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1、关注公众号：数学货 绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学数学 本试卷分为第本试卷分为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，卷（非选择题）两部分，共共 150 分，分，考试用时考试用时 120 分分钟第钟第卷卷 1 至至 3 页，第页，第卷卷 4 至至 6 页页 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结
2、粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！第第 I 卷卷 注意事项：注意事项：1每小题选出答案后每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动如需改动，用橡皮擦干用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号净后，再选涂其他答案标号 2本卷共本卷共 9 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 45 分分 参考公式：参考公式：如果事件如果事件与事件与事件互斥，那么互斥，那么 如果事件如果事件与事件与事件相互独
3、立，那么相互独立，那么 球的表面积公式球的表面积公式，其中，其中表示球的半径表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.AB()()()P ABP AP BAB()()()P ABP A P B24SRR 3,2,1,0,1,2,3U 1,0,1,2,3,0,2,3AB UAB
4、 3,30,2 1,1 3,2,1,1,3U2,1,1B U1,1AB 关注公众号：数学货 2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3.函数的图象大致为（）A B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详
5、解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项 CD 错误；当时，选项 B 错误.aR1a 2aa2aa1a 0a 1a 2aa241xyx 241xfxf xx f x1x 4201 1y 关注公众号：数学货 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项 4.从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位：），将所得数据分为 9 组：，并整理得到如下
6、频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（）A.10 B.18 C.20 D.36【答案】B【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，则区间内零件的个数为：.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.5.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】mm5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47,5.47,5.495.43,5.47)5.43,5.475.43,5.476.
7、255.000.020.2255.43,5.4780 0.225182 3122436144关注公众号：数学货 求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接
8、圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；2222 32 32
9、 332R2244336SR0.80.70.713,log0.83abc,a b cabcbacbcacab,a b c0.731a 0.80.80.71333ba0.70.7log0.8log0.71c 1cab xya1a 01alogayx1a 01a关注公众号：数学货（3）借助于中间值，例如：0 或 1 等.7.设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为 若的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线的焦点可求得直线 的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程【详解】
10、由题可知，抛物线的焦点为，所以直线 的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，因为，解得 故选：【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题 8.已知函数给出下列结论：的最小正周期为；是的最大值；把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 其中所有正确结论的序号是 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.C22221(0,0)xyabab24yx(0,)blCllC22144xy2214yx 2214xy221xy1,0l1yxbbbyxa bba 1bba ,
11、a b1,0l1yxbbbyxa bba 1bba 0,0ab1,1abD()sin3f xx()f x22f()f xsinyx3()yf x关注公众号：数学货【详解】因为，所以周期，故正确；，故不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9.已知函数若函数恰有 4 个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有 4 个零点，只
12、需方程恰有 3 个实根 即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图 1，与有个不同交点，不满足题意；()sin()3f xx22T51()sin()sin122362fsinyx3sin()3yx3,0,(),0.xxf xxx2()()2()g xf xkxxkRk1,(2 2,)2 1,(0,2 2)2(,0)(0,2 2)(,0)(2 2,)(0)0g|2|ykx()()|f xh xx30,0,0kkk(0)0g()g x()|2|f xkxx()h x()|f xx|2|ykx()()|f xh xx32,0()()1,0 xxf xh xxx0k 2y 2y()()|
13、f xh xx2关注公众号：数学货 当时，如图 2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图 3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学数学 第第卷卷 注意事项：注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2本卷共本卷共 11 小题，小题，共共 105 分分 二、二、填空题填空题：本大题共本大题
14、共 6 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 30 分试题中包含两个空的，分试题中包含两个空的，答对答对 1 个的给个的给k0|2|ykx()()|f xh xx30k 2ykx2yx=220 xkx0 280k 2 2k 2 2k k(,0)(2 2,)关注公众号：数学货 3 分，分，全部答对的给全部答对的给 5 分分 10.是虚数单位，复数_【答案】【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11.在的展开式中，的系数是_【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数
15、为 2，即可求出【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得 所以的系数为 故答案为：【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题 12.已知直线和圆相交于两点 若，则的值为_ 【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得 i82ii32i82815 10322225iiiiiiii32i522xx2xx522xx55 31552220,1,2,3,4,5rrrrrrrTC xCxrx532r1r 2x15210C 10380 xy222(0)xyrr,A B|6AB rd22|2ABrdr关注公众
16、号：数学货【详解】因为圆心到直线的距离，由可得，解得 故答案为：【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_【答案】(1).(2).【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙
17、两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.14.已知，且，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.的0,0380 xy841 3d 22|2ABrd22624r=5r5121316231 1,2 3111236111(1)(1)2332316230,0ab1ab 11822abab82abab关注公众号：数学货【详解】，,，当且仅当=4 时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基
18、础题.15.如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_ 【答案】(1).(2).【解析】【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，的0,0,0abab 1ab 11882222abababababab882422ababababab1ab 23,23ab23,23ab4ABCD60,3BAB6BC 3,2ADBCAD AB ,M NBC|1MN DM D
19、N 16132120BADBBCx,0M x1,0N x05xDM DN xDM DN ADBC/AD BC180120BADBcos120AB ADBC ABBCAB 1363922 16BBCxxBy关注公众号：数学货 ,，的坐标为,又,则，设，则（其中），所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 5 小题，小题，共共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.在中，角所对的边分别为已知（）求角的大小；
20、（）求的值；（）求的值【答案】（）；（）；（）.【解析】【分析】66,0BCC，3,60ABABCA3 3 3,22A16ADBC 5 3 3,22D,0M x1,0N x05x53 3,22DMx 33 3,22DNx222533 321134222222DM DNxxxxx 2x DM DN 13216132ABC,A B C,a b c2 2,5,13abcCsin Asin24A4C=2 13sin13A 17 2sin 2426A关注公众号：数学货（）直接利用余弦定理运算即可；（）由（）及正弦定理即可得到答案；（）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（）在中，
21、由及余弦定理得，又因为，所以；（）在中，由，及正弦定理，可得；（）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点 sin,cos,AAsin2,cos2AAABC2 2,5,13abc222825 132cos2222 25abcCab(0,)C4C=ABC4C=2 2,13ac22 2sin2sin13aCAc2 1313acA2 13sin13A 2cos1sinAA3 13132125sin22sincos,cos22cos
22、11313AAAAA 12252sin(2)sin2 coscos2 sin444132132AAA17 226111ABCABC1CC,2ABC ACBC ACBC13CC,DE1AA1CC12,ADCEM11AB关注公众号：数学货 （）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）；（）.【解析】【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.（）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（）利用空间向量
23、法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】依题意，以为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），11C MB D1BB EDAB1DB E30633C1,CA CB CC xyz1C M1B D 110C M B D 11C MB D1BB ECA 1B EDn1BB EDAB1DB ECCA CB 1CC xyz关注公众号：数学货 可得、.（）依题意，从而，所以；（）依题意，是平面的一个法向量，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，所以，二面角的正弦值为；（）依题意，由（）知为平面的一个法向量，于是0,0,0C2,0,0A0,2,0B10,0,3C12,0,3A1
24、0,2,3B2,0,1D0,0,2E1,1,3M11,1,0C M 12,2,2B D 112200C M B D 11C MB D2,0,0CA 1BB E10,2,1EB 2,0,1ED ,nx y z1DB E100n EBn ED 2020yzxz1x 1,1,2n 26cos,626CCA nACnA n 230sin,1 cos,6CA nCA n 1BB ED3062,2,0AB 1,1,2n 1DB E关注公众号：数学货 所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知椭圆的一
25、个顶点为，右焦点为，且，其中为原点（）求椭圆方程；（）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点求直线的方程【答案】（）；（），或【解析】【分析】（）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；（）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.【详解】（）椭圆的一个顶点为，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，的43cos,32 26AB nAB nABn AB1DB E33
26、22221(0)xyabab(0,3)AF|OAOFOC3OCOF BBABCPPABAB221189xy132yx3yx222abcCPABABBPCPABAB222210 xyabab0,3A3b OAOF3cb222abc2228313a 221189xyABCPCPABABCPABkAB3ykx+=3ykx关注公众号：数学货，消去，可得，解得或.将代入，得，所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，所以，直线的斜率为，又因为，所以，整理得，解得或.所以，直线的方程为或.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系
27、、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.19.已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和【答案】（），；（）证明见解析；（）.2231189ykxxyy2221120kxkx0 x 21221kxk21221kxk3ykx222126321213kykkkkB2221263,21 21kkkkPABA0,3P2263,21 21kkk3OCOF C1,0CP222303216261121CPkkkkkkCPAB23
28、1261kkk 22310kk 12k 1k AB132yx3yx na nb115435431,5,4abaaabbb na nb nannS2*21nnnS SSnNn21132,.nnnnnnnabna acanb为奇数为偶数 nc2nnan12nnb4654219 49nnnn关注公众号：数学货【解析】【分析】()由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；()利用()的结论首先求得数列前 n 项和，然后利用作差法证明即可；()分类讨论 n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前 2n 项和
29、即可.【详解】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为 q.由，可得 d=1.从而的通项公式为.由，又 q0，可得，解得 q=2，从而的通项公式为.()证明：由()可得，故，从而，所以.()当 n奇数时，当 n 为偶数时，对任意的正整数 n，有，和 为 na211nkkc21nkkc nc nad nb11a 5435aaa nanan15431,4bbbb2440qq nb12nnb(1)2nn nS21(1)(2)(3)4nnS Sn nnn 22211124nSnn2211(1)(2)02nnnS SSnn 221nnnS SS111232(32)222(2)2nnnnnnnnabnca
30、 an nnn1112nnnnancb222221112221212121kknnnkkkckkn223111211352321444444nnkknnkkknnc关注公众号：数学货 由得 由得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前 2n 项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.20.已知函数，为的导函数（）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意的，且，有【答案】（）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（）证明见解析.【解析】【分析】()(i)首先求得导函数的解析式，然后结合
31、导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；22314111352321444444nknnknnc22111211312221121441444444414nnknnnknnc11211121221121156544144334444123 414nnnnnnnn2156599 4nknknc22121114654219 49nnnnkkknkkkncccn nc4654219 49nnnn3()ln()f xxkx kR()fx()f x6k()yf x(1,(1)f9()()()g xf xfxx3k12,1,)
32、xx 12xx1212122fxfxf xf xxx98yx()g x(1)1g gx关注公众号：数学货（）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】()(i)当 k=6 时，.可得，所以曲线在点处的切线方程为，即.(ii)依题意，.从而可得，整理可得：，令，解得.当 x 变化时，的变化情况如下表：单调递减 极小值 单调递增 所以，函数 g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+)；g(x)的极小值为 g(1)=1，无极大值.（）证明：由，得.对任意的，且，令，则 12xtxt 36lnf xxx
33、263fxxx 11f 19f yf x 1,1f191yx 98yx 32336ln,0,g xxxxxx 226336gxxxxx323(1)(1)()xxg xx 0gx 1x ,gxg xx()0,11x()1,+gx0 g x3()lnf xxkx2()3kfxxx12,1,)xx 12xx12(1)xttx 1212122xxfxfxf xf x22331121212122332lnxkkxxxxxxkxxx关注公众号：数学货 .令.当 x1 时，由此可得在单调递增，所以当 t1 时，即.因为，所以.由()(ii)可知，当时，即，故 由可得.所以，当时，任意的，且，有.【点睛】导数
34、是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用 3322121121212212332 lnxxxxxx xx xkkxxx332213312lnxtttk ttt 1()2ln,1,)h xxxxx22121()110h xxxx h x1,1h th12ln0ttt 21x 323331(1)0tttt 3k 332322113312ln33132lnxtttk ttttttttt32336ln1tttt1t 1g tg32336ln1tttt32336ln10tttt 12121220 xxfxfxf xf x3k 12,1,x x 12xx1212122fxfxf xf xxx关注公众号：数学货