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1、L2集合间的基本关系（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯 实基础】一、单选题1.（2022江苏高一）设集合M=5,N,N=5X,5 .若用=2，则实数x 的值组成的集合为（）A.5 B.1 C.0,5 D.01 1【答案】C【分析】利用集合相等求解.【详解】解：因为=N,所以x?=5x,解得x=0 或5，x 的取值集合为0,5,故选：C2.（2022江苏高一）下列集合中表示同一集合 的 是（）.A.M=（3,2）,N=（2,3）B.M=1x|x+l Oj,N=yy+l0C.M=（x,y）|x+y=l,N=x+y=lD.=1,2,T V =（1,2）【答案】B【分析】根据集合相等，检查集合中的
2、元素是否一样即可判断.【详解】选项A,集合M,N 为点集，而点（3,2）与点（2,3）为不同的点，故 A 错；选项C,集合“为点集,集合N 为数集，故 C 错；选项D,集合M 为数集，集合N 为点集，故 D 错；选项B,集合M,N 表示的都是“大于T的实数“，为同一个集合.故选：B3.（2022江苏 高一）设集合4=止 1 3 B.-l a -D.a -【答案】D【分析】直接由Aq B求解即可.【详解】由AfB可得。4 一 1.故选：D.4.（2 0 2 2 江苏 高一）已知集合人=-2,3,1 ,集合8 =3,加 .若 3q A,则实数机的取值集合为（）A.1 B.百 C.1,-1 D.1石
3、【答案】C【分析】根据8是A的子集列方程，由此求得加的取值集合.【详解】由 J,8 1 A ,所 以 毋=1 n?=1,所以次数，的取值集合为 1,-1 .故选：C5.（2 0 2 2 全国高一专题练习）己知A =x|x2=i,8 =卜|1=：,若 8 =A,则。的值为（）A.1 或一1 B.0或 1 或一1 C.-1 D.1【答案】A【分析】4=一1，1 ，若则1=1,据此即可求解.a【详解】A-x|x2=!-!,1 ,8=X|X=5 =1,若 5 q A ,则=1 或一1,故 a=l 或一1.a故选：A.6.（2 0 2 1 浙江玉环中学高一阶段练习）集合2=代|2+3 区-1=0 至多有
4、1 个真子集，则。的取值范围是（）9 9 9A.a B.a N C.u=0 D.。=0 或 aW 444【答案】D【分析】由题意得M 元素个数，分类讨论求解【详解】当a=0 时，M=（1）,满足题意，9当a w O 时，由题意得 =9 +4 aK 0 ,得a 4,49综上，。的取值范围是（-二 0故选：D7.（2022 全国高一专题练习）下列四个选项中正确的是（）A.B.l a 0,1 C.0eO,l D.le0,l【答案】D【分析】根据集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可；【详解】解：对于A：故 A 错误;对于B：故 B 错误；对于C：0 0,1 ,故 C 错误；对于D：%0,1 ,故
5、 D 正确；故选：D二、多选题8.（2022.河北石家庄市第十五中学高一开学考试）设 4=4吗，4 ，8=小=耳，则（）A.A=B B.AGB C.0eZ?D.A cB【答案】BC【分析】根据题意先用列举法表示出集合8,然后直接判断即可.【详解】依题意集合8 的元素为集合A 的子集，所以 3=0,4 ,旦，吗 1 4，%1%1%，%所以所以AD错误，BC正确.故选：BC9.（2022.全国高一专题练习）下列关系正确的是（）A.O g0 B.00C.00 D.0 g 0【答案】ABD【分析】利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.【详解】由空集的定义知：0 0,A 正确.0=O
6、,B 正确.0 X O ,C 错误.0$0 ,D 正确.故选：A B D.三、填空题1 0.（2 0 2 1 广东 江门市广雅中学高一阶段练习）已知集合4 =0,1 ,则集合4的 真 子 集 个 数 为.【答案】3【分析】根据集合A,写出其真子集，即可得答案.【详解】因为集合人=0,1 ,所以集合A的真子集为 0 、1 、0,所以集合A在真子集个数为3.故答案为：31 1.（2 0 2 2 全国高一专题练习）已知集合4 =1-2%-3=0 ,B=xax-2=Q,且 8 =4,则实数a的值为.【答案】。=-2 或。=：2或 0【分析】先求得集合A,分情况讨论，a=0,8 =0满足题意：当 0 时
7、，B =何 6-2 =0 =1,因为Ba A .2 2故得到一 二 一 1 或一=3,解出即可.a a【详解】解：已知集合4 =x y-2 x 3 =0 =-1,3 ,B =x|ar-2 =0 ,当 =（）,3 =0,满足A ；当a W 0 时，B =x|a-2 =0 j =-|j ,2 2 2因为B q 故得到一 =一1 或一=3,解得。=一2 或。=；a a 32故答案为：。=一2 或或0.1 2.（2 0 2 2.江苏.高一单元测试）满足 l qA$l,2,3 的所有集合A是.【答案】1 或 1,2 或 L 3【分析】由题意可得集合A中至少有一个元素1,且为集合 1,2,3）的真子集，从
8、而可求出集合A【详解】因为 1 =4 1，2,3 ,所以集合A中至少有一个元素I,且为集合 1,2,3 的真子集，所以集合A是 1 或 1,2 或 1,3 ,故答案为：1 或 1,2 或 1,3 四、解答题1 3.（2 0 2 2 全国高一专题练习）已知集合 4=（打2。+1 ,B=x|-1 x 5 ,求满足AU8的实数”的取值范围.【答案】【分析】根据集合之间的关系，列出相应的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】由题意，集合 A =x|2 a v x v +1,B =x|-1 x 5 ,因为若A=0,则 为 之。+1,解得aNl,符合题意；2a a+若 AH。，贝，2“2-1,解得 4a
9、1,24 +14 5所求实数。的取值范围为一；，+8）14.（2 0 2 2.全国.高一专题练习）设集合 A=x|-14 x 4 6 ,B=xm-lx2m+,且 8 1 A.（1）求实数皿的取值范围；（2）当x e N 时，求集合A 的子集的个数.【答案】（1）加1机 2 加+1即m 一2 时，B=0,符合题意；m-2m+1当8工0时，有，”12-1,解得,22m+1 6综上实数 7 的取值范围是 加1加 -2 或os,”s|）;当 x e N 时，A=0,1,2,34 5,6 ,所以集合A 的子集个数为2 t=12 8 个.15.（2020 四川 双流中学高一阶段练习）已知集合=|-2 0）
10、（1）若 2 口。，求实数的取值范围；（2）若 尸Q =0,求实数。的取值范围.【答案】（-8,-2 ,3,+oo）【分析】（1）由已知，口。可得集合户是集合。的子集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数。的取值范围.（2）山已知，P Q=0 可得集合P 和集合。没有交集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数。的取值范围.已知 P=x|-2 xa,要满足 P q Q,即尸中的任意一个元素都是。中的元素，则aM-2,即实数的取值范围是：（YO，-2|（2）当 尸 2 =0,即产与。没有公共元素，因为尸和。都不可能为空集，所以要使得两个集合没有公共元素，则a 3,即实数a 的取值范围：3,+8
11、）.【能力提升】一、单选题1.（2021.湖北.孝感市孝南区第二高级中学高一期中）给出下列关系式：O w 0：3 e Z：0=卜,2=；0uN,；1建,（x,y）|其中正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】空集中不含任何元素，由此可判断；-3 是整数，故可判断正确；通过解方程f=X,可得出#2=0,1,故可判断；根据N*为正整数集可判断；通过解方程产 二）=；，得（x,y）x二从而可判断.x+4y=5 1 x+4y=5【详解】0 任 0，故错误;-3 是整数，所以 3 e Z,故正确；由f=x,得x=0 或x=l,所以k.=耳=0,1 ,所以正确;N*为正整数集，所以
12、0=N*错误；由产得*=；，所以（x，y；*=；=（1）,所以错误.x+4y=5 y=l x +4y=5j 1 7）x+4 y =5所以正确的个数有2 个.故选：B.2.（2021河南高一阶段练习）规定：在整数集Z 中，被 7 除所得余数为人的所有整数组成一个“家族”，记为 因，即 冈=7 +K eZ,Z=0,l,2,3,4,5,6,给出如下四个结论：2021e5；一 3 3；若整数a,6 属于同一“家族”，贝 崎-。网；若“-武 网，则整数，人属于同一“家族”.其 中，正确结论的个数 是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】根据“家族”的定义逐一判断四个选项即可得正确答案.【详
13、解】对于：因为2021=2 8 8 x 7+5,所以2 0 2 1 e5,故正确；对于：因为 3=7x（-1）+4,所以-3 e 4 ,故错误；对于：若 与方属于同一“家族，则a=7+k,b=ln2+k,。-6=7（/一巧）e 0 （其中,w Z）,故正确；对于：若。一 匕 e 。,设a-8=7”,eZ ,即 a=7+/?,，?eZ ,不妨令人=7加+%,m eZ ,%=0,1,2,3,4,5,6,贝|a=7帆+7+&=7（加+）+%,w e Z,w e Z,所以a 与 b 属于同一“家族”，故正确；即为正确结论.故选：C.3.（2021.辽宁东北育才双语学校高一期中）已知集合A=x|lM x
14、5,B=卜 卜 x 4“+3.若3 u（A c 5）,则 a 的取值范围为（）C.D.I ,+I【答案】C【分析】由集合包含关系可得5 =讨论3 =0、3*0 分别求参数范围，最后取并集即可得结果.【详解】由B u（A cB）,可得8=A,当5 =0 时，。2。+3,即。4 一三,满足题设；23-tz 21 3当 时，一 a v a +3,即,且 ，可得1：2 。+35 2综上，的取值范围为（7,-1 1故选：C.4.（2022江苏高一单元测试）已知集合A=1,3,叫，8=1,J,8 1 A,则机=（）A.9 B.0 或 1 C.0 或 9 D.0 或 1 或 9【答案】C【分析】根据8 u
15、A 可 得 标=3 或 后=根，根据集合元素的互异性求得答案.【详解】由8 1 A 可得：ym=3/m=m ,当JW=3时，m =9,符合题意；当 标=相 时，=0 或，”=1,但，=1 时，8=1,1不合题意，故m的值为0 或 9,故选：C5.（2022全国高一专题练习）已知集合A=x*-3 x+2 =0,B=x|-lx5,xe7V,则满足4 a C t）B的集合C 的个数为（）A.4 B.7 C.8 D.15【答案】B【分析】由题知A=1,2,8=0,1,2,3,4,进而根据集合关系列举即可得答案.【详解】解：由题知A=x|f 3X+2=0=1,2,8 =x|-lx 0、y,(),8=丁,
16、一丁,0,当y 0 时，尸/2可 得:=1，_y=_yy=y2当y 0 时，,可得：y=-1,j =-y所以x+y=_ i或i,故答案为：-1或1.10.(2022 江苏高一)已知集合人=幻3 2 4 或 x 5,8=x|a+1 4 x 4 a+3,若 5 1 则实数。的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】a|a 8或。23【分析】根据8 0 4,利用数轴，列出不等式组，即可求出实数。的取值范围.【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，B A A-6-7+1 a+3-5 0 4 x或A A B-6-.5 0 4。+1 。+3 x要使8 =只需a +3 -5 或a +1
17、2 4,解得。一8 或所以实数。的取值范围。1。-8 或a 2 3 .故答案为：。|4 -8 或。2 3 1 1.（2 0 2 1 江西赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知集合出1,2,3,4,5,6,7,8 ,A=1,2,3,4,5 ,B=4,5,6,7,8 ,则是集合/的子集但不是集合A的子集，也不是集合8的子集的集合个数为.【答案】1 9 6 个【分析】先找出集合U的子集个数，再减去集合4或集合8的子集个数，即可得出结果.【详解】集 合 U的子集个数为2 8,其中是集合A或集合B的子集个数为2$+2,-2 2,所以满足条件的集合个数为 2*-（2,+2 5 4）=1 9 6.【点睛】本题
18、主要考查子集的概念，解题的关键是会判断子集个数.四、解答题1 2.（2 0 2 2 四川凉山高一期末）已知集合4 =#2 +2 +机=0 ,是否存在这样的实数处使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的，的值组成的集合；若不存在，请说明理由.【答案】存在，1【分析】当方程有一解时，集合A只有一个元素即可满足题意.【详解】存在实数小满足条件，理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则 A有且仅有一个元素，即方程f+2 x +m =0 只有一个根，A =2?-4 加=0，解 得%=1.所有的m的值组成的集合M=1.1 3.(2 0 2 2 全国高一专题练习)已知集合4 =*/?|3 2 一 2 +
19、1=0 ,在下列条件下分别求实数 的取值范围：(1)A =0；(2)A恰有一个元素.【答案】(1,茁),(2)0,1【分析】(1)若 A =0，则关于x 的方程加r2-2 x +l=0 没有实数解，则机#0,且A =4 4 机 0,由此能求出实数1 的取值范围.若A恰有一个元素，所以关于x的方程言-2 x+l =0 恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围.(1)若A =0,则关于x的方程 如、2 x+l =0 没有实数解，则m w 0 ,且 =4-4 m 1,实数，”的取值范围是(1,+8)；(2)若 A恰有一个元素，所以关于x的方程/n r?-2 x +l =0 恰有一个实数解，讨论
20、：当帆=0 时，x =g,满足题意；当时，=4 一 4?=0,所以，=1.综上所述，的取值范围为0,1.1 4.(2 0 2 2.全国.高一专题练习)已知 A =d Y+4 x =0,8 =x|x?+2(a +l)x+a2-1 =0.(1)若A是 8的子集，求实数。的值；(2)若8是A的子集，求实数。的取值范围.【答案】(1)。=1;4,-1 或 4=1.A 0【分析】(1)由题得B =A =T,O,解-4 +0 =-2(“+1)即得解；-4 x 0 =a2-l(2)由题得8 =A,再对集合B 分三种情况讨论得解.(1)解：由题得A =T,O.若 A是 8的子集，则B=A =_4,0,A 0所
21、以 -4 +0 =-2(+1),.二 =1.-4 x 0 =/-1(2)解：若 8是A的子集，则8 a A.若5为空集,则A =4(a +l)2-4(a 2-l)=8 i+8 0,解得a v-1；若8为单元素集合，则 =4(“+l)2-4(/-l)=8 a +8 =0,解得a =-l.将”=一1 代入方程*2+2(。+1)欠+。2-1 =0,得犬=0,即x =0,1 B=0,符合要求：若8为双元素集合，3 =A =-4,0，则。=1.综上所述，a,T 或a =l.1 5.(2 0 2 1 全国高一课时练习)已知集合 4=即 4%3,B=x|l x a.(1)若A 黑B,求实数a的取值范围；(2
22、)若 B gA,求实数a的取值范围.【答案】(1)3,4 )(2)(,3)【分析】(1)根据A些B,结合集合的包含关系，即可求得的取值范围.(2)根 据 结 合 集 合 的 包 含 关 系，即可求得。的取值范围.【详解】(1)由题意，集合A =x|l x 3,8 =x|iw ,又由A些B,可得a N 3,所以实数。的取值范围是 3,4 W)；由 集 合 A =x 1 4 x 3,B=x|l x a,又由B oA,当3 =0时，当时，.a /?).(1)若人=1,3,求集合B；(2)若A是单元素集，则A、8之间的关系如何？(3)一般情况下，猜想A与 8之间的关系，并给予证明.【答案】1,3；(2
23、)A=B-.(3)A =证明见解析.【分析】(1)首先根据题意得到 =1,=3 为方程/+(4-1 b+6=0 的根，从而得到=，也=3/(X)=X2-3X+3,再根据=得至“卜2 一 3 +3)2-3 0 2 一 3 +3)+3 =*,解方程即可得到集合8.首 先 根 据 A是单元素集，设A =m ,得至l j x)=(x-m)2+x,再根据8 =x 得到方程+x-m +(x-/n)2=0,根为 x =J 从而得到 3 =m ,即 A =&首先设x=f 为方程f(x)=x的根，即，)=/,r,又因为，卜(叨=/，得到f e B,即可得到AqB.【详解】(1)因为/(x)=x,所以幺+(。一
24、l)x+H =O.若 A =1,3,则占=1,%=3 为 方 程/+(4 1)8+。=0的根，f l +3=l a a=-3)所 以，。,解 得，。，即“x)=f 3x+3.1 x 3=6 6=3又因为f f(x)=x，即 X)2-3X)+3=X.(犷-3x+3)-3(X 2 3x+3)+3=x,整理.得/一 6/+1 2/-1 0 犬+3=0,_?一6/+5/+7*2-1 0 +3=0,x2(x-5)(x-l)+(7x-3)(x-l)=0,(X-1)(X3-5X2+7X-3)=0,(x-1)(x3-3x2)-(2x2-7x +3)=0(x-l)|x2(x-3)-(2x-l)(x-3)J=0(
25、X-1)3(X-3)=O,解得占=1,W=3,故 3=1,3.(2)若 A是单元素集，设人=帆,则力帆为方程/x =0的唯一根，所以/(x)-x =(x-/n)2,即=+x.对集合B=%|/(%)=x,则/(九)_ 加了+/(x)=x,所以(X 机)2+工一加+(x-/n)2+X=x y即(工 一 机)2+X 机+(X-?)2=O，因为(x 6)+x 0 ,(x-/n)2 0 所以方程(X-2+工一加+(工一机)2 =0的解为工=机,即3=/%,故 A =3.(3)设x =1 为方程“x)=x 的根，即/)=，F A.则/)=/(，)=，所以 =，为方程/(x)=x 的根，故所以4 三8【点睛】本题主要考查集合间的关系，同时考查了二次方程的根系关系，属于难题.