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1、第6章线性空间6.1定义及性质1.线性空间的定义令 是一个非空集合，尸是一个数域。在集合忆的元素之间定义一种叫做加法的代数运算，使得对于中任意两个向量a与/,在忆中都有唯一确定的一个元素/与它们对应,称为a与尸的和,记为y=a +/；在数域P与集合P的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，这就是说，对于数域P中任一个数左与厂中任一个元素a,在厂中都有唯一的一个元素b与它们对应，称为左与a的数量乘积，记为6=%a。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间。加法满足下面四条规则：(1)a +P=fi +a；(2)(a +/)+y=a +(+y)；(3)在P中有一个元素0,使得
2、对Vae%,都有a +O =a (具有这个性质的元素0称为厂的零元素)；(4)Va G K ,存在使得a +=0(6称为a的负元素).数量乘法满足下面两条规则：(5)l a =a ；(6)k(l a)=(kl)a ；数量乘法与加法满足下面两条规则：(7)k+l a =k a +l a(8)左(a+)=攵a+4 在以上规则中，左，/表示数域尸中任意数；a,表示中任意元素。线性空间中的元素也称为向量。2.线性空间的性质(1)(-l)a=-a ；(2)0 a =0,左 0=0；(3)k a=0 o k=0 或 a =0。3.数域尸上的线性空间忆中向量的线性相关、无关、极大线性无关组、秩等定义与性质与
3、P中的相同。4.例子(1)用定义证明是线性空间例1.(辽大2 0 1 2年，七；北大教材P2 69,3.8)全体正实数R+对于下面定义的数量乘法和加法构成实数域R上的线性空间：a S b=a b,k0 a =ak,a,b e R+,左 e R。证明：首先：V a/e R ,V ke R,。6=b G R 且唯一，=且唯一。其次：ab =a b=ba =ba；(ab)c=(a b)c=(a b)c=a(bc)=a9c)；找 零 元：设e是 零 元，那 么e e R+,且 对W a e区+4。=ea =a n e=1 ,于 是 存 在1 e R,使得对V a e R+,1 a =la =，知 1
4、是零元；对每个元素找负元：Vas R 设 为 其 负 元，则有且。a =a a =l =a =L,因此对Vae R Z存在aG Ri ,使得aL =Q X =I,知是a的负元；a a a a(5)l a -a -a ,V a e R+；k(l a)=ka =(a )=a =(kl)。a ；(左+/)a =a*=/，=(左。a)(7a),/k,l e R,V a e R+；左。(a b)=左。(a b)=(a 6)*=akbk=(A。a )(左。b),V A:e R,V a,ft e R+综上可知原命题成立。(2)用子空间来证明是线性空间例2.(北师大2 0 1 5年，4题前一部分)设 少=/e
5、R*卜(/)=0,/,=/,证明少按着矩阵的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间。分析：只需说明少是R上的线性空间Rx 的子空间即可。要证明集合匕是数域夕上的线性空间/的一个子空间，首先需说 明 匕 是P的 非 空 子 集，其 次 说 明 对V a,尸wK，V左w P ,有a +夕匕。匕，或 对V a,夕e%,V幺/c P有ka +l J3 eV o证明：首先R X 是实数域R上的线性空间，其次，因 阶 零 方 阵 少，因此力是R*的非空子集，又任取任取忙/e R,有 M+A B eR*,t r(A)=Q,AT=A,t r(B)=0,BT=B ,进而有：(以+/5)=(Z N)+0(/6)=
6、左 次(4)+r(6)=Z 0 +/0 =0 +0 =0 kA +IB)，=(kA)r+(IB)T=k Ar+l Br=A +B因 此 以+/6 w%,故力是实数域R上的线性空间R*的子空间，知命题成立。2 2-2、例3.(中科院2 0 1 1,5,(3)前一部分)设/=2 5-4,P=5 e 1*3=5/,证明忆是R上一线性空2 4 5 )间(按矩阵的加法与数量乘法)。证明：首先R3*3是实数域R上的线性空间，其次，因3阶零方阵。3 3 U，因此是R 3的非空子集，又任取任取左,/e R,有0 B +/CeR3 x 3,A B B A,A C =C A,进而有：A(kB+l C)=A(kB)
7、+A(l C)=k(A B)+l A C)=k(BA)+l(CA)=(kB)A+(m xnj那么对v，=（传有/=（羯3内，由此可知心,号 乌，昌，,纥”，纥“线性无关,/=1 j=l因此勺,，纥“，纥，是P X 的一组基，d i m P、=/H。（3）设为正整数，那么P x“=ao+/x+4 _产 eP（i =0,l,2,，一 1）是数域P上的线性空间，求尸x“的一组基和维数。解：取尸x“中的向量组尸x“，则对 V/X xba o+q x H +e 尸 乩，有/（x）=1%）+q xd +a_1xf l-1,由此还可得知l,x,x T线性无关，因此l,x,x T是尸可“的一组基，d i m
8、P x=。例2.（北师大2 0 1 5年，4题后部分）设 少=/e R g，M/）=0,/T=/,（1）证明少按着矩阵的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间；（2）求印的一组基和维数。分析：要求线性空间V的一组基和维数只需这样做：找到V中一组线性无关的向量，说明V中每个向量可由这组线性无关向量线性表出。()2 ani=2解：任取有力=a2 a22 a2n。用E,.表示第i行第/列元素为1,其余元素皆为零的阶方阵。、an a2n ann)在 力 中 令%.=1,其它元素等于零,得一片1+旦 (，=2/：)；在“中 令%.=1,其它元素等于零，得Etj+EJt j n).那么:A=(i=2a2a
9、22a.(-Eu+.)+Zaij(4,+Eijnana,m)知田中任一向量可由它中的向量组%+E“(i=2,)，Ejj+Eji(1i ./W )线性表出，且若:Z%(一月 1 +与)+Z aiJ(/=24+号)=。就会有:(力-%.1=2a2、aO=ajt=0(/=2,/=0(1 z /ana2nannJ知一与+纥(i=2,)，E.+E.(lzC(J)=b22 0|Z ,7 e P,z=1,2,3 0所以E“=oI。0 0、0 0 0、00 0，石22=0 1 0 /=00 0,、00 0、0 0 是C(Z)的一组基，C(N)的维数为3。0 1 J2 2 -2、例 4.(中科院2 0 1 1,
10、5,(3)后 一 部 分)设/=2 5-4、-2 -4 5，间(按矩阵的加法与数量乘法)，并确定/的维数。V =B&R 3、3=B A ,证明忆是R上一线性空 2分析：因/=2；-22 -2、5 -4是 3阶实对称矩阵,因此存在3 阶正交矩阵U,使得:4U AU=i r A U =、其中4,是4的全部特征值。又任取U4444U B =B UA4则有=、=n/=U进而有:4、U B U =U B UA74/4)4/解：先求/的特征值:2-2|花-止-222-2=(2-1)-20-2Z 54-42-90241242-52-2-20-2A.52-12A-24 =(/l-l)-2A 10(2-l)(A
11、2-l l/l +1 0)=(2-l)2(2-1 0)得”的特征值为Li,io。于是存在3阶正交矩阵u,使得u Nu =t r，u =卜面求t/TSU,设。一 如 =b2i也14%加 r pb2 b22 b23 1=也|b32 10,、1。12%b22怎，则有:32 33 如io 九、。22 1 时23%1 b33=1 0%，3,1，23 3 3,4 1 =1。卜 3也 2=1 0%=仇3=%=既=32=。配 bl 2 0)优 I%0)-2A 512411 f11 n4=Uio)、1 u电得：U B U =既 b22 0 ,于是：B =U h2i h22 0 U-,/bt,b2,b2,b22,
12、b.0 “33/，33/(如h21 1 0 既33 e R。4 2%怎 ，2310&2 1 0 4 3令(好 也 也,依次取(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1),得修中 5 个向量:1 0t z 0 0、0 0 0 J 1 0 0%0)仅10 UU 0 00、0 0 0、0 0 0、0 0 0、0U-,U1 0 0u u0 1 0u-,u0 0 0U-0、0 0 0,1 0 0 0；、0 0 21E22七33而pi.B=U%,042J00、0 U-=buU EnU-+bl 2U Ei 2U-+b2iU E2iU-
13、l+h22U E22U-+b33U Ei 3U由此可得。|/工。自2 3 1迎2 1。7，弓2。，。3 3右1线性无关，因此U E t/T ,6 2 一1,。上2 1/1,准2 2少 ,班3 3 7是 的一组基，d i m/=5。例5.1(北 大 教 材 第 四 版，P 2 6 9,8.4 )求 下 列 线 性 空 间 的 维 数 和 一 组 基。4 )实 数 域 上 由 矩 阵、A =co2a),a)=-1丁的全体多项式做出的空间。解：设给定的线性空间为H，贝I：V=/(/)=。0 E 3+。/+。“/卜 是 任 一 非 负 整 数，V%,a,G R|。又勿=士巫是f+x+l的根，因此是3
14、_12(X-1)(X2+X+1)的根,因此苏=1 =疗=1,G弘+1 =,。3/+2 _ 4。于是有：A1=推出：(Darar)A3=1、A3 k=E,A3k+l=A,A3k+2=A2于是 =/(4)=a0E,+aA+a22|Va0,a”与 R，知忆中每个向量可由它中的向量组E3,A,Z?线性表出，下面说明4彳 线性无关。为此设左。%+左M+&/2 =。，即:1co2k0+klco+k2co2)f 、=0k0+kGr+k2co J 1 0,kn+k+k2=0知：左0+K(y +左2疗=0，而 因1，0 2互不相同，所 以1k+k1(o+左,0=0co疗11 1(/y*=11 4co”a)r27
15、0,于是得勺=%=怎=0,因1 11此 生，4/2线性无关，得 七3,4/2是忆的一组基，d im K=3 o例6.(陕西师大2 0 1 5年，6,2 0分)设马，4,，邑 是数域P上的维线性空间修的一组基，此是产的非平凡子空间，名,是 田 的 一 组 基，证 明：可 以 在e l，与，中 找 到 一八个 向 量q,邑，使得4,，”，是修的一组基。证明：(此题要用到北大教材P104页 第9题)因 沙 是 忆的非平凡子空间，所 以0d im%=r(al,a2,-,a)=(/7l,2,-,/7)/4_|o(3)过渡矩阵的求法用过渡矩阵的定义：在尸 中，由(瓦四a,a 尸(无 昆，,万”)，此时可用
16、初等变换求得过渡矩阵N ：(q,%,%1(综夕2,，)=，(%,%厂(如%，%)=“(因,%I缘 ,a)初 等 行 变 换-(纥I A)在修中选一简单的基6,0 2,e”，求4 6,使得:(广 耳，=(勺乌,e“)4(多,4,%)=(e l/，6)5于是:(瓦 巴，夕”)=(，02,=3,a 2 ,例 7.(北大教材第四版，P 2 6 9,8.4)求尸4 的基因=(1,2,-1,0),&2=(1,-1,1,1),%=(一1，2,1,1),1=(-1,-1,0)到基佚=(2,1,0,1),=(0,1,2,2)次=(-2,1,1,2),上4 =(1,3,1,2)的过渡矩阵C。解：方法 1：(j S
17、1,j 32,j 33,j 34)=(al,a2,ai,a4)C=C =(al,a2,a3,a4y (j Sl,2,j 34)=A lB方法 2：取尸4 的基勺=(1,0,0,0),0 2 =(0,1,0,0),0 3 =(0,0,L 0),0 4 =(，)，则有:(a,a2,a3,a4)=(e,e2,e3,e4)12-101-111-1211(61 P l ,。3，2 4 )=()21010122-2112-1、-10L1、312,(et,e2,e3,e4)B于是：（几户2 0，24）=（。12，%，。4）力“6。2-1,01-111-1211-1-10121010122-2112所以/,%
18、到 几 尾 血 血 的过渡矩阵为力一%=1312,11070107、(E|才9)3.坐标变换公式设数域尸上的维线性空间忆中的向量a在 忆 的 一 组 基%下 的 坐 标 是（x”W，X ），在P的另一组基四，四，以，下的坐标是（如 外，匕,），是由基,。2,，%到基4,2，夕 的过渡矩阵，则:例&（沈师2 0 1 0年，七，1 5分）若四,。2,a,是维线性空间修的一组基，证明向量组a,ax+a2,-,a+a2+仍是忆的一组基，又若a在 前 者 下 的 坐 标 为,2,1），求a在后者下的坐标。1 11 .1、勺11 -P0 11 -10 11 -1解：（,+a2,-,a,+4+“）=（，%,
19、%）0 01 -1,令r =0 01 -1,因|T|=1,、0 00-b、0 00,b所以 7 可 逆，-f a,a2,-,an)=(a,ai+a2,-,a+a2+-+a)T-1,知 四，4 +12,，+a?+a”与%,火,a”等价，于是它们的秩相同，而 名,，。是“维线性空间修的一组基，因此。”的秩为，得四,1+%，,/+。2+。”的 秩 为 ，知。1，%+%，风+。2 +线 性 无 关，又d im忆=，因此 1，,+a2,+a2+仍是P 的一组基。设X 0=（,一 1,2,1）,因为:a =）引必+%+a.）广 X所以a在即,+。2,4 +%+%下的坐标为厂*。1 1 1 1 、0 1 1
20、 1 H-1（T|X0）=0 0 1 1 ；:：2、0 0 0 1 1 ,第1行减去第2行，第2行减去第3行、io。o r0 1 0 0 10 0 1 0；=（E I T-X、0 0 0 1 1,第 T行减去第 行 得a在叫0 +a2,-,al+a2+-+ail 下的坐标为L X；=（LL,1）。例9.（辽大2 0 1 1年，四）设a=（41,1）.=（1,/1,1）,4=（1,1,九）为尸3的一组基，求夕=（在该基下的坐标，并求坐标乘积的最大值。解：设/?=（四,%，%）X2 ，那么 X2=（囚,。Xi 2 1 1由|,。2，%|=1 之 1 =（4一1）2（几 +2）工0=；1工1 且,又
21、：1 1 2|,a2,a3|=2（2-l）2,|al,/J,a3|=-2（2-l）3=aa,/3由克拉默法则知：._ 3|z,&,夕0|-2.|a,a2,yg|-2|a19a2,a3|2+2，/丸 +2|aj,a2,a3|4+2于是尸=(4-2,-1,-1)在基4,%,%下的坐标为：2-2-2 11+2,7+2，I+2j2-2-2 42_ x_x _ _丸 +2 4+2 4+2（4+2 丫而 l i m -4人 J=+o o,所以尸的坐标乘积无最大值。2（入+2）例 1 0.（沈师2 015 年，二，3）在实数域R 上的所有二阶方阵构成的线性空间R2*2 中:、1）求基41 0、-1 0,1-
22、10 0,1到基与0、o 0=7-1、02、137700107007分别在基马 后 石 血 和基四,%,%，%下的坐标。四,%,%，。4下的坐标分别为(1,（自己求出）。-58327,因 此A/-5 8、3 2,在基 马,？,？，%和基6.3 子空间1.子空间的定义：令 少 是数域尸上线性空间忆的一个非空子集。如果少对忆的两种运算也构成数域尸上的线性空间，那么就称火是M 的一个线性子空间（简称子空间）。如果火是厂的子空间，且匹%，就称爪是p的真子空间。注：若印是有限维线性空间厂的子空间，则d i m 少 W d i m%。2 .子空间的判别方法（1）子空间的判别定理：设 是数域。上的线性空间忆
23、的一个非空子集，那么下列条件等价:少是忆的子空间;/a,P e W,fk e P,有 a +ka eW ,Y a,。e W,fk,l w P,有 ka+10 wW。（2）设%是数域P上的线性空间厂的一个非空子集，要证明少不是忆的子空间，只需说明存在但a0+PQW 或存在/e 尸,w 小 但 aoaQ g W。注：如果少是一个给定的集合，那么要证明少是厂的子空间首先应该说明力是忆的非空子集，接着验证 印 对 厂的两种运算也构成数域P上的线性空间或（1）中的或成立，如果不是的非空子集，那么少一定不是P的子空间。由（1）易知在线性空间修中，由单个零向量所组成的集合是修的一个子空间，厂本身也是修的一个
24、子空间，这两个子空间叫做忆的平凡子空间，而其它子空间（如果存在）都叫做的非平凡子空间。3 .生成子空间：设多,%是数域尸上的线性空间厂中的一组向量，那么：/.（a,-,a,）=+k2a2+-+kra,.ky,k2,-,kr&P 是修的子空间，该 子 空 间 叫 做 由 火 生成的子空间，名,叫做这个子空间的一组生成元。的秩就是“名,的维数，且 如 果,，,火 的秩等于零，那么（四,是忆的零子空间，如果囚,a,.的秩大于零，那么a”,见 的任一极大线性无关组都是“%）的一组基。4.子空间相等的判别：设匕,匕是数域尸上的线性空间修的两个子空间。（1）%的生成子空间与（笈,乩）相等当且仅当向量组四,
25、，与川,4等价。（2）如 果 匕 并 且 右=匕，则 匕=匕。（3）如果匕,修是修两个有限维子空间，匕=匕，并且d i m K=d i m 匕，则 匕=匕。例 L（沈师2 017年，二、2（1）设 N=,是数域。上的 x 加矩阵，设火（/）=ZX|XGP ,证明：R（N）是P 的子空间；（2）d i m（&（4）=1 欣（4）.证明：（1）因N =（,是数域。上 的 矩 阵，所以对VxeP,因此有N xeP,因此火（N）是 P 的非空子集。任取力,%尺（/），存在7，%eP,使 得%=/7,7 2 =/%，于是任取左,/e。，有 kt +1%w PM，进而有:N（S +仞2）=左（，7）+/（
26、/小）=3 1 +/e R（/）推出R（N）是P 的子空间。（2 ）取 的 由 单 位 向 量 如 三,，“构成的基，Vx =（a,a2,）&P ,有 x =。向+4 2 +-a,m 1推出A x =aA e+a2A s2+amA em,=avA e2=a2,-,A em=am,知：,eR（N）A x =aa+a2a2+amam于是a,“），因此d im（R（/）=a|,4,的秩。例 2.（辽大2 0 1 6 年，七）设 3 =46尸切卜=一/,。（1）证明G 是 P、的子空间。证明：0.“e G ,所以G 是P、的非空子集。任取4 6 e G ,任取左,/e。，有 以+由 e尸*,且 H =
27、N ,5 =-6 ,于是有：（必+/6）=（山）+（出）=乂 +/6 =左（/）+/（6）=（乂+/6）综上可知G 是尸的子空间。例 3.设 R 是实数域，W a,a +b,a-b）a,b R ,证明少是R 3 的子空间。证明：由力的定义知，沙 口 R 3,又取a =b=O,知 R 3 中的零向量（O,O,O）=（O,O+O,O O）e少，所以少是R?的非空子集。任取a =（q,%+,4 -）,6=（%，4+&。2-仇）e%,有,乙,。2 也 w R，于是若再任取/eR,有:左 q+/2,攵 4+妨2 R，而：ka +10=k（%吗+b,a、-bj +1（a 2，。？+b2,。？-b?）=（k
28、a1+/%,（%+他）+（屹 +/.）,（%.+包）一（屹 +，8）知ka +l0e W ,因此少是R?的子空间。例 4.（沈师2 0 1 1 年，六，例 分）设Z wP1*，,记 S（4）=5 忸 尸 4,4 5 =。1）证明：S（/）是尸虫4 的子空间；2）若a是齐次线性方程组N x =O 的解，令片为第i列为a,其它列为零的4阶方阵，证明：B苫S ;3）设秩（/）=2,求 S（/）的一组基和维数。1）证明：S（Z）=5|5 e p 4 x 4,/5 =o =p 4*4,又尸 4 的零向量。S（N）,因此S（/）H 0,知S 是 尸 物的非空子集。任取C1，G wS（N）,有 G，G eP
29、 4,且/G=O,/G=。，于是若任取左,壮尸，有攵G+/G eP,且：A（kCl+l C2）=k（ACl）+l（AC2）=k O+l O =O于是有g+/G eS（/）,因此S（N）是尸以4 的子空间。2）证明：因a 是齐次线性方程组Nx=0 的解，所以有aeP=且 Z a =0,又：=（a,0,0,0）,5,=（0,a,0,0）,B3=（0,0,a,0）,jB4=（0,0,0,a）所以有4,，cP1*且：N g =（/a,NO,NO,0）=（0,0,0,0）,A B?=（NO,Na,N O,/0）=（0,0,0,0）,/层=（70,NO,Na,NO）=（0,0,0,0）,AB2=（NO,/
30、0,N O,/a）=（0,0,0,0）因此g,5 2,6 3,8 2 eS（N）。3）因秩（4）=2 ,所以齐次线性方程组A x =0的每一个基础解系含两个解向量，设7,小 为 Zx=0 的一个基础解系。任取5 =（g,A,四，2 4）e S（/）,则有=（/四,/四，/夕 3，/4）=O n /4=0,/=，A =0,A/34=0,知6的每个列向量笈，儿，以，都 是 4 x =0 的解，因 此 都 可 由 线 性 表 出，设：A =即7 +占2小，凤=%7 +左222,P 3=出+4 3 2 2，6 4 =3 7+左42袱2那么:5 =（瓦夕2 次，夕4 ）=（左1 7 +勺 2%,2 1
31、7 +k22rh，扁 7 +k32fh，k m+勺 2 2 ）=，1（/,0,0,0）+占 2何2,0,0,0）+无2 1（0，/，。，。）+后2 2（。，小，。，0）+1（0,0,1,0）+左3 2（0,0,小,0）+腐（0,0,0,7）+后4 2（0，。，0，小）于是6可由F=（7,0,0,0）,？2 =（7,0,0,0），产3 =（，7，），月=（，2，），F5=（0,0,7,0）,F6=（0,0,72,0）,F7=（0,0,0,）,=（0,0,0,72）线性表出，由2）知，居，居，月，乙，乙，居，&e S（N）,且若勺1（7,0,0,0）+左1 2（2,0,0，。）+左2 1（0，如0
32、，。）+%2 2（0，2，。，。）+左3 1（0,0,7,0）+%3 2（。，0，2,0）+。1（。，。，。，7）+%（0,0,0，2）=。就有（k 通+尢2 2，&+七2 2,右7 +左3 2%，勺+左4 2小）=（0,0,0,0）=占附+勺2 2 =0,无2 1 +左 2 2%=，岛 7 +k32T l 2=。人+%小=。而 7 .2 线性无关，因此有 k、T=左|2 =左2 1 =2 2 =3 1 =3 2 =4 1 =%4 2 =0，知耳=（7,0,0,0）,=（小,0,0,0）,骂=（0,/,0,0）,居=（0,2,0,0）,F5=（0,0,7,0）,居=（0,0，2，），6=（0,
33、0,0,7），居=（0,0,0，2）线性无关，因此耳，耳,耳 玛,乙,B，居 是S（4）的一组基，S（4）的维数为8。例5.M,（C）是由所有阶复矩阵在矩阵的加法和数量乘法之下构成的c向量空间，设是“（c）的一个子空间，且满足忆中的任何非零矩阵都是可逆矩阵。（1）举出一个这样的子空间修的例子从而说明这样的子空间是存在的；（2）说明忆的维数=1。解：（1）V =a En|e c （2）取定O xN eP,由题设可知N 可逆，且任取ae C,因/是 此（月）的一个子空间，所以有：a A-B&V ,而a Z-5 =（“E ,于 是 若 取a e C为6/T的 一 个 特 征 值，就有卜E-5/1=0
34、,于是|a J-B|=|（f l E-）|/l|=0,因此有。/一6不可逆，又a/-知aN 6 =。=6 =4。因NwO,所 以/线性无关。综上可知N是忆的一组基，推出厂的维数=1。5.子空间的交与和设%，%是数域。上的线性空间厂的两个子空间。（1）子空间的交：/n%是%的子空间。k 设%是 任 一 大 于1的正整数，%：是/的任意一组子空间，则n叱 也 是 忆的子空间。/=1 两 个 子 空 间 的 并 不 一 定 是 子 空 间，例 如 取R?的两个子空间：掰=（a,0）|ae R ,%=（0,b）|b e R ,那么幽 U%=(4,0),(0 /)|a,b e R ,于是(1,0),(0
35、,1)e%U%，但(1,0)+(0,1)=(1,1)2/1)%，因此U%不是 R?的子空间。%U/是 忆 的 子 空 间 当 且 仅 当 叫 工%或 名 三 。证明：充分性：阳三名或华屋幽或%,而%，心是厂的子空间，因 此 此 时%U%是忆的子空间。必要性：反证法：若 2%且 叫2%,则有向量a,夕，使得a e掰,a c%,46%,史 修,从 而a,夕w%U%，而 叫U%是%的子空间，于是y =a+/e/U%ny=a+夕G%或y =a+夕e%,推出夕e%或a e%矛盾。任何线性空间都不能写成其两个真子空间的并，即 设/，%都 是 数 域。上的线性空间V的真子空间，那么 U%。证明：由 修 工知
36、，必存在a e-，但a任小。若。任 ,则a c所U%，即 所U/。%。若a e%,则 由 匕 工 修，存在夕匕夕 史 心。若 尸纪，则夕 史%U%，得/U%。%。若/G%,则a+夕任用U%，否则当a+时，有a=(a+)/6%,矛盾，当a+w明 时，有夕=(a+夕)a e%，矛盾，所以a+c%U%，于 是/例3.(陕西师大2 0 1 4年，六,1 5分)设匕，右是数域P上的线性空间V的两个非平凡子空间，则存在a e%使得a史匕，a史七。证明：只需证明HwK U%,而匕，匕是忆的两个非平凡子空间，因此匕，匕是修的两个真子空间，因此由知因此a e%使得。史匕，a e%。(2)子空间的和：/=4+%|
37、/w%,%w%是忆的子空间，称 为 幽 与 名 的 和。注：子空间的和的概念可以推广，一切形如t/，a,e%,(i =l,2,，)的向量构成的集合作成忆的一个子空间，称为的/=1和，表 示 为%+%,即：/+匕=a,a 叫=1,2,)。、i=l.(3)维数公式：设匕，匕是数域P上的线性空间修的两个有限维子空间，那么：di m化)+di m化)=di m化 +匕)+di m(匕 P l.)例 4.设P4 的两个子空间=(%,%),其 中%=(1,-1,0,1),a2=(1,0,2,3).W2=(x x2,x3,x4)e P4|x,+2X2-x4=0 ,求附+%与%C l%的基与维数。解：叫 恰
38、好 是 芯+22-=0的 解 空 间，于 是 须+2迎-=0的任 一 基 础 解 系 都 是 名 的 一 组 基.下 面 求%+2X2-x4=0的基础解系。由玉+2工2-彳4 =0,推 出%=玉+2工2，得到%+2%=。的一个基础解系也是名的一组基：B=(1,0,0,1)血=(0，1，0,2)次=(0,0,1,0)于是=L凡内,进而得/+%=L（a,%,力 血,用），%,a 2，四 血，凤 的任一极大线性无关组都是4+%的一组基。由于:-101 1a 210230;1001K0102代0010000701000010-11010、00_2,所以/,%,四，四 是a”。2，瓦，夕2，自 的一个极
39、大线性无关组，因此劣,火，以，夕2为 附+%的一组基，推出+%的维数为4 o任取y e幽0%，则有+x?%=少 血+乃夕2+外p3,得到齐次线性方程组：（a：,%,一 夕：,-/,-/）其一般解为：玉、x2%1巷=一 为“2），,其中乃为自由未知量，代入y f+工2%=,夕+”凤 中得:乂=0y2=5%7=-g为四+乃(。2四)=38(O，l，2,2)所以（0,1,2,2）为 D%的一组基，d im（小 口 吻）=1。例 5.(沈师 20 1 7 年，一，3)设有向量组a=(1,1,0,0),a2=(-l,0,l,0),a3=(l,0,0,l)；-=（1,0,2,3）,2=（1,-1,0,1）
40、.令=（%,%），%=2（4 血），求幽 D 典的维数，并求其一组基。解：任取了%1r|%，有：7 =X /+刀3。3 =*40+x$夕2，得齐次线性方程组:x.a,+x2a2+x3a3-x/、-x532-0（其系数矩阵为/=（%，%，-夕1，-夕2）=1-11-1-110001010-20001-3-1得：1 0 010-1110I 0 0 11 0 00 1 00 0 10 0 1$=0 x2=2X4x-3X4X5 =0 1、-1-1-2 010000 0 0 1、-1 1 -1-210-200 1 -3-1,0 0 0 0、10-200 1-3 00 0 0 1,七 为自由未知量，于是笈
41、，又夕尸o,可取任意数知笈 是 n%的一组基，小n%的维数为1.例4.（东 北 师 大20 1 3年，七，20 1 6年，6）设匕,匕都是数域尸上的线性空间P的有限维子空间，证明:d im%+d im%=d im（匕 +%）+d im（匕 C l%）。证 明：取 匕D七 的 一 组 基 四,名，,%,，扩 充 成 匕 的 一 组 基 因,见，生“，自，以，扩 充 成 七 的 一 组 基，九，则有：匕七（%,0（2,a”,0 i，,）,%=，（%,a?,，九）n 匕 +%=，（。”。2,丹设左四+kmam+h d+/,仇+%+u jx=0,就有：=左四+（“,+/+-+1仇=-i/i w 匕 n
42、 匕于是：一%-U JX=巧%+vma,n 巧因+乙+、=0 ,而4,%,a,”,九,人 为匕的一组 基，从 而 有 匕=%=%=%=0 ,代 人 左0 +kmam+/,/?!+,九=0中 得：%+-+kmam+/+/血=0 ,因冬乌,片，血 为 匕 的一组基，推出尢=3=勺=4=/,=0 ,因此风,必，以，%，九线性无关。综上可知四,四,月,，九 是 匕+%的一组基，推出d im（匕+4）=m +f+s，又d im匕=m+t,d imP；=m+s ,d im（匕|匕）=加，因此d im%+d i m%=d im（匕+%）+d im（%1%）。维数公式的应用：例6.（浙大20 0 6）设 匕,
43、%都是维线性空间忆的子空间，且有：匕三匕，匕n%=%n%,%+%=%+%,证明：匕=匕。证明：方法一：利用维数公式。因为匕，匕,火都是维线性空间忆的子空间，所以匕+%,%+%、匕都是有限维的，于是可用维数公式得：d im%=d im化+g +d im化 ng d imFF,d im%=d im化+%）+d im化 C l%）-d imW再由 q+=%+%ndi m（+%）=d im（%+%）,匕 fl%=/D%=d im（9 口岸）=d im（匕 C l 沙），得d i m q=d i m/,又匕1匕，推 出 匕=%。方法二：利用集合相等：任 取/e%,则夕=4+0%+%=匕+%,于 是 有
44、产 匕 口 匕 及。6印，使/=7+。，知a =/3-y V2,从而ae%n%=F,n%naeK，于是户=7 +。6匕，推 出 匕 匕，又匕口匕，因此匕=匕。例7.（北师大20 1 5年，5,1 0分，中科院20 1 6年，四，1 8分）设匕,匕都是线性空间忆的子空间，且d im（K +%）=d im（xn%）+l,证明：匕=/且 匕+匕=匕或/=匕 且 匕+匕=匕。证明：方 法1：取匕n%的一组基,%，,%，扩充成匕的一组基因,。2,，%，四，力，扩充成匕的一组基外,%,九，那么四,川,，月,人是匕+%的一组基，而因d im（X +%）=d im化 口匕）+1推出s +f=l,又s,f为非负
45、整数，因此有飞=0/=1或s =l,f=0,前者推出匕匕 且 匕+匕=匕，后者推出匕匕且匕+匕=匕，因此原命题成立。方法2：因 为 匕 口 匕=匕=匕+匕,匕0匕=匕=匕+匕，d im（K+%）=d im（匕0匕）+1,所以：d im化 fl%）W d im 匕 W d im化 +匕）=d im化 0%）+1,d im化 口 匕）W d im/W d im（q +%）=d im 化 n 七）+1nOW di m%d im（匕C l匕）V I,0-d i m%-d i m（匕fl武）V I=出!1 1匕一比1化1匕）=0或1,d im匕一d im（匕C l匕）=0或1当d i m q d im化
46、C l%）=0时，有d im%=d im（匕0%），又 匕 口 匕=匕，因此此时：匕仆%=匕=匕1匕=%=匕+%即:当d im匕一d im（%n匕）=0时 有 匕 之 匕 且 匕+匕=%。当d imq-d im（?n%）=l时，有d im%=d im（匕0匕）+1 =d im（匕+%）,又 匕=匕+匕，于是此时有匕=匕+匕=匕 工 匕即：当d im匕一d im（匕A匕）=1时有匕U匕且匕+%=匕。于是：由d im%d im（匕口匕）=0或1可 推 出 匕=匕 且 匕+%=匕 或 匕=匕 且 匕+%=匕。同理由由1 1 1%-比1 1 1化0%）=0或1可 推 出 匕=匕 且 匕+匕=匕 或 匕
47、=匕 且 匕+匕=匕。综上可知命题成立。例8.设4 5都是阶方阵，且r（/）+r（6），证明：Z x =0与&=0有公共的非零解，同时4 6有公共的特征值。证明：设匕，匕分别是4r =0与&=0的解空间，只需证明d im（匕0%）0即可。由维数公式知d im(匕 n%)=d im9 +d i m%d im(匕+匕)，而因d im%=一 尸(7),d im%=一 尸(5),所以:d im化 0%)=(尸(，)+(d im化 +%)=(一(r(，)+尸(8)+(-d im化 +%)又因r(/)+尸()(7(4)+r(5)0,都是阶方阵，匕,匕分别是4r =0与麻=0的解空间，所以：匕+匕P n d
48、 i m(q+%)W d i m P =一d i m化+%)2 0因此d i m(匕0%)0 =存在0#aw匕门右，知a是4 c =0与6 x=0公共的非零解，于是Z a =0 a =0,6 a =0 a =0,知0是46的公共的特征值。总结：设%是数域尸上的线性空间，a、,a.，BM，伏 S,贝h1)L(al,a2,-,as)s p a n(ai,a2,-,as)=kia+k2a2+-+ksas；2)A m L ax,a2,-,a =ava2,-,as 的秩；3)“a”%，a.J+(以 遇，力)=a”，夕”2,，力)。线性空间的分解：例9.(吉大2 0 1 5年，5)设厂是“阶实矩阵构成的向
49、量空间，令T表示对角线元素之和等于0的阶实矩阵构成的集(1)证明T是P的子空间；(2)证明忆=T +S,其中S表示阶实纯量矩阵构成的子空间(其实P =TS)。&九心、证明：（2）T=/eKW（/）=0,S=a E“|a e R。任取5=?:e P ,设:也 bi b“a2a En GS ,于是有Q ER,且:工 册=0=%+（i =1,2,，拉=b _ a（i =l,2 j.,）n 电 -。）=0 =a =!邙“i=z=l进而有：%.=与 一Z d(i =L 2,，)。于是:4%篇、21 b?2 b2 n也 l 2 2 bnn)1 ”-儿 生1 h2X b2 2 ,=lbn 说r 1 n,4=
50、-Y b,En,则4 e T,4 eS,于是n i=l)KcT+S,而T,S都是厂的子空间，得T +S P,所以忆=T +S。6.子空间的直和（1）直和的定义及等价条件1）直和的定义：设 匕，是线性空间P的两个子空间，如果匕+%中每个向量a的分解式&=%+。2,因e匕，%G%是唯一的，这个和就称为直和，记为匕匕。（分解式唯一指的是：若还有。=以+四，匕，片e七,则必有B =a、,Bi 七）。2）直和的等价条件：设匕，匕是线性空间忆的子空间，那么下列条件等价。匕+七 是直和；等 式4+%=0,%匕 =1,2）只有在“全为零向量时才成立，即修的零向量的分解式唯一;匕n%=。；（4）d i m（匕+