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1、第六章第六章 线性空间线性空间1 1 集合映射集合映射一一 授课内容授课内容:1 集合映射二二 教学目的：教学目的：通过本节的学习，掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三三 教学重点教学重点:集合映射的有关定义.四四 教学难点教学难点:集合映射的有关定义.五五 教学过程：教学过程：1 1。集合的运算。集合的运算,集合的映射集合的映射(像与原像、单射、满射、双射像与原像、单射、满射、双射)的概念的概念定义定义:（集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集交集,记作；把和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为与的并并集集,记做;从集合中去掉属于的那些元素之后剩
2、下的元素组成的集合成为与 B 的差集差集，记做。定义定义:（集合的映射)设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做)，则称是到的一个映射映射，记为如果,则称为在下的像像,称为在下的原像原像.的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像像，记做，即。若都有 则称为单射单射.若 都存在,使得，则称为满射满射.如果既是单射又是满射,则称为双射双射，或称一一对应一一对应。2 2。求和号与求积号。求和号与求积号（1 1）求和号与乘积号的定义）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域上个数,我们使用如下记号：,.当然也可以写成,
3、。(2(2）求和号的性质）求和号的性质容易证明，,，.事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。2 2 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质一一 授课内容：授课内容：2 线性空间的定义与简单性质二二 教学目的：教学目的：通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三三 教学重点教学重点:线性空间的定义与简单性质.四四 教学难点教学难点:线性空间的定义与简单性质。五五 教学过程：教学过程：1 1。线性空间的定义。线性空间的定义(1(1）定义）定义 4.14.1（线性空间)设 V 是一个非空集合，且 V 上有一个二元运算“+,又设 K
4、为数域,V 中的元素与 K 中的元素有运算数量乘法“”，且“+与“”满足如下性质:1、加法交换律 ,有；2、加法结合律，有；3、存在“零元”,即存在,使得；4、存在负元,即,存在，使得；5、“1 律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有;8、分配律，都有,则称 V 为 K 上的一个线性空间线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量向量.注意：线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合 V 有关。(2(2）零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义）零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义,线性空间的加法和线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质
5、命题命题 4 4。1 1零元素唯一，任意元素的负元素唯一.证明：设与均是零元素,则由零元素的性质,有;,设都是的负向量,则，于是命题得证。由于负向量唯一,我们用代表的负向量。定义定义 4.24.2(减法)我们定义二元运算减法“-如下:定义为.命题命题 4 4。2 2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质：1、加法满足消去律；2、可移项；3、可以消因子且,则；4、.(3(3）线性空间的例子）线性空间的例子例例 4 4。1 1 令 V 表示在上可微的函数所构成的集合,令,V 中加法的定义就是函数的加法，关于 K 的数乘就是实数遇函数的乘法，V 构成 K 上的线性空间。4.1.24.1.2 线性空间中
6、线性组合和线性表出的定义，线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩向量组的秩,向量组的线性等价；向量组的线性等价；极大线性极大线性无关组无关组.定义定义 4 4。3 3(线性组合)给定 V 内一个向量组,又给定数域 K 内 s 个数,称为向量组的一个线性组合线性组合.定义定义 4 4。4 4（线性表出)给定 V 内一个向量组,设是 V 内的一个向量,如果存在 K 内 s 个数，使得,则称向量可以被向量组线性表出线性表出。定义定义 4.54.5（向量组的线性相关与线性无关）给定 V 内一个向量组,如果
7、对 V 内某一个向量,存在数域 K 内不全为零的数，使得,则称向量组线性线性相关相关；若由方程必定推出，则称向量组线性无关线性无关.命题命题 4.34.3设，则下述两条等价：1)线性相关;2)某个可被其余向量线性表示。证明同向量空间。定义定义 4.64.6(线性等价)给定 V 内两个向量组（),（）,如果(）中任一向量都能被()线性表示,反过来，()中任一向量都能被（)线性表示,则称两向量组线性等价线性等价。定义定义 4 4。7 7(极大线性无关部分组)给定 V 内一个向量组，如果它有一个部分组满足如下条件:（i)、线性无关；(ii)、原向量组中任一向量都能被线性表示，则称此部分组为原向量组的
8、一个极大线性无关部分组极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义定义 4.84.8(向量组的秩）一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩秩.例例 4.24.2 求证：向量组的秩等于 2(其中）.证明：方法一：证明：方法一：设R，满足，则,假若不全为零,不妨设,则有，而由于,等号左边为严格单调函数，矛盾于等号右边为常数。于是。所以线性无关,向量组的秩等于 2。证毕。方法二方法二:若在上,两端求导数,得,以代入，有而,于是.证毕.3 3 维数、基与坐标
9、维数、基与坐标一一 授课内容：授课内容：3 维数、基与坐标二二 教学目的教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三三 教学重点：教学重点：基与维数、向量坐标的有关定义.四四 教学难点教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义。五五 教学过程：教学过程：1.1.线性空间的基与维数线性空间的基与维数,向量的坐标向量的坐标设 V 是数域 K 上的线性空间，则有:定义定义 4 4。9 9(基和维数）如果在 V 中存在 n 个向量,满足：1)线性无关；2)V 中任一向量在 K 上可表成的线性组合,则称为 V 的一组基基.基即是 V 的一个极大线性无关部分组。基的个数定义
10、为线性空间的维维数数。命题命题 4 4。4 4设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间,而.若 V 中任一向量皆可被线性表出,则是 V 的一组基。证明证明:由与 V 的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题命题 4.54.5设 V 为 K 上的 n 维线性空间，,则下述两条等价:1）线性无关;2）V 中任一向量可被线性表出。定义定义 4.104.10（向量的坐标）设 V 为 K 上的 n 维线性空间,是它的一组基.任给,由命题 4。4,可唯一表示为的线性组合,即，使得,于是我们称为在基下的坐标坐标。易见，在某组基下的坐标与 V/K 中的向量是一一对应的关系.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐
11、标变换一一 授课内容：授课内容：4 基变换与坐标变换二二 教学目的教学目的:通过本节的学习，掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式.三三 教学重点教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式。四四 教学难点教学难点:坐标变换公式的应用。五五 教学过程教学过程:1.1.线性空间的基变换线性空间的基变换,基的过渡矩阵基的过渡矩阵设 V/K 是 n 维线性空间,设和是两组基,且将其写成矩阵形式。定义定义 4.114.11我们称矩阵为从到的过渡矩阵过渡矩阵。命题命题 4.64.6设在 n 维线性空间 V/K 中给定一组基.T 是 K 上一个 n 阶方阵.命则有是 V/K 的一组基，当且
12、仅当 T 可逆.证明证明:若是线性空间 V/K 的一组基，则线性无关.考察同构映射，构造方程，其中,，线性无关.构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；反过来,若过渡矩阵可逆，则构造方程，其中，两边用作用,得到，.证毕。2.向量的坐标变换公式向量的坐标变换公式;中的两组基的过渡矩阵中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式设 V/K 有两组基为和，又设在下的坐标为，即,在下的坐标为,即。现在设两组基之间的过渡矩阵为 T，即记,于是.于是，由坐标的唯一性，可以知道,这就是坐标变换公式坐标变换公式。(2)中两组基的过渡矩阵的求法我们设中两组基分别为和而按定义,T 的第 i 个列向量分别是在基下
13、的坐标。将和看作列向量分别排成矩阵；，则有,将 A 和 B 拼成分块矩阵，利用初等行变换将左边矩阵 A 化为单位矩阵 E，则右边出来的就是过渡矩阵 T,示意如下:。5 5线性子空间线性子空间一一 授课内容授课内容:5 线性子空间二二 教学目的：教学目的：通过本节的学习，掌握线性子空间的定义、判别定理。三三 教学重点教学重点:线性子空间的定义、判别定理。四四 教学难点：教学难点：线性子空间的判别定理。五五 教学过程：教学过程：1 1。线性空间的子空间的定义。线性空间的子空间的定义定义定义 4 4。1212(子空间）设 V 是数域 K 上的一个线性空间,M 时 V 的一个非空子集.如果 M 关于
14、V 内的加法与数乘运算也组成数域 K 上的一个线性空间,则称为 V 的一个子空间子空间.命题命题 4 4。7 7设 V 是 K 上的线性空间，又设一个非空集合，则是子空间当且仅当下述两条成立:i）对减法封闭;ii）对于 K 中元素作数乘封闭.证明：证明：必要性由定义直接得出;充分性：各运算律在 V 中已有,所以 W 满足运算律的条件。只需要证明且对于任意，且对加法封闭即可。事实上，由于关于数乘封闭,则；，于是对于，,W 关于加法封闭.于是W 是 V 的一个子空间.证毕。事实上,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论。命题命题 4.84.8设 W 是 V 的一个有限维子空间，则W 的任一组基可
15、以扩充为 V 的一组基.证明：证明：设,，若，则命题为真；若，对作归纳：设为W 的一组基，取,则线性无关。于是令,易见，W是 V 的一个子空间，且,此时,对其用归纳假设即可。6 6 子空间的交与和子空间的交与和一一 授课内容授课内容:6 子空间的交与和二二 教学目的：教学目的：通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式。三三 教学重点：教学重点：子空间的交与和的定义及维数公式。四四 教学难点：教学难点：子空间的交与和的性质及维数公式。.五五 教学过程：教学过程：1.1.子空间的交与和，生成元集子空间的交与和，生成元集定义定义 4 4。1313设,则是 V 的一个子空间，称为由生成
16、的子空间生成的子空间,记为.易见，生成的子空间的维数等于的秩。定义定义 4 4。1414（子空间的交与和)设为线性空间 V/K 的子空间，定义,称为子空间的交交;,称为子空间的和和.命题命题 4.94.9 和都是 V 的子空间.证明：证明：由命题 4。7,只需要证明和关于加法与数乘封闭即可。事实上,则，.由于均是 V 的子空间，则，于是,关于加法封闭；，于是，关于数乘封闭。,则由的定义,，使得，而,则，关于加法封闭;,使得,由于,则，关于数乘封闭。证毕。命题命题 4.104.10 设是 V 的子空间，则和均为 V 的子空间.2 2。维数公式。维数公式。定理定理 4.14.1设 V 为有限维线性
17、空间,为子空间,则。这个定理中的公式被称为维数公式维数公式.证明：证明：设,，,取的一组基(若=0，则，基为空集），将此基分别扩充为的基，只需要证明是的一组基即可.首先,易见中的任一向量都可以被线性表出。事实上,则，其中，而于是可被线性表出。只要再证明向量组线性无关即可。设，其中.则()于是,于是,记为.则可被线性表示,设，代入(*），有,由于是的一组基,所以线性无关,则,代回(*）,又有,于是向量组线性无关.证毕.推论推论 2.12.1设都是有限为线性空间 V 的子空间，则:.证明：证明：对 t 作归纳。7 7 子空间的直和子空间的直和一一 授课内容：授课内容：7 子空间的直和二二 教学目的
18、教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质。三三 教学重点教学重点:子空间的直和的四个等价定义。四四 教学难点：教学难点：子空间的直和的四个等价定义.五五 教学过程：教学过程：1 1。子空间的直和与直和的四个等价定义。子空间的直和与直和的四个等价定义定义定义 设 V 是数域 K 上的线性空间，是 V 的有限为子空间。若对于中任一向量,表达式。是唯一的,则称为直和直和，记为或.定理定理 设为数域 K 上的线性空间 V 上的有限为子空间，则下述四条等价：1)是直和；2)零向量表示法唯一；3）;4)。证明：显然.设则。由 2）知，零向量的表示法唯一，于是,即的表示法唯一。由直和的
19、定义可知，是直和.假若存在某个,使得，则存在向量且,于是存在,使得。由线性空间的定义，则，与零向量的表示法唯一矛盾，于是。若 2）不真，则有，其中且.于是,与 3）矛盾，于是 2)成立.对 m 作归纳。=2 时,由维数公式得到.设已证，则对于，而,都有;由归纳假设，可以得到.,都有，于是.证毕。推论推论设为 V 的有限维子空间,则下述四条等价:i）是直和;ii）零向量的表示法唯一；iii）；iv).2.2.直和因子的基与直和的基直和因子的基与直和的基命题命题 设，则的基的并集为 V 的一组基.证明证明:设是的一组基，则 V 中任一向量可被线性表出.又，由命题 4。5,它们线性无关，于是它们是
20、V 的一组基。证毕。3.3.补空间的定义及存在性补空间的定义及存在性定义定义设为 V 的子空间，若子空间满足,则称为的补空间。命题命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间。证明证明:设为 K 上的n为线性空间 V 的非平凡子空间,取的一组基,将其扩为 V 的一组基取,则有,且,于是,即是的补空间。证毕.8 8 线性空间的同构线性空间的同构一一 授课内容授课内容:1 线性空间的同构二二 教学目的教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定。三三 教学重点：教学重点：线性空间同构的判定。四四 教学难点：教学难点：线性空间同构的判定.五五 教学过程教学过程:1.1
21、.线性映射的定义线性映射的定义定义定义设为数域上的线性空间，为映射,且满足以下两个条件：i)；ii），则称为(由到的）线性映射线性映射.由数域上的线性空间到的线性映射的全体记为 Hom,或简记为 Hom.定义中的 i)和 ii）二条件可用下述一条代替:。例例是上的线性空间，也是上线性空间，取定一个上的矩阵，定义映射则是由到的线性映射.例例 考虑区间上连续函数的全体,它是 R 上的线性空间，令再令则是由到的一个线性映射.定义定义 设是线性映射i)如果是单射,则称是单线性映射单线性映射(monomorphism(monomorphism）;ii）如果是满射,则称是满线性映射（满线性映射（endmo
22、rphism)endmorphism);iii）如果既单且满，则称为 同构映射同构映射(简称为同构,isomorphism)，并说与是同构的,同构映射也称为线性空间的同态同态（homomorphismhomomorphism），同构映射的逆映射也是同构映射;iv)的核核(kernel)(kernel)定义为；v)的像像(image(image）定义为，也记为；命题命题和是的子空间。证明：证明：容易证明它们关于加法和数乘封闭。vi)的余核定义为。命题命题 线性映射是单的当且仅当 ker,是满的当且仅当 coker.定理定理（同态基本定理)设是数域上的线性空间的满线性映射,则映射是同构映射.证明：证明：首先证明是映射,即若，则。由于，存在,使得.于是，即。再证明是线性映射.,，有。易见是满射,且有.只要再证明是单射即可,即证明。设,则,于是，即有。证毕。命题命题 设是线性映射，,则下述三条等价:i)单；ii)将中任意线性无关组映为中的线性无关组；iii）.证明：证明：i）ii）若线性无关，则令，由线性映射的定义,。单,于是,则，ii)成立;ii)iii)若取的一组基，则由已知,线性无关，而中任意向量可以被线性表出，于是构成的一组基，iii)成立；iii）i）由同态基本定理知,于是,即有.证毕.