-得 cos2=23,2=30,=15，AE=ADsin60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为15m 评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出来。备选题角度问题例 3如图 1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile的C处，并
6、 测 得 渔 轮 正 沿 方 位 角 为105的 方 向，以高中数学2.1.6 正、余弦定理的应用举例（1）教案北师大版必修5-3-/9 9/n mileh的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mileh的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min）.解：设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮，则21ABx，9BCx，又10AC，45180105120ACB.由余弦定理，得2222cosABACBCAC BCACB，即222211092 10 9 cos120 xxx.化简，得2369100 xx，解得240 min3xh（负值舍去）.由正弦定理，得
7、sin9 sin1203 3sin2114BCACBxBACABx，所以21.8BAC，方位角为4521.866.8.答舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min就可靠近渔轮.评析：本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际，找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法。点击双基一.选择题：1在ABC中，下列各式正确的是（）A.absinBsinAB.asinCcsinBC.asin(AB)csinA D.c2a2b22abcos(AB)解：根据正弦定理得CcAasinsin,又sinC=sin(A+B),asin(AB)csinA 答案：C 2海上有A、
8、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成 60的视角，从B岛望A岛和C岛成 75角的视角，则B、C间的距离是（）A.52 nmile B.103 nmile C.1036 nmile D.56 nmile 解：根据题意知：AB=10，A=60,B=75则 C=45,CcAasinsina=CAcsinsin=45sin60sin10=56 答案：D 3在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（）A.3400米 B.33400米C.2003米 D.200米解：如图，设塔高AB为h，图 1-3-2 A 高中数学2.1.6 正、余弦定理的应用举例（1
9、）教案北师大版必修5-4-/9 RtCDB中，CD200，BCD90-60302004003cos303BC在ABC中，ABCBCD30，ACB60-3030BAC12030sin120sinABBC34002321334002330sinBCAB（m）答案：A 4某人以时速akm向东行走，此时正刮着时速akm的南风，那么此人感到的风向为，风速为 .答案：东南2 a5某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 .解：103 课后作业1已知三角形的三边长分别为a、b、a2abb2，则这个三角形的最大角是（）A.135
10、 B.120 C.60D.90 解：根据三角形中大边对大角，可知a2abb2所对的角为最大角，设为，则cos=abbababa2)(2222=-21,120答案：B 2如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据A.、a、bB.、aC.a、b、D.、解：根据正弦定理和余弦定理知，测量a、b、，利用余弦定理可求AB的长度。答案：C 3.海上有 A、B、C三个小岛，已知A、B之间相距8 n mile，A、C之间相距5 nmile，在 A岛测得 B岛和 C岛的视角为60，则 B岛与 C岛相距的n mile数为 ()A.7 B.6 C.5 D.4 高中数学2.1.6 正、余弦定理的
11、应用举例（1）教案北师大版必修5-5-/9 解：根据题意知：AB=8，AC=5,A=60,根据余弦定理有BC2=821582522=49，BC=7 答案：A 4在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于()A15B10C5D20解：如图，BCCA，CDDA，设AEh，则3104sin302sinhh2cos23，cos223230，15答案：A 5.某人朝正东方向走x km 后，向左转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点正好是3km，那么 x 的值为()A.3 B.23 C.23
12、或3 D.3 解：如图，设出发点为A，则由已知可得ABx千米，BC3 千米ABC180-15030AC3，CABBCACsin30sin，23sin,sin3213CABCAB，CAB60或CAB120当CAB60时，ACB180-30-6090高中数学2.1.6 正、余弦定理的应用举例（1）教案北师大版必修5-6-/9 x23千米当CAB120，ACB180-120-3030 xAC3千米答案：C 6.已知一塔高80m，分别在塔底和塔顶测得一山的山顶的仰角分别是60和 30，则山高为()A.240m B.180m C.140m D.120m 解：D 7.如图,建造一幢宽为l 2,房顶横截面为
13、等腰三角形的住房,则 ABC=,则等于()时,可使雨水从房顶最快流下.A.300 B.450 C.600 D.任意角解：根据题意知s=AB=cosl，加速度a=gsin.由 s=221at得 t2=2sin4cossin22glglas,=45时 t 最小答案：B8.一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120 的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过h3,该船的实际航程为 ()A.2 5km B.6km C.2 21km D.8km解：船的实际速度是v=214222422=23,则经过3h,该船的实际航程为233=6 答案：B 二填空题9一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后
14、向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_解：如图，ABC180-10575BCA180-13545，BC10 cm A180-75-4560A B C 2l第 8 题高中数学2.1.6 正、余弦定理的应用举例（1）教案北师大版必修5-7-/9 60sin1045sinx2101062332xx10坡度为45的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30，则坡底要伸长_解：如图，DB100 m BDA45，BCA30设CDx(xDA)tan30DAtan45又DABDcos4510025022x30tanDA-DA 25033250502(3-1)5
15、0(26)(m)答案：50(26)m 11如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D测得 BCD 15，BDC 30，CD 30 米，并在点C测得塔顶A的仰角为 60,则 BC=米,塔高 AB=米。解：在BCD，1801530135CBD，sinsinBCCDBDCCBD30sinsin3015 2sinsin135CDBCBDCCBD在ABC中，tanABACBBCtan15 2315 6ABBCACB答案：152，156三解答题12.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20北20 10 A B?C 高中数学2.1.6 正、余弦定理的应用举例（1）教
16、案北师大版必修5-8-/9 海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010 cos120=700.于是,BC=107。sinsin1202010 7ACB，sin ACB=73，ACB90，ACB=41。乙船应朝北偏东41方向沿直线前往B处救援。13如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3的C处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3的B处，12时40分轮船到达海岛正西方5km的E港
17、口.如果轮船始终匀速前进，求船速.解：设ABE，船的速度为/km h，则43BC，13BE.在ABE中，153sinsin30，15sin2.在ABC中，43sin120sin 180AC，4415sin2033233322AC.在ACE中，2252020252 5cos150333，22540077525100933，293，船的速度93/km h.14.如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得 B点和 D点的仰角分别为075，030，于水面 C处测得 B点和 D点的仰角均为060，AC 0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D 的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）解：在ACD中，DAC30，ADC 60DAC30，所以 CD AC 0.1（例 3）高中数学2.1.6 正、余弦定理的应用举例（1）教案北师大版必修5-9-/9 又BCD180 60 60 60，故 CB是CAD底边 AD的中垂线，所以BD BA 5分在ABC中，ABCACBCAABsinsin，即 AB2062351sin60sinAC因此，km33.020623BD故 B、D的距离约为0.33km。