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1、2023年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）（2023 大庆模拟）设集合Z=x|x 2”是“x,y中至少有一个数大于1”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件第1页（共19页）C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.（5 分）（2023 大庆模拟）设抛物线C:f=-I 2 y 的焦点为尸，点尸在C 上，。（0,-9）,若|尸尸|=|。尸则|尸。|=（）A.2&B,4&C.572 D.6&9.（5 分）（2023 大庆模拟）函数/（）=心 皿 5 +e）（4 0,0,1 9
2、 1 c g 的部分图象如图所示，将“X）的图象向右平移三个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）/Kfy.xA.g(x)=V2 s i n(2x -y)C.g(X)=V2 CO S(2x -y)1 0.(5分)(2023 大庆模拟)在三棱锥尸-Z8 CA C=B C =2 ,F分别为8C,尸 4 的中点,B.g(x)=2 c o s 2xD.g(x)=V2 s i n(2x +)4 中，PBJL 平面 Z 5 C,且 AB=P B=2。则异面直线E F与PC所成角的余弦值为(A-8 B-81 1.（5 分）（2023 大庆模拟）已知函数/（x）,C.B D.正5 5g(x)的定义域均为R，且
3、/(x)+g(2-x)=2,g（x）-/（x-4）=4，若 g（x）的图象关于直线x =2 对 称,gA.-3 B.-1 C.01 2.（5 分）（2023 大庆模拟）设片，鸟分别是椭圆C:、-a(2)=1,则/(2022)=()D.24方=1(。6 0)的左、右焦点,第2页（共19页）点尸，0 在椭圆。上，若|西+%|=|西-朋|,且 丽=2 殛，则椭圆C 的离心率为（）AT B.2 C.B D.也3 3 3 3二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.（5分）（2 0 2 3大庆模拟）函数/（）=-4/+1 的图象在点（0,7（0）处的切线方程为 一.1 4.（5 分）
4、（2 0 2 3大庆模拟）已知直线/:3x-4y+1 =0 与圆 O:x?+/+2 x-4y +/n =0 相离，则整数机的一个取值可以是.1 5.（5 分）（2 0 2 3大庆模拟）一个口袋里有大小相同的白球4 个，黑球机个，现从中随机一次性取出2个球，若取出的两个球都是白球的概率为1,则黑球的个数为 一.61 6.（5 分）（2 0 2 3大庆模拟）已知（-2）”的展开式中第4 项与第5 项的二项式系数之比X是2:3,则”=一,展开式的常数项为一.（用数字作答）三、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（1 0 分）（2 0 2 3大庆模拟）设
5、 ,是公差不为0的等差数列，4=2,%是 4,知的等比中项.（1）求 ”“的通项公式；（2）设”=一，求数列也,的前项 和，.毋 71 8.（1 2 分）（2 0 2 3大庆模拟）在A 4 8 C 中，内角Z,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 s i n B-s i n /I co s C=s i n C.2（1）求角A:（2）若c=2,。为8c 边的中点，万|=当，求a的值.1 9.（1 2 分）（2 0 2 3大庆模拟）如图，在长方体4 88-%AGO中，底面48 C。是边长为2的正方形，AA,=3,M,N 分别是40,的中点.（1）证明：M N/平面C C Q。：（2）求 平 面 与
6、 平 面 C MN 夹角的余弦值.第 3页（共 19页）20.（12分）（2023大庆模拟）盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：g/cP）进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小 于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0 8和0.6.（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X,求随机变量X的分
7、布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；（3）若该品种种子的密度0N（1.3,0.01）,任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假 设 随 机 变 量X,则 尸（-+0 =0.6827,21.（12分）（2023大庆模拟）已知双曲线C与椭圆工+己=1有相同的焦点，且焦点到渐9 4近线的距离为2.（1）求双曲线C的标准方程;第4页（共19页）（2）设3为双曲线。的右顶点，直线/与双曲线C交于不同于。的E,尸两点，若以E F 为直径的圆经过点。且。G J.E F 于 G,证明：存 在 定 点，使得|G|为定值.2 2.（1 2 分）（2 0 2 3 大庆模拟）已知函数/（x）=x/x
8、-g ax 2-x +”的两个不同极值点分别为X,，x2（x）e 2（e 为自然对数的底数）.第5页（共19页）2023年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .（5分）（2 0 2 3 大庆模拟）设集合4 =x|x a,集合3 =-1,2 ,若 川13=0，则实数。的取值范围是（）A.（-00,-1 B.（-oo,-l）C.（-oo,2）D.（2,+oo）【解答】解：因为力=x|x =log53,则 睡 518=（）A.4+36 B.a+2b C.2a+b D.3a+
9、b【解答】解:因 为 5=2,所以a=log52,则 logs 18=log5 2+log59=log5 2+21og5 3,所以 logs 18=a+26.故选：B.6.（5 分）（2023大庆模拟）已知不重合的直线/,z,和不重合的平面a,尸，下列说法中正确的是（）A.若 m u a,n u /,m L n 则 a J_/?B.若 m u a，u a,?/夕，/夕，则 a/月C.若/!/?,贝 lj/aD.若 二|4=/，u a,n u 3,?/，则加/【解答】解：对于Z：当。0尸=加，m u a,n u 3,但.a 与夕相交但不垂直，故 4 错误；对于 8：当?/，00=/，m u a,
10、u a 时，都满足?/?,/夕，由图形得此时a 与夕相交，故 B 错误；对于C：.a_L,/l y 0,，/u a 或/a,故。错误；对于。tn*p,n u （3,ml In,m/?,又m u a,=I,.?/,故。正确,第7页（共19页）故选：D.7.（5分）（2 0 2 3 大庆模拟）设x,y e R,则“x +y 2”是“x,y中至少有一个数大于1”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解答】解：若x,y都小于等于1,则“+底 2，所以当x +y 2时，x.y中至少有一个数大于1,但是当x.y中至少有一个数大于1,不能求出x +y 2,如：x
11、=2 ,y =-3,则x +y =-l 2”是“x,y中至少有一个数大于1”的充分不必要条件，故选：A.8.（5分）（2 0 2 3 大庆模拟）设抛物线C:/=-1 2 y 的焦点为尸，点尸在C 上，0（0,-9）,若|P尸|=|。尸|,贝力尸。|=（）A.2&B.4 7 2 C.5 7 2 D.6 加【解答】解:由题意可知一（0,-3）,|0 尸|=6,所以|尸尸|=6 ,设 P小，），则%=-12%，所以|PF|=花+（%+3）2 =J-1 2%+（%+3，所以）1 2%+（%+3）2=6,所以%=9 （舍）或-3，所以尸尸，夕轴，所以|。|=，6 2+6 2 =6 五,故选：D .9.（
12、5分）（2 0 2 3 大庆模拟）函数/（）=/s i n（3 x +9）（40 ,00 ,的部分图象如图所示，将“X）的图象向右平移三个单位长度得到函数g（x）的图象，贝 I ）第8页（共19页）A.g(x)=y/2 sin(2x-y)B.g(x)=co s2 xC.g(x)=VJcos(2x 马 D.g(x)=V2 sin(2x+)3 4【解答】解：由图象得=则/=&，；7=卷万一2 =2，:.T=兀,贝 IG=2,即/(x)=Vsin(2x+8)，,/(q)=&sin(1 乃+#)=0,所以|乃+9=A4，k e Z ,2即*=一4+%乃，k e Z、又则 9=?f (x)=V2 sin
13、(2x+y),/.g(x)=V2 sin2(x-)+=V2 sin(2x+)=V2 sin(2x-)+=应cos(2x-),12 3 6 3 2 3故选：C.10.(5 分)(2023大庆模拟)在三棱锥产一 NBC中，尸 B_L平面力B C,且AB=PB=2 6AC=BC=2,E,F分别为B C,4的中点，则异面直线E尸与尸。所成角的余弦值为(则 GE/PC，【解答】解：如图所示，分别取P 8 的中点M,G,连接EW,ME,GE,FG,为异面直线E E 与PC 所成的角或其补角，第9页（共19页）:AB=PB=2也,AC=BC=2,:.FM=y/3,ME=,P8 _ L 平面 Z8C,PC=b
14、 0）的左、右焦点,a b点尸，0在椭圆C 上，若|丙+所|=|两-配|,且 丽=2 月。，则椭圆C 的离心率为（）A 指R2 百 n V23 3 3 3【解答】解：西+丽1=1 所-丽:.而 上 恒,则点尸是以E K为直径的圆与椭圆c 的交点，不妨设点尸在第一象限，如图连接0 耳，令|0 g|=x,则|PQ|=2 x,QF,|=2 a-x,P Ft|=2 a-2 x.在 R/Zx PE Q 中，|PG|2+|PQ|2=|0 G|2,即 4（a-x）2+9 f =（2-X）2,解得 X=1,又|P4+1 P瑞|2 =|耳名，即4 缶-x）2 +2=4 c2,将 x =代入得e=,3 3故选：A
15、.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.（5分）（2 0 2 3 大庆模拟）函数/（x）=x 2 _ 4 e+l 的图象在点（0,/（0）处的切线方程为4 x +y+3 =0_.【解答】解：/(x)=x 2-4 e*+l,f(x)=2 x 4 ex./(0)=-3,/(0)=4第11页（共19页）所 求 切 线 方 程 为 3）=-4x,即4x+y+3=0.故答案为：4x+y+3=0.14.（5 分）（2023大庆模拟）已知直线/:3x-4+1 =0 与圆O:12+/+2%一 4+加=0 相离，则整数机的一个取值可以是 2 或 3 或 4（注意：只需从2,3,4 中写一
16、个作答即可）.【解答】解：因为圆。的圆心为（-1,2）,所以圆心到直线/的距离d=8+1 1 =2,因为圆。的方程可化简为（x+l）2 +（y-2）2=5-m,即半径为逐二流，所 以 后 薪 0所以1（机=-672.故答案为：9；-672.三、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第12页（共19页）17.（10分）（2023大庆模拟）设 为 是公差不为0 的等差数列，q=2,生是4,知的等比中项.（1）求 ,的通项公式；（2）设“=一，求数列 4 的前项和5,.a/,、【解答】解：（1）设%的公差为，因为q=2,%是6，。”的等比中项，所以(2+21)2
17、=2(2+1 0 4),所以筋-3d=0.因为d 4 0,所以=3,故%=2+3 5-1)=3-1.(2)因 为=-=-=-4M+1(3 -1)(3 +2)3 -1 3 +2所以 s,=(；_ g+g _ 9+(61 1 1 _ 33 +2 2 3 +2 6 +418.（12分）（2023 大庆模拟）在A 4 8 c中，内角N,B,C 的对边分别为a,b,已知 sin8-sin/cosC=sinC.2(1)求角/;(2)若c=2,。为 BC边的中点，|而|=，求a 的值.【解答】解:(1)在 A48c 中，sin B=sin(-A-C)=sin(+C)=sin J cos C+cos J si
18、n C,sin8 sin4cosc=sinC,2/.sin cos C+cos A sin C-sin A cos C=sinC，即 cos sin C=sinC,2 2又 sin C w 0,cos A-20 A 7 T 9 ：.J =；3（2）O 为 8 c 边的中点,由平行四边形法则得2力=AB+AC,即4莅 =+%?+2 1存 口 衣|cos/,又 c=2,|AD|=,/=?,+2 6-3 =0,解得6=1,由余弦定理得“2 =b2+c2-2hccosA=3,解得a=6.19.（12分）（2023大庆模拟）如图，在长方体48c中，底面/8 C。是边长为第13页（共19页）2的正方形，4
19、 4=3,M,N分别是8。的中点.(1)证明：MN I I 平面 C C R D；(2)求平面8DR与平面CW 夹角的余弦值.【解答】证明：(1)设C。的中点T,连接。7,TN ,由题意可得N,T分别是8。，CR的中点，所以得到 N 7/8 C,N T =-B C ,2又因为4 8 c o 是矩形，且 M 是/。的中点，所以得到。M/8 C/N T ,D M=-A D =-B C =N T,2 2所以。NT是平行四边形，所以 M V/O T,因为平面CCQQ,。7 =平面。1 9。，所以M V/平面CGR。.解：(2)以。为坐标原点，DA,D C,西的方向分别为x,y,z 轴的正方向，建立空间
20、直角坐标系，如图所示：故得到下列各点坐标：”(1,0,0),C(0,2,0),7),(0,0,3),5(2 ,2,0),7 V(1,1,1),A(2 ,0,0),得到 MN=(0,1,1),C M=(1,-2,0),第14页(共19页)设平面CMN的一个法向量为五=（x,y,z）,得,到M N-n=y +2 z=O,令A z =-2,得,万=(6,3,-2),CM-n=x 2y=0可知平面8。0 的一个法向量行=就=(-2,2,0),设平面CAW与平面BDD、的夹角为0,则 c o s。=|c o s 玩，万|=in-n _ 6 _ 3 A/2廊|亢 2/X7-R3 五所以平面BDD、与平面C
21、MN夹角的余弦值为2 0.（1 2 分）（2 0 2 3 大庆模拟）盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：g/C 7 7?）进行测定，认为密度不小于1.2 的种子为优种，小 于 1.2 的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8 和 06.（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值：（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）第1 5 页（共1 9页）(2)在(1)的条件下，用频率估计概率，从这批种子(总数远大于2)中选取2 粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为
22、X,求随机变量X 的分布列和数学期望(各种子的萌发互相独立);(3)若该品种种子的密度0 N(l.3,0.0 1),任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假 设 随 机 变 量 X N d，/)，则 尸(-+0 =0.6827,子 密 度的平 均值为(0.7x0.5+0.9x0.6+l.lx0.9+1.3xl.4+1.5xl.l+1.7x0.5)x0.2=1.24(g/cw3)；a(2)由频率分布直方图知优种占比为(1.4+Ll+O.5)xO.2=g,任选一粒种子萌发的概率p=|x +(l-|)x|=l|因为为这批种子总数远大于2,所以 X 2(2,p),P(X=0)=C；p。(
23、1 _ p)2=白白黑ZJ OZD=l)=C p(l-p)=2x x =2 25 25 625所以X 布列为:X012P49625252625324625期望 E(X)=2p=|=1.44；第16页(共19页)(3)因为该品种种子的密度p N(1.3,0.01),所以=1.3,01 0)，a b因为椭圆+-1的焦点为(iy/5,0),故双曲线的焦点为(J?,0),因为焦点到渐近线的距离为2,所以6=2,从而a42=1,故双曲线C 的标准方程为f 一或=1；4(2)证明：设_),F(X2,y2),当直线/的斜率存在时，设/的方程为歹=去+加，y=kx+m联立，y2,消去y,化简得(4-左2濡 _
24、2而 优 一(?2+4)=0,x-=14=(2km)2+4(/+4)(4 斤)0,B P w2-A:2+4 0,且2kmX,+X7=-r,-4-k-m2-4=-4-k2因为以后尸为 直 径 的 圆 经 过 点所以DEJ.D尸,所 以 瓦 而=5-1)氏一 1)+必为=0，第 17页(共 19页)4 7km所以(/+l)XjX2+(km-l)(x(+x2)+m2+1=(左？+1)-+(hn-1)-+加？+1=0,q K 4 K化简得3/-2km-5k2=(m+k)(3m-5k)=0,所以7 =-%或机=*,且均满足M?-%2+4o.3当 7 =-k 时，直线/的方程为y=A(x-l),直线/过定
25、点(1,0),与已知矛盾；当机=g 上时，直线/的方程为y=k(x+；),过定点3(-|,0).当直线/的斜率不存在时，不妨设直线。E:y=x-1,y=x-l联 立 2 y2，解得M=l,x5 52=-,此时直线/过定点M(-3 0),x-=1 3 34因为QGLET7,所以点G 在以为直径的圆上，为该圆的圆心，|G”|为该圆的半径,1 4故存在定点H0),使得|G|为定值22.(12分)(2023大庆模拟)已知函数/(x)=一%+。的两个不同极值点分别为再，X2(X|则 grw=1 rx.x x-令 g&)0，W 0 xe；令 gx)e 所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，所以 g(x)=g(e)=L 又当 x e(L+0,e所以 Q(0,1)；e(2)证明：由(1)可知1 2?e2,即证/(占)=：1)；”2,即证加，(笔 芦，即证/邛 汴 0,Z +l f(f+1)所以/在(0,1)上单调递增.因为(1)=0,所以0)(1)=0,所以。-2,；)02成立.第19页（共19页）