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1、2021年北京市燕山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本题共16分，每小题2 分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1 .（2分）北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活.生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器.下面图标标识，可以看作轴对称图形的有（）X 厨余垃圾 可回垃圾A.1 个 B.2个X 公有害垃圾 其他垃圾C.3个 D.4个【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.【解答】解：厨余垃圾、有害垃圾的图标标识可以看作轴对称图形,故选：B.【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁
2、的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.2 .（2分）2 0 2 0 年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜 利.经 过 8年持续奋斗，现行标准下近1 0 0 0 0 0 0 0 0 农村贫困人口全部脱贫，8 3 2 个贫困县全部摘帽，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到历史性解决，书写了人类减贫史上的奇迹，将 1（X）0 0 0 0 0 0 用科学记数法表示为（）A.l.O x l O6B.l.O x l O7C.l.O x l O8D.l.O x l O9【分析】科学记数法的表示形式为a x l O 的形式，其中L,|1 0，为整数.确
3、定的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值.1 0 时，是正整数；当原数的绝对值 1 时，是负整数.【解答】解：1 0 0 0 0 0 0 0 0 =9 8 9 9 0 0 0 0 =1.0 x 1 0s,故选：C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a x l O 的形式，其中1|4/|3（x-1）18.（5 分）解不等式组：x+53x-I2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.【解答】解：解不等式2x+53（x-l）,得：x 虫，得：x
4、 l,2则不等式组的解集为l x 8.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟 知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.19.（5 分）己知，w +2=逐，求代数式（4+2）+，的值.m-2n m 4n【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可.【解答】解：原式+型出)+,加,m-2n m-2n tn-4/r2/n(/n+2n)(m-2n)=-x-m 2ntn=2(m+2n)，当机+2”=括 时，原式=2逐.【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.20.（5 分）已知：如 图
5、1,在 A/WC中，ZC4B=6 0 .求作：射线C P,使得CP/AB.下面是小明设计的尺规作图过程.作法：如图2,以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC,AB于。，E两点;以点C 为圆心，4）长为半径作弧，交 AC 的延长线于点F；以点P 为圆心，3 E 长为半径作弧，两弧在NFCS内部交于点P；作射线C P.所以射线CP就是所求作的射线.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接FP,DE.：CF=AD,CP=AE,F P=D E.：.M DE/_CFP.-.ZDAEZ,:.CP/AB（）（填推理的依据）.图1图2【
6、分析】（1）根据要求作出图形即可.（2）利用全等三角形的性质证明即可.【解答】解：（1）如图，射线CP即为所求作.图1图2（2）连接 FP,DE.CF=AD,CP=AE,FP=DE.:.ADE=CFP,.-.ZDAE=ZFCP,:.CP/AB（同位角相等两直线平行）.故答案为：CFP,F C P,同位角相等两直线平行.【点评】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.21.（5分）己知，关于x的一元二次方程2+如一”一1=0.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求 a的取值范围.【分析】（1）求
7、出方程的判别式的值，利用配方法得出.（）,根据判别式的意义即可证明；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出-a-L,0,解不等式求得a的取值范围即可.【解答】（1）证明：.-=a2-4 x（-a-l）=（a +2）2.O ,无论 为何值，方程总有两个实数根；（2）.方程有一个根是负数，-a L,0，解得，.a的取值范围为a.T.【点评】本题考查了一元二次方程以2+灰+。=0 根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Z s 。方程有两个不相等的实数根；（2）二。0 方程有两个相等的实数根；（3）（）=方程没有实数根；（4）xl+x2=-,4*,=.a a2 2.（5分）利用初中阶
8、段我们学习函数知识的方法探究一下形如y =*3 的函数：（1）由表达式y =3,得出函数自变量x 的取值范围是 任 意 实 数；（2）由表达式y =d还可以分析出，当x.o 时，y.0,y随x 增大而增大；当x 0 时，y 0,y随x 增 大 而.（3）如图中画出了函数），=/（0）的图象，请你画出x 0 时的图象；（4）根据图象，再写出y =的一条性质.【分析】(1)由表达式y =V,根据立方的定义得出函数自变量x的取值范围是任意实数;(2)由表达式y =V分析即可求解；(3)根据函数图象的画法描点，连线即可得x 0时的图象；(4)观察图象可得图象关于原点对称.【解答】解：(1)由表达式y
9、=d,得出函数自变量x的取值范围是任意实数,故答案为：任意实数；(2)由表达式y =d还可以分析出，当时，y 0,y随x增大而增大.故答案为：,增大；(3)画出x 0时的图象如图:(4)观察图象可得：y=V 的一条性质：图象关于原点对称.故答案为：图象关于原点对称.【点评】本题综合考查了函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键.23.(6 分)2020年新冠肺炎疫情发生以来，中国人民风雨同舟、众志成城，构筑起疫情防控的坚固防线，集中体现了中国人民万众一心同甘共苦的团结伟力我市广大党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战.其中，A 社 区 有 5 0 0 名党员，为了
10、解本社区2 月-3 月期间党员参加应急执勤的情况，A 社区针对执勤的次数随机抽取5 0 名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.应急执勤次数的频数分布表次数X/次频数频率0 x1080.16lQ,x20100.2020 x3016b3Q,x40120.2440 x 50a0.08其中，应急执勤次数在1(),x 2 0 这一组的数据是：10,10,11,12,c,16,16,17,19,1 9,其中位数是15.请根据所给信息，解答下列问题：(1)a=4 ，b=,c=；(2)请补全频数分布直方图；(3)参加应急执勤次数最多的组是%；(4)请估计2月 3月期间A社区党员参
11、加应急执勤的次数不低于3 0 次的约有 人.应急执勤次数的频数分布直方图【分析】(1)根据题意和频数分布表中的数据，可以得到、6的值，再根据在l Q,x 2 0 这一组的数据是：1 0,1 0,1 1,1 2,c,1 6,1 6,1 7,1 9,1 9,其中位数是1 5,可以得到c的值；(2)根 据(1)中a的值，即可将频数分布直方图补充完整；(3)根据直方图中的数据，可以写出加应急执勤次数最多的组是哪一组；(4)根据统计图中的数据，可以计算出2月 3月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于 3 0 次的人数.【解答】解：(1)4 =5 0 x 0.0 8 =4,6=1 6+5 0 =0.3
12、2,.在 1 0,x 2 0 这一组的数据是：1 0,1 0,1 1,1 2,c,1 6,1 6,1 7,1 9,1 9,其中位数是1 5,(c +1 6)+2 =1 5,解得c =1 4 ,故答案为:4,0.3 2,1 4；(2)由(1)知，a=4,补全的频数分布直方图如右图所示;(3)由直方图可得，参加应急执勤次数最多的组是2 0 x 于点G ,由角平分线的性质得出MG=MC.由三角函数定义得出 B C =4,sin Z A C B =sin ZDBC.,C M =M G =x,则 3M=4 x,在 R t A B M G 中，由三角函数定义即可得出答案.【解答】证明：（1）.四边形A88
13、是平行四边形，:.AC=2AO,BD=2BO./AO-BO，:.AC=BD.为矩形.(2)过点M作于点G,如图所示:四边形/W S是矩形，.ZDCB=90f.CM CDf DM为ZBDC的角平分线，:.MG=CM.,;OB=OC,ZACB=ZDBC.3 .A3=3,tan ZDC=-,43 ABtan ZACB=tan Z.DBC=.4BC.BC=4.AC=BD=BC2+CD-=732+42=5,sin ZACB=sin ZDBC=-=AC 5T&CM=MG=X,贝IJBA7=4-x,在 ABMG 中，ZSGM=90,x 3.sin NDBC=-=-.4-x 5解得：x=3,23.CM 二 一
14、.2【点评】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识;熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键.2 5.(6分)如 图，A B是口。的直径，A C是口0的弦，点。平分劣弧BC,连接过点。作A C的垂线所，交A C的延长线于点E,交他的延长线于点F.(1)依题意补全图形；(2)求证：直线所是口 O的切线；(3)若4 5 =5,BD=3,求线段 班1的长.【分析】(1)根据要求作出图形即可.(2)欲证明0 E是切线，只要证明。力_1 _ 组即可.(3)设Q J=x,利用勾股定理构建方程求出x,再利用平行线分线段成比例定理，求出。产,可得结论.【解答】(1)
15、解：图形如图所示：(2)证明：连接8 C,O D,设 8 交8 c于J.4 5是直径，/.ZACB=ZECB90,CD=BD,:.ODA-BC,ZC/=90,：DEYAE,;.NCEO=90,四边形C E D 7 是矩形，:.ZEDJ90P,即 O)_LDE,.DE是口 O 的切线.(3)解：设 OJ=x.：BJ2=BD2-DJ-=OB2-O J2，x=一，10-B J/D F ,OBOF5二 2,OF口一871052,O 14【点评】本题考查作图-复杂作图，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题吗，属于中考常考题型.26.（6
16、 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已知抛物线y=/-2优+加2 一1 .5 4-3-2-1 -5-4-3-2-1 O-1-21 2 3 4 5 x-3-4（1）当机=2 时，求抛物线的顶点坐标;(2)求抛物线的对 称 轴(用含机的式子表示)；若点(肛、2)，(相+3,%)都在抛物线丫-2 皿+/-1 上，则 弘，必，X的大小关系为一%乂%_；(3)直线y =x +A 与x 轴交于点4-3,0),与 y 轴交于点3,过点3作垂直于y 轴的直线/与抛物线y =x 2-2 i r +-1 有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P,当A。4 P 为钝角三角形时，求优的取值范围.【分析】(1)先
17、将m=2 代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；(2)根据函数对称轴为x =-2 计算可得结论；2 a函数开口向上，x =m 时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较月，必，x的大小关系；(3)当A O A P 为钝角三角形时，则0?-2 -3,分别求解即可.【解答】解：(1)当机=2 时，抛物线的解析式为：y=x2-4 x+3 =(x-2)2-l,：.顶点坐标为(2,-1)：(2).抛物线 y =x 2-Z/n r +w?一1 ,函数对称轴为x =/；2 x 1 .函数开口向上，x =?时函数取得最小值，离对称轴距离越远，函数值越大，.m l m 且点(m-l,5)
18、,(见网)，(加+3,%)都在抛物线丫=V一2 侬+川-1 上,故答案为：为 x%；(3)把点4 3,0)代入y =x+的表达式并解得：6 =3,则仇0,3),直线4?的表达式为：y =x +3,如图，在直线x =3 上，当N A O P=9 0。时，点尸与3重合，当 =3 时，y=x2-2 mx+m2-1=3 ,则 x=m+2.点P在对称轴的左侧，.X =/?7+2 M J 不符合题意，舍去，则点 P（，-2,3）,当AQ 4 尸为钝角三角形时，则 0 加一2?或 一 2 2 或帆 2 或 加0),则CP=3 x,求 出 他、A F .EF-,当A A E F为等腰三角形时,分两种情况：A
19、E=E F 或 A F =E F,列出方程求出x的值，进而求得最后结果.【解答】解：(1)根据题意，作图如下：图1(2)连接3 P,如图2.点。与点E关于A P所在的直线对称,:.A E =AD,ZPAD=ZPAE,四边形ABC。是正方形，:.A D=A B,ND=NABF=900,:.M D P A A B F(SA S),:.A F =AP,ZFAB=PAD,:.ZFAB=ZPAE,.ZFAE=ZPAB,AFAE APAB(SAS),：.EF=BP,四边形ABC。是正方形，BC=CD=AB=3f；D P=，:.CP=2，BP=BC2+cp2=yf3,EF=V13；(3)设0 P =x(x
20、0),则 CP=3-x,.EF=BP=ylcp2+BC2=7x2-6x4-18,-A E =AD=3,AF=Ap=4 CP2 4-AD2=x2+9,:.A F A E,.当AA尸为等腰三角形时，只能有两种情况：A E=E F或AF=E F,当 他=F时，有近2-6X+18=3,解得x=3,/DM 3 t/.tan ZDAp=-=-=l；DA 3当AF=E F时，yjx2-6A-+18=/x2+9,解得x=3,23综上ta nN ZX P的值为1 或.2【点评】本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，分类思想和方程思想，关键
21、是证明三角形全等.2 8.(7 分)对 于 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 点 M 和图形G G?给出如下定义：点尸为图形G 1上一点，点。为图形G 2 上一点，当点是线段P。的中点时，称点M 是图形G G 2 的 中立点”.如果点P(,y),Q(X2,y2),那么“中立点”M 的坐标为(笑2，已知，点 4 3,0),8(4,4),C(4,0).(1)连接B C,在点。(J,0),(0,1),尸 g,L)中，可以成为点A和线段B C 的“中立点”的是_。一尸_;(2)已知点G(3,0),口 G的半径为2.如果直线)，=x-l 上存在点K可以成为点A和D G的“中立点”，求点K的坐标；(3)
22、以点C 为圆心，半径为2作 圆.点 N为直线y =2 x +4 上的一点，如果存在点N,使得 y 轴上的一点可以成为点N与口。的“中立点”.直接写出点N的横坐标的取值范围.【分析】(1)根 据“中立点”的定义，画出图形即可判断;(2)如图2中，点 A和D G的“中立点”在以O 为圆心，1 为半径的圆上运动，因为点K在直线y =x-l 上，设 K 3T H+1),则 有 苏+(1)2 =1 ,求出m的值即可解决问题;(3)如图3中，由题意，当点N确定时，点N与D G的“中立点”是以N C的中点P为圆心1为半径的口尸，当口尸与y轴相切时，点N的横坐标分别为-2或-6,由此即可解决问题；【解答】解：
23、(1)如 图1中,图1观察图象可知，满足条件的点在ZV W C的平行于B C的中位线上,故成为点A和 线 段 的“中立点”的是。、F .故答案为。、F.(2)如图2中，点A和口 G的“中立点”在以O为圆心，1为半径的圆上运动,图2因为点K在直线y =x-l上，设贝|J 有+(/n-l)2=1 ,解得m=0或 1,.,.点 K 坐标为(1,0)或(0,-1).(3)如图3 中，由题意，当点N 确定时，点 N 与口 G 的“中立点”是以NC的中点P 为圆心 1为半径的，当口 P 与 y 轴相切时，点 N 的横坐标分别为-2 或-6,所以满足条件的点N 的横坐标的取值范围为-6领 h-2.【点评】本题考查一次函数综合题、圆的有关知识、三角形的中位线定理、“中立点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.