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1、阿基米德三角形【方法技巧与总结】如图所示，4B为抛物线/=2 p y（p 0）的弦，4%0），B（g,m）,分别过AB作的抛物线的切线交于点P,称A P A B为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.1 .阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.2 .若阿基米德三角形的底边即弦4 3过抛物线内定点C（3,仍），则另一顶点P的轨迹为一条直线.3 .若直线，与抛物线没有公共点，以Z上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.4.底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为5.5 .若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p?.6.点P的坐标为（毁 五
2、，舞）7 .底边AB所在的直线方程为（电+i 2）0 2 p g。任2 =0；8.P A B的面积为SE B=同尚.9 .若点P的坐标为（3,涣），则底边A3的直线方程为劣陋p（y +伙）-0.1 0.如图，若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与凡4,P3分别交于点。,则=黑EDPDDBV1 1.若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形 P 4 3的边P A,P B分别交于点则承叫=2.1 2.抛物线和它的一条弦所围成的面积,等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的日.O【题型归目录】题型一:定点问题题型二:交点的轨迹问题题型三:切线垂直问题题型四:面积问题题型五:外
3、接圆问题题型六,量值问题题型七:角度相等问题【典例例题】题型一:定点问题例1.已知点A(0,1),B(0,1),动点P满足|丽|N西=巨丁巨?.记 点P的轨迹为曲线C.(1)求。的方程；(2)设。为直线y=2上的动点，过。作。的两条切线，切点分别是E,F.证明:直线EF过定点.例2.已知曲线。:“=写，。为直线y=J上的动点，过。作。的两条切线，切点分别为4,B.(1)证明:直线AB过定点.(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.例3.在平面直角坐标系4。9中，河为直线n=2 2上一动点，过点M作抛物线C：i =9的两条切线MA,MB,切点分别为A,
4、3,N为4 B的中点.(1)证明：MN_L 0轴；(2)直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标;若不是，请说明理由.变式1.在平面直角坐标系忒力中，M为直线y=z 3上的动点，过点M作抛物线。:/=29的两条切线AM,MB,切点分别为A,B,N为 的 中 点.(1)证明：MN_La;轴；(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标;若不是，请说明理由.题型二:交点的轨迹问题例4.己知抛物线。的顶点为原点，其焦点F(O,c)(c 0)到直线l-.x-y-2=i)的 距 离 为 挈.(I )求抛物线。的方程；(I I )设点尸(而，统)为直线Z上一动点，过点P作抛物线。的两条切线
5、P A,P 3,其中4,3为切点，求直线 的 方 程，并 证 明 直 线 过 定 点Q；(H I)过(I I )中的点Q的直线m交抛物线。于4 B两点，过点A,B分别作抛物线C的切线h,。，求乙，为交点河满足的轨迹方程.例5.已知动点Q在z轴上方，且到定点尸(0,1)的距离比到多轴的距离大1,(I )求动点Q的轨迹。的方程：(H )过点P(L 1)的直线Z与曲线。交于力，B两点，点 分 别 异 于 原 点O,在曲线。的4B两点处的切线分别为Z”为且乙，L交于点朋，求证：M在定直线上.例6.已知抛物线C.y=ax2(a 0)的焦点为F,直线c=2 与 力 轴 相 交 于 点 与 曲 线。相交于点
6、N,且I“N|=4JFN|.D(1)求抛物线。的方程；(2)过抛物线C 的焦点F 的直线I交抛物线于P,。两点，过 P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A,求证点A 的纵坐标为定值.变式2.已知抛物线。：/=2 p y(p 0)的焦点为P,过 F 的直线交抛物线于4 B 两点.(I)若以A,B 为直径的圆的方程为Q -2户+(,一3/=16,求抛物线。的标准方程;(II)过力，3 分别作抛物线的切线打勾，证明：小。的交点在定直线上.变式3.抛 物 线=2 p y(p 0)的焦点为F,抛物线过点F(p.l).(I )求抛物线。的标准方程与其准线Z的方程；(I I )过口点作直线与抛物线。交于
7、力，3两点，过 分 别 作 抛 物 线 的 切 线，证明两条切线的交点在抛物线。的准线，上.JH型三，切线垂直问题例7.已知抛物线。的方程为/=43点P是抛物线。的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为力，B,点M是 的 中 点.(1)求证:切线PA和PB互相垂直；(2)求证：直线P M 与y轴平行；(3)求APAB面积的最小值.例8.已知抛物线。的方程为/=4 沙,过点P作抛物线。的两条切线，切点分别为力，B.(1)若点P坐标为(0,-1)，求切线PA,PB的方程；(2)若点P是抛物线。的准线上的任意一点，求证:切线PA和 互 相 垂 直.例9.已知中心在原点的椭圆n和抛物
8、线n有相同的焦点(1,0)，椭圆h的离心率为方，抛物线心 的顶点为原点.(I )求椭圆|和抛物线 2 的方程；(I I )设点P为抛物线 2 准线上的任意一点，过点P作抛物线 2 的两条切线P 4,P B，其 中 为 切 点.设直线P 4,的斜率分别为瓦，的,求证：自七为定值./变式4.抛物级/=2 p y(p 0)的焦点尸到直线y =，的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线y=kx+l交抛物线于A(g,%)，B(g,仇)两点，分别过A,B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：尸_ L A B.题型四，面积问题例10.已知抛物线。的方程为x2=2py(p 0),点 是 抛 物
9、 线 上 的 一 点，且到抛物线焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)点 Q为直线y=T 上的动点，过点Q作抛物线。的两条切线，切点分别为。，E,求 AQDE面积的最小值.例11.已知点A(0,2),动点初到点A的距离比动点M 到直线y=-l的距离大1,动点M 的轨迹为曲线C.(1)求曲线。的方程；(2)Q为直线期=1上的动点，过 Q 做曲线。的切线，切点分别为。、E,求 AQOE的面积S 的最小值例12.已知点4 4,4)、3(4,4),直线A M 与 相 交 于 点 M,且直线A M 的 斜 率 与 直 线 的 斜 率 之 差 为2,点M 的轨迹为曲线6*.(I)求曲线。的轨迹方程；
10、(II)Q 为直线沙=一1上的动点，过 Q 做曲线。的切线，切点分别为O、E,求的面积S 的最小值.变式5.如图，已知抛物线C：2=2 p z(p 0)上的点五的横坐标为1,焦 点 为 且 出 尸 1=2,过点P(4,0)作抛物线。的两条切线，切点分别为4、为线段PA上的动点，过。作抛物线的切线，切点为E(异于点4,B),且直线OE交线段PB于点、H.(I )求抛物线。的方程；(I I )(i )求证:|A D|+|B H|为定值;(i i )设 艮4 D,的面积分别为S”S2,求S=3SI+4 S 2的最小O值.变式6.已知抛物线。的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线Z ：m e +
11、?一方=0 经过抛物线。的焦点.(1)求抛物线。的方程；(2)若直线I与抛物线C相交于A、B两点，过 4、B两点分别作抛物线。的切线，两条切线相交于点P,求面积的最小值.题型五:外接回问题例13.已知P是抛物线。：片%2-3 的顶点，4 3是。上的两个动点,且巨人丽=一4.(1)试判断直线AB是否经过某一个定点？若是,求这个定点的坐标:若不是，说明理由;(2)设点M 是 A P A B的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程.例14.已知点P是抛物线。：夕=%2 3 的顶点，4 3是。上的两个动点，且 半 两=4.(1)判断点0(0,1)是否在直线力B上？说明理由；(2)设点M 是 的 外 接 圆 的
12、 圆 心，求点M 的轨迹方程.题型六:最值问题例15.如图，已知F(-2,)是直线c =-2上的动点,过点P作抛物线娟=4 2的两条切线，切点分别为力，3,与沙轴分别交于C,O.(1)求证:直线A B过定点，并求出该定点；(2)设直线AB与。轴相交于点Q,记A,B两点到直线PQ的 距 离 分 别 为；求当J 4当-取最大值时四十电P C。的面积.题型七:角度相等问题例16.如图，设抛物线C：y=/的焦点为F,动点P在直线，：工y 2=0上运动，过P作抛物线。的两条切线P 4、P B,且与抛物线。分别相切于A、B两 点.求A/P B的重心G的轨迹方程；(2)证明 N P F A =ZPFB.p例17.已知F,F 分别是椭圆G：17+16娟=1 7 的上、下焦点，直线4 过点尸且垂直于椭圆长轴,动直线。垂直。于点G,线段G F 的垂直平分线交12于点H,点打的轨迹为C2.(I)求轨迹C2的方程；(H)若动点P 在直线/：0-2 =0 上运动，且过点P 作轨迹G 的两条切线P 4、P B,切点为A、B,试猜想/.PFA与Z.PFB的大小关系，并证明你的结论的正确性.