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1、8.9 幕函数(精讲)(基础版)思碓寻密一般地，册 如 y=.(a GR)的函数称为基函数，其 中x 是自变宠，a 是常数/概念 H (1)自变量x处在黑底数的位置，置摇Sa为常数(2)黑函数的系数3幕函数烝尸X产/1产 五尸*-1Q B象V.X午X-7T-57rVs定义域RRR 中 刈rjrtO)值域RbtoRMeo)奇偶性奇偈奇非奇恭偶奇单调性0(-8,0渡(0.瑁增(-8,0)和(0,+wt公共点(1.1)1=凹向靠近丫拙a 0 单调递增-a=lA 直线，在第一象限图像0 a 1 A 03向靠近x轴常见幕函数1单调性 a 0单调递减赛的数厂X11前提：定义域关于原点对称(l)a为奇数则奇
2、函数：(2)a为偶数则偶函数：(3)a为分如L.nn为偶数则为偶函敷：m奇偶性_ 工、n均为奇数则为奇函数；MH数n号数则非奇非偶分点里能考点一幕函数的三要素【例1-1（2 0 2 2四川省）黑函数=/九2 7（PZ）的图象如图所示，则实数？的值为.【答案】1【解析】有图象可知：该幕函数在（。，+8）单调递减，所以-2加-3 0,解得m e Z,故用可取0,1,2,又因为该函数为偶函数，所 以 苏-2机-3为偶数，故加=1故答案为：1【例1-2】（2 0 2 2课时练习）（1）函数v.j的定义域是，值域是；（2）函数y =的定义域是,值域是；3（3）函数v-J的定义域是_ _ _ _ _ _
3、_ _，值域是_ _ _ _ _ _ _ _；J 一3（4）函数v-E的定义域是，值域是.【答案】（1）R 。,+8）（2）（8,0）U（0,M）（0,+8）（3）0,+8）0,+8）（4）（0,+8）（o,+a）【解析】（1）基函数y =j图像如图所示，定义域为R,值域为 0,y），（2）幕函数y =x图像如图所示，定义域为（f,0）U（0,k）,值域为（0,+8）,(3)基函数y =j图像如图所示，定义域为 0,+8),值域为 0,+8),(4)基函数y =；3图像如图所示，定义域为(0,+8)，值域为(0，+8),故答案为：(1)R:0,+8),(2)(-o o,0)U(0,+o o)；
4、(0,+),(3)0,+8)：0,+8),(4)(0,+8)；(0,+8).【一隅三反】1.(2 0 2 2.云南师大附中高三阶段练习)已知x)为幕函数，且八8)=!，则/(4)=()A-i B-W c-W【答案】B【解析】因为f(x)为幕函数,设 幻=，则/(8)=；=8 a =2 ,所以-2 =3a,可得。=-耳，则/(4)=4 3=症.故选：B2.(2 0 2 2全国模拟预测(文)设/)=小+，1,2用，贝犷函数小)的图象经过点(T 1)”是“函数“X)在(-8,0)上递减”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数“X）的图象
5、经过点（T1）,则/（X）=（T=1,因为 所以 c =2,所以 x）=V所以“X）在（-8,0）上递减，而了（X）在（-8,0）上 递 减,函数X）的图象不定经过点（T），如:f（x）=x.所以“函数”X）的图象经过点（T1）”是“函数”X）在（-8,0）上递减”的充分不必要条件.故选：A.x2-2cvc+9,xlI x为/（I）,则实数的取值范围为（）A.1,2 B.1,3 C.0,2 D.2,3【答案】A【解析】当x l 时，x2+-3 a =X2+-3 t z 3 J x2 x x -3 l时，函数“X）的最小值为1 2-3，当 时，/（x）=x2-2 o r+9 =（%-+9-a2,
6、f N1要 使 得 函 数 的 最 小 值 为1），则满 足 伉）=1 0_2“4 1 2-3屋 解得1 4 a 4 2,即实数”的取值范围是U N.故选：A.4.（2 02 2河北）已知函数f（x）=一步（2 ）,若函数/（x）的值域为R,则实数。的取值范围为（）x（x 0 时，丫 =/的取值集合为 0,+8）,/（力的值域（_8,-必 3 0,”）*1 ，不符合题意，当 M O 时,函 数 y=X?在（-8,4）上单调递减,其函数值集合为（02,+8）,因函数 X）的值域为R,则有-指 2/,解得一 1 4。4 0,所以实数。的取值范围为 T，01.故选：D考点二幕函数的性质【例 2-1（
7、2 02 2 嘿龙江鸡东县第二中学二模）当x e（0,r）时，幕函数y=（病 机l）”一 为减函数，则实数，的 值 为（）A.m =2 B.6=一1C.加=-1 或m=2 D.加工上2【答案】AA M 2 Y Y 1 1 1【解析】因为函数y=（/-L l）尸吁3既是事函数又是（0收）的减函数，所以解得：=2.故选：A.4 2 1 2【例 2-2 （2 02 2,J 西）已知 =，b=4 9 c=2 5 d =6*，贝（）A.b a d c B.b c a dC.c d b a D.b a c d【答案】D【解析】由题得a =2!=1 6 匕=1=1 6）c =251d=6；=36 因为函数y
8、=j 在 R上单调递增，所以acd.又因为指数函数y=1 6 在 R上单调递增，所 以 故 选:D.【例 2-3（2 02 2 云南）已知基函数y=-2*3 e N ）的图象关于y 轴对称，且在（0,+巧 上单调递减，则满足（a +1）寸（3-2 a）号 的 的取值范围为（）A.（0,+o o）B.（-|+8）C.（。,|）.S T）修|）【答案】D【解析】基函数y=x 2 3（机w N*）在（O,y）上单调递减，故-2?3 0,解得又m e N*，故m=或 2.当?=1时，的图象关于y轴对称，满足题意；当 桁=2时，y=x”的图象不关于y 轴对称，舍去，故根=1.不等式化为（a +l）T 3
9、-2。0 或0 a +l 3-2。或a +l 0 3-2 a,解得a -l 或.故应选：D.【一隅三反】1.（2 02 2 黑龙江嫩江市高级中学高三开学考试）下列关于幕函数丫=产的命题中正确的有（）A.A函数图象都通过点（。，0），（I DB.当幕指数a =l,3,-l 时，哥函数y=x 的图象都经过第一、三象限C.当嘉指数a =l,3,-1 时，募函数y=x 是增函数D.若a0,则函数图象不通过点（0,0）,（1,1）【答案】B【解析】对于A,当a0 时，箱函数图象不通过点（0,0）,A错误；对于B,基指数。=1,3,-1 时，基函数分别为y=x,y=x3,y=x-，三者皆为奇函数，图象都经
10、过第一、三象限，故 B正确；对于C,当。=一1 时，塞函数y=/在（,0）,（0,+8）上皆单调递减，c错误：对于D,若a 0则g(-x)=2 7-2 =(2 2 7)=g(x),所以函数g(x)为奇函数，即充分性成立；函数g(x)=2-川 为奇函数”,则 g(x)=-g (-x),即 2,/2 r=_(2一”病.2*)=源.2*_ 2-解得：m =,故必要性不成立，故 选:A.4.(2022全国课时练习)如图所示是函数,=/(,、eN*且互质)的图象，则()nC.，是偶数，是奇数，且1nD.侬 是偶数，且竺1n【答案】c【解析】.函数的图象关于y 轴对称，故”为奇数，为 偶数，在第一象限内，
11、函数是凸函数，故生bc B.b a c C.a c b D,c h a【答案】A2 2 4【解析】因为U=|J 0.所以l a 0 0.因为（；）=3 1 .所以 Cic.故选：A.考点三二次函数根的分布【例 3-1（2022.全国高一课时练习）关于x 的 方 程/+（机-2）x+2 z-l=0 恰有一根在区间（0,1）内，则实数，的取值范围是（）A-H B.圜 C.加 D.（黄 卜 6-26【答案】D【解析】方程V+（-2）x+2/n-l=0对应的二次函数设为：司=幺+（机-2）+2m-1因为方程x2+（m-2）x+2机-1 =0恰有一根属于（0,1）,则需要满足：1o/0,（2/n-l）（
12、3/n-2）0,解得：?$函数“X）刚好经过点（0,0）或者（1,0）,另一个零点属于（0,1）,把点（0,0）代入/（x）=x2+（z2）x+2m l,解得：?=g,此时方程为x2 x =0,两根为0,p 而1 任（0,1），不合题意，舍去把点（1,0）代入/（力=/+（加一2）+2w 1,解得：m=此时方程为3X2-4X+1=O,两根为1,1,而g e（O,l）,故符合题意：函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于（0,1）,=(机 2)-4(2m 1)=0,解得?=6 2 j7 ,当/n=6+2近 时,方程炉+(1-2口+2:-1=0 的根为-2-7 7,不合题意;若m=6-2币，方程+(，
13、-2口+2机一1 =0 的根为 一 2,符合题意综上：实数?的取值范围为(g，|邛-2月故选：D【例 3-2 (2022.湖北.华中师大一附中)关于x 的方程 加+(a+2)x+9a=0 有两个不相等的实数根片,三，且占1七，那么。的取值范围是(),2 2 2A.a 7 5 52 2C.a D.-a 07 11【答案】D【解析】当。=0 时，加+(a+2)x+9a=0 即为2x=0,不符合题意；故a#0,ax+(a+2)x+9a=0 即为x。+1+r +9=0,令 y=x2+(l+?)x +9,由于关于x 的方程 加+(a+2)x+9a=0 有两个不相等的实数根不天，R x,l ,则=加+(4
14、+2卜+94与 x 轴有两个交点，且分布在1 的两侧，故 x=l 时，y 0,B|J1+|l+-|x l +9 0,解得 故-2 “0,故选：DI a)a 11【一隅三反】1.(2022江苏)已知方程/+(，-2)X+5-M=0 有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2,则实数?的取值范围是()A.(-5,-4)(4,+00)B.(-5,+0m4+(z-2)x2+5-?0m 4或加 -4tn-5则一5 相 22.(2022 广西高三阶段练习(理)已知函数，(x)=x ,若关于x 的方程/(引=左有两个不同的(x-l)3,x 2实根，则实数2 的取值范围为()A.(0,1)B.C.(0,1 D
15、.(0,+o9)【答案】A【解析】当x 2 时，函数/(x)=(x-l)3是增函数，函数值集合是(7,1),当XN2时，是减函数,X函数值集合是(0，关于x 的方程/(x)=Z有两个不同的实根，即函数y=/(x)的图象与直线y=A有两个交点，在坐标系内作出直线y=&和函数y=/(x)的图象，如图，观察图象知，当0 么 1时，直线y=%和函数y=f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)=左有两个不同的实根，所以实数上的取值范围为(0,1).故选：A3(2022江苏)方程/-(2-4 卜+5-4 =0 的两根都大于2,则实数。的 取 值 范 围 是.【答案】-5 a 0 a2 1 6可得 2)0,即J a +5 0,2 -a？2-a 4解得5a 4.故答案为：5 3 +2/2【解析】令外 力=如 2-（加l）x +l,图象恒过点（0,1）,V方程侬2 _(m l)x+l=0 在区间(0,1)内有两个不同的根,m 0c m-,m00 -1 ,解得机 3 +2 0.1)(7-1)2-4心0A 0故答案为：m3+2/2