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1、6.3统计案例（精练）（基础版）题 组 一 线 性 回 归 方 程（小题）1（2022云南）某工厂某产品产量（千件）与单位成本八元）满足回归直线方程y =77.36-1.8 2x,则以下说法中正确的是（）A.产量每增加1000件，单位成本约下降1.8 2元 B.产量每减少1000件，单位成本约下降1.8 2元C.当产量为1千件时，单位成本为75.54元 D.当产量为2 千件时，单位成本为73.72元【答案】A【解析】令/（x）=77.36-1.8 2x,因为/（x+l）-/（x）=77.36-1.8 2。+1）-77.36+1.8 2x =-l.8 2.所以产量每增加1000件，单位成本约下降
2、1.8 2元.2.（2022安徽）“关注夕阳、爱老敬老”一某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第X 年（2013年是第一年）与捐赠的现金y（万元）的对应数据，由此表中的数据得到了 y关于X的线性回【答案】c【解析】由己知得，.=：=4.5,1g=3.5,所以样本点的中心点的坐标为（4.5,3.5）,4 4代入 5=w r+0.35,得 3.5=4.5机+0.35,即 m =0.7,所以$=0.7x+0.35,取 x =7,得 5=0.7 X 7+0.35=5.25,预测2019 年捐赠的现金大约是5.25万元.3.（2022福建）为研究某种细菌在特定环境下，随时间
3、变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数X （天）3456繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y与X的线性回归方程为y =0.7x+a,则当X =7时，繁殖个数y的预测值为A.4.9 B.5.25C.5.9 5D.6.15【答案】B-3+4+5+6 9 -2 5+3+4+4 5 7【解析 1由题意，根据表格中的数据，可得个=，+4；。=行=3；+-=沙即样本中心为苍o:7）,代入回归直线方程R 0.7 X+&,即7;=0.7x9+&,2 2 2 2解得5=0.35,即回归直线的方程为9 =0.7x+0.35,当x =7时，9 =0.7x 7+0.35=5.25,故选 B.4.（20
4、22云南师大附中高三阶段练习）（多选）在研究某品牌汽车的使用年限x （单位：年）与残值y （单位：万元）之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表：X246810y1716141311利用最小二乘法，得到回归直线方程为=晟+18.7,下列说法正确的是（）A.x 与 y的样本相关系数r 0 B.回归直线必过点（6,14.2）C.0 D.预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2 万元【答案】BC【解析】y随x的增大呈递减的趋势，所以*与 y为负相关关系，所以*与y的样本相关系数ro,回归直线方程为y =/w +18.7的3 标+18.7必过点（6,14.2）,所以 14.2=6方+18.7,得方=
5、-0.75,当 X=2 0 时，=-0.75 x 20+18.7=3.7（万元），综上，正确答案为B,C.故选：BC.5.（2022 广东 模拟预测）（多选）已知V与x 线性相关，且求得回归方程为 =瓜+35,变量，的部分取值如表所示，则（）X3 04 05 06 0y2 53 04 04 5A.y与x负相关B.b=0.7C.x =1 0 时，y的预测值为1 0.5D.（4 0,3 0）处的残差为1.5【答案】B C【解析】由题意得=-3-0-+-4-0-+-5-0-+-6-0 =4 5 =,4-2 5 +3 0 +4 0 +4 5 y=-；-=3 5,4所以样本中心点的坐标为（4 5,3 5
6、）,代入线性回归方程得3 5 =6 x 4 5 +3.5,解得b =0.7,B正确;由方=0.7 0 可知）与工正相关，A错误;x =1 0 时，=0.7 x 1 0+3.5 =1 0.5，C 正确；x =4 0 时，y =0,7 x 4 0+3,5 =3 1,5.残差为3 0 3 1.5 =-1.5 ,D 错误.故选：B C.6.（2 0 2 0.全国高三专题练习）在 2 0 1 7 年 3月 1 5 日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格X99.51 01 0.51 1销售量y1 11 0865
7、由散点图可知，销售量与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y =-3.2 x +”，则。=【答案】4 0【解析】根据题意:口 9+9.5 +1。+1。.5 +1 幻0,5-1 1 +1 0 +8+6 +5 0y=-8,y =-3.2 x +6 r,a=3.2 x 1 0+8=4 07.（2 0 2 2 江苏）已知孙 取值如表:X01356yitn3m5.67.4画散点图分析可知：y与X 线性相关，且求得回归方程为g =x +l,则机=3【答 案【解析】计算x =g x (0+1+3+5+6)=3,y=g x (l+m+3 m+5.6+7.4)-1 4 4-4/W这组数据的样本中
8、心点是（3,兰 宁”），又y 与x 的线性回归方程y=x+l 过样本中心点，1 4+4/7竺7=1 x 3+1,解得m=3 .故填3题 组 二 线 性 回 归 方 程（解答题）1.（2 0 2 3 全国高三专题练习）网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2 0 2 1 年 1 2 月，我国网络购物用户规模达8.4 2 亿，较 2 0 2 0 年 1 2 月增长5 96 8万，占网民整体的81.6%.某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额y,（单位：万元）与时间第 年进行了统计得如下数据:12345%2.63.14.56.88.0（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与的
9、关系？请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.0 1）.（若卜|2 0.7 5,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）试用最小二乘法求出利润），与时间f 的回归方程，并预测当f =7 时的利润额.亿-7）（凹-反）-响1=1 1=1（4-7）（%-刃b =f-=-，a=y-bt.Z（刀-尸（=1 1=1参考数据：0,=89.5,i（r,-F）2=V i o,l -y）2=V2L86.&T就=14.7 8 5.【答案】（1）0.9 8,y 与/的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合.（2）y =1.4 5?+0.6 5,10.8 万元.15【解析】（1）由题表，7=9（1+
10、2+3+4 +5）=3,y =-x（2.6 +3.1+4.5 +6.8 +8.0）=5 因为 号=8 9.5,料（如，恒yf=而 取所以5万,4 5 14 5r=rf=I 八-=备/7 1去。9 8 0.7 5.故丫与f 的线性相关程度很高，可以用线性回料（门 川 小-归模型拟合.5,45（2）b=y-=1.4 5,a=y-bT=5-1.4 5 x 3=0.6 5 ,所以=1.4 5 f +0.6 5 .当f =7 时，刀 一 5 尸10f=1y =1.4 5 x 7 +0.6 5 =10.8.预测该专营店在r =7 时的利润为10.8 万元.2.（20 22 全国高三专题练习）足不出户，手机
11、下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机A 勿（应用程序）公司为了了解居民使用这款A 即使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5 个月的调查活动，从使用这款App的人数的满意度统计数据如下：月份12345不满意的人数12010510 0958 0使用APP不使用APP女性4 812男性2218（1）请利用所给数据求不满意人数）与月份x 之间的回归直线方程y=bx+a,并预测该小区10 月份的对这款 A/9 不满意人数:（2）工作人员发现使用这款独。居民的年龄X近似服从正态分布N（35,4）求 P（2 7 X W 4 7）的值;（3）工作人员从这5 个月
12、内的调查表中随机抽查10 0 人，调查是否使用这款A/斗与性别的关系，得到上表:能否据此判断有9 9%的把握认为是否使用这款App与性别有关？参考公式：右=得-=J-,a=y-bx.欣2 -村Z=1 Z=1【答案】(1)y =-9 x 4-127 ,37 A;(2)0.9 7 5 9；(3)有.【解析】（1）由表中的数据可知:_ 1 +2+3+4 +5 _ _ 120 +10 5 +10 0 +9 5 +8 0 x=-=3,y =-=10 0,5 55-5 取一 5 5-4 5 =4-元 214 10-15 0 0 八-=-94 =5 一宸=10 0-(9)x 3=127,所求得回归立线方程为
13、y =-9 x+127,当 x =10 时，=-9*10 +127 =37,该小区10 月份的对这款A p p 不满意人数预估为37 人;(2)P(27 X 4 7)=P(35-2x 4 X 6.635，60 x40 x70 x30 7根据临界值可得，有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关.3.（2021 贵州贵阳（理）据贵州省气候中心报,2021年 6 月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之间,毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm,其余均在50mmm以上，局地超过100mm.若我省某地区2021年端午节前后3 天，每一天下雨的概率均为50%.通过模拟
14、实验的方法来估计该地区这3天中恰好有2 天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0 到 9 之间取整数值的随机数x（x e N,且0 ,=240 0,2%=2 10,(x,.-x)-=4 2 000,-x)(y,.-y)=6 3 00.1=1 J=l f=l j=l(1)求y关于x的回归直线方程；(2)已知服装店每天的经济效益卬=%6 +式依该商场现有6 0 15 0m 2的商铺出租，根 据(1)的结果进行预测，要使单像面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？附：回归直线9 =去+段 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=J-,a=y-bx.豆(玉-叶1=1【答案】(1)9 =0 1
15、5 x 7.5 (2)小李应该租l O O n?的商铺1 20【解析】由己知可得亍=右2占=12 0,2 U /=11 20歹=人?尸0 5 20-/=16 3 004 2 000=0.15 ,=-=10.5-0.15 x12 0=-7.5 ,所以回归直线方程为9 =0.15 x-7.5.(2)根据题意得2 =上=地 叵 三 互+m，6 0 x 0,所以此时Z也取最大值，因此，小李应该租l O O m?的商铺.5.(2 02 2.全国高三专题练习)某工厂生产一种产品测得数据如下:尺寸x(m m)3 84 85 86 8788 8质量y(g)16.818.82 0.72 2.42 42 5.52
16、质量与尺寸的比X0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)若按照检测标准，合格产品的质量)，(g)与尺寸x(m m)之间近似满足关系式)，=c./(c、d 为大于0 的常数)，求 y 关于x 的回归方程；(2)已知产品的收益z(单位：千元)与产品尺寸和质量的关系为z=2 y-0.3 2 x,根 据(1)中回归方程分析，当产品的尺寸x 约为何值时(结果用整数表示)，收益z 的预报值最大？6 6 6 6附：(1)参考数据：Z(ln%/”,.)=75.3,Z 0nx,)=24.6,(ln =18.3,Z(】n x J =1(乩4.=1i=*=1 x=l(2)参考公式：对于样本
17、(匕此)(i=l,2,”)，其回归直线“=的斜率和截距的最小二乘估计公式分一“_.Z(匕-)(%-江)Z 匕 二 V 别为：b=-=弓，a=u-bv 0)两边取自然对数得lny=lnc+dlnx.令匕=lnx,ui=In y；,Ijliju=d-v+a 其中a=In o根据所给统计量及最小二乘估计公式有:6_，匕 氏 一王16 6“E(I n)-E(l nx)E(l nX,In y j-7 i=l675.3-24.6x 18.3 6 _ 0.27 1101.4-24.624-6-0 5 4-2,6 6_ _ E(l n-V,)a=u-d v =-d x-6 618.3 1 24.6-x-=16
18、 2 6又a=lnc=l，所以c=e,所以y 关于x 的回归方程为y=e.f.(2)由(I)得 y=e-1，所以 z=2e&-0.32x=-0.32(4)2+2 e 4.令f=&,则当，=白 时，z 取得最大值，此时 x =r2 7 2 m m，所以当产品的尺寸约为7 2 m m 时，收益z 的预报值最大.6.(2 0 2 2 山东聊城三模)为迎接2 0 2 2 年北京冬奥会，践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.(1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6 个月体
19、重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线卜=的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数了与月份x 之间的经验回归方程(系数”和b的最终结果精确到0.0 1 ),并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至1 0 人以下？月份X123456体重超标人数y9 87 7544 83 22 7z =I n y4.584.3 73.9 83.873.4 63.2 9(2)在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A、8、C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：控球队员ABC接球队员BcAcAB概率J_22
20、233233若传球3 次，记 8队员控球次数为X,求 X的分布列及均值.附：经验回归方程：，=屏+中，b=x -n x-yi=66Z 5/=l6参考数据：Z zj=2 3.5 2,2 光 4=7 7.7 2,A;2=9 1,l n!0 2.3 0./=!；=1【答案】（D y u e R.z*,第十个月io（2）分布列见解析，E（X）=S1 o【解析】解:由 y=e限 恒 得 z=l ny=f er+a._ i -i i由题意得x=(1 +2 +3 +4+5+6)=3.5,2 =zy=x2 3.5 2 =3.9 2 ,6 6,=,6所以6=X qZ j 6xz/=17 7.7 2-6x3.5
21、x3.9 2i6 xf-6_xii=9 1-6x3.5?*一0.2 6,a=z bx=3=3.9 2 -(-0.2 6)x 3.5 =4.8 3.所以2 =In y=-0.2 6x+4.8 3，即V 关于x 的经验回归方程为y=e-0.26A+4.83令64 2 6*+4 8 3 1 0 =*0近 2 3,所以-0.2 6x+4.8 3 9.7 3.由于尤cN,所以X NIO,所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至1 0 人以下.解：由题意得X的可能取值为0、1、2,i 9 1(X=0)=-x-x-=11 1 1 2+x x=62 3 3 9P（x=1）冷假所以X的分布列为X012p16
22、1 11 829/1 1 1 7 1 9所以，(X)=0 x-+l x +2 x-=V 7 6 1 8 9 1 8题组四独立性检验1.(2023 全国 高三专题练习)在一次数学考试中，将某班所有学生的成绩按照性别绘制成如下茎叶图，规定；分数不低于125分为优秀.男生女生2101 3 73 4 6 6 9114 4 6 7 82 3 4 5 6 8 9120 1 4 4 4 7 91 2 4 5 5 7 8133 4 6 6 8 91 4 5 7 7142 3 6 8(1)求本次成绩的众数、中位数；(2)从该班中任意抽取一位学生，求该学生成绩优秀的概率；(3)完成下列2x2列联表，并判断是否有9
23、0%的把握认为学生数学成绩是否优秀与性别有关？数学成绩男生女生总计优秀不优秀总计附：K2其中 =a+/?+c+d.(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)尸(片,)0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】众数为1 2 4,中位数为127.514不(3)答案见解析【解析】(1)本次成绩的众数为1 2 4,中位数为一-=1 2 7.5.(2)图可知，该班有5()名学生，成绩优秀的有2 8 名，所以从该班中任意抽取一名学生，该学生成绩优秀的(3)2 x2 列联表如下,数学成绩男生女生总计优秀1 61 22 8不优秀91 32 2总计2
24、52 55 0K-=图 二 2 9 9，因为 L2 9 9 3.8 4 1,且4.04 0 7.8 7 9，所以有9 9.5%的把握认为喜欢“应用统计”3 0 x 2 5 x 2 5 x 3 0课程与性别有关.（2）设所抽样本中有?个男生，则 捺=为,得，=4,所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作用，B2,B3,B4,G 1,G2,从中任选2人的基本事件有（4，5）,（4，四）,（4,用）,（4，G J,（4 G）,（氏 员），（员,四），（男,G J,（与,GJ,（玛 也）,（4，G），（4 G）,（名,GJ,（旦,G）,（G G）,共 1 5 个,其中恰有1 个男生和1 个女生的事件有
25、（4，G J,（4 G）,（/GJ,（%G），（%G），（号G2），（Z，G J,（0 G）,共 8 个，Q所以恰有1 个男生和1 个女生的概率为百.4.（2 02 2.河南开封.模拟预测（理）大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久.某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在 A,B两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6 月 2 5日在A试验田播种该品种大豆，7月 1 0 日在8试验田播种该品种大豆.收获大豆时，从中各随机抽取2 0份（每 份 1 千粒），并测量出每份的质量（单 位:克），按照 1 0 0,1 5 0）,1 5 0,2 0 0）,2 0 0,2 5 0
26、 进行分组，得把千粒质量不低于2 0 0 克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满.（1）判断是否有9 7.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？（2）从 A,B两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；（3）用样本估计总体，从 A试验田随机抽取1 0 0 份（每份千粒）大豆，记籽粒饱满的份数为X,求 X 的数学期望和方差.【答案】（1）有 E(X)=5 5,)(%)=4【解析】2 x 2 列联表为6月 2 5 I I 播种7月 1 0 H播种合计饱满1 141 5不饱满91 62 5合计2 02 04 0K?=4 0 x(1 1 x 1 6-4 x 9)=5 0
27、 2 4,(a +6)(c+d)(a +c)(+d)2 0 x 2 0 x 1 5 x 2 5所以有9 7.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关.(2)A,B两块实验田中各抽取一份大豆，抽取的大豆中有一份籽粒饱满的概率分别 为 玲，|,两 份 大 豆 籽 粒 都 不 饱 满 的 概 率 为 总，故抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率为,9 1 61-=.2 5 2 5(3)从 A试验出的样本中随机抽取1 份小麦，抽到饱满的概率 为 益，则 X 8(1 0 0 号)，故E(X)=1 0 0 x*5 5,1 1 1 1 9 9D(X)=1 0 0 x x(l)=.2 0 2 0 45.(2 0
28、 2 2 全国高三专题练习(文)2 0 2 2 年北京冬奥组委会发布的 北京2 0 2 2 年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告(2 0 2 2)显示，北京冬奥会已签约2 0 0 家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该2 0 0 家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对2 0 0 家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有1 0 0 家，余下的企业中，每天销售额不足3 0 万元的企业占工，统计后得到如下2 x 2 列联表：销售额不少于3 0 万元销售额不足3 0 万元合计线上销售时间不少于8小时7 51 0 0线上销售时间不足8小时
29、合计2 0 0完成上面的2 x 2 列联表；(2)根据2 x 2 列联表，判断能否有9 9.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.nad-bcy(a+b)(c+)(“+c)优+)附：/0.10.0 50.0 10.0 0 5k2.7 0 63.8 4 16.6 3 57.8 7 9【答案】(1)答案见解析(2)有 9 9.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关【解析】由题意分析可得：签约企业共2 0 0 家，线上销售时间不少于8小时的企业有1 0 0 家，那么线上销售时间不足 8小时的企业有1 0 0 家，每天的销售额不足3 0 万 元 的 企 业 占 共 有 1 0 0 x =5 5 家.完成2 x 2 列联表如F：销售额不少于3 0 万元销售额不足3 0 万元合计线上销售时间不少于8小时7 52 51 0 0线上销售时间不足8小时4 55 51 0 0合计1 2 08 02 0 0由题意，得2 =2 0 0 x(7 5 叱 匕 2 5 x4 5)二1 2 0 x8 0 x1 0 0 x1 0 0计算得/=1 8.7 5,由于 1 8.7 5 7.8 7 9,故有9 9.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.