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1、2016 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（四 川 卷）数 学（文 史 类）第 I 卷（选 择题 共 5 0 分）一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 是 符 合 题 目要 求 的。1.设 i 为 虚 数 单 位，则 复 数(1+i)2=(A)0(B)2(C)2 i(D)2+2 i2.设 集 合 A=x 1 1 x 5,Z 为 整 数 集，则 集 合 A Z 中 元 素 的 个 数 是(A)6(B)5(C)4(D)33.抛 物 线 y2=4 x 的 焦 点 坐
2、 标 是(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)4.为 了 得 到 函 数 y=s i n)3(x 的 图 象，只 需 把 函 数 y=s i n x 的 图 象 上 所 有 的 点(A)向 左 平 行 移 动3个 单 位 长 度(B)向 右 平 行 移 动3个 单 位 长 度(C)向 上 平 行 移 动3个 单 位 长 度(D)向 下 平 行 移 动3个 单 位 长 度5.设 p:实 数 x，y 满 足 x 1 且 y 1，q:实 数 x，y 满 足 x+y 2，则 p 是 q 的(A)充 分 不 必 要 条 件(B)必 要 不 充 分 条 件(C)充 要 条 件(D
3、)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件6.已 知 a 函 数 f(x)=x3-1 2 x 的 极 小 值 点，则 a=(A)-4(B)-2(C)4(D)27.某 公 司 为 激 励 创 新，计 划 逐 年 加 大 研 发 奖 金 投 入。若 该 公 司 2 0 1 5 年 全 年 投 入 研 发 奖 金 1 3 0 万 元，在 此 基础 上，每 年 投 入 的 研 发 奖 金 比 上 一 年 增 长 1 2，则 该 公 司 全 年 投 入 的 研 发 奖 金 开 始 超 过 2 0 0 万 元 的 年 份 是(参 考 数 据：l g 1.1 2=0.0 5，l g 1.3=0.1 1，l g
4、 2=0.3 0)(A)2 0 1 8 年(B)2 0 1 9 年(C)2 0 2 0 年(D)2 0 2 1 年8.秦 九 韶 是 我 国 南 宋 时 期 的 数 学 家，普 州(现 四 川 省 安 岳 县)人，他 在 所 著 的 数 书 九 章 中 提 出 的 多 项 式求 值 的 秦 九 韶 算 法，至 今 仍 是 比 较 先 进 的 算 法。如 图 所 示 的 程 序 框 图 给 出 了 利 用 秦 九 韶 算 法 求 多 项 式 值 的一 个 实 例，若 输 入 n，x 的 值 分 别 为 3，2，则 输 出 v 的 值 为(A)3 5(B)2 0(C)1 8(D)99.已 知 正
5、三 角 形 A B C 的 边 长 为 3 2，平 面 A B C 内 的 动 点 P，M 满 足 1 A P u u u r，P M M C u u u r u u u r，则2B Mu u u r的 最 大值 是(A)443(B)449(C)43 6 37(D)433 2 37 1 0.设 直 线 l1，l2分 别 是 函 数 f(x)=l n,0 1,l n,1,x xx x 图 象 上 点 P1，P2处 的 切 线，l1与 l2垂 直 相 交 于 点 P，且 l1，l2分 别 与 y 轴 相 交 于 点 A，B，则 P A B 的 面 积 的 取 值 范 围 是(A)(0,1)(B)(
6、0,2)(C)(0,+)(D)(1,+)第 I I 卷（非 选 择 题 共 1 0 0 分）二、填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5 分。1 1、0750 s i n=。1 2、已 知 某 三 菱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 三 菱 锥 的 体 积 是。1 3、从 2、3、8、9 任 取 两 个 不 同 的 数 字，分 别 记 为 a、b，则 l ogab 为 整 数 的 概 率=。1 4、若 函 数 f（x）是 定 义 R 上 的 周 期 为 2 的 奇 函 数，当 0 x 1 时，f（x）=x4，则5()(1)2f f=。1 5、在 平 面
7、 直 角 坐 标 系 中，当 P（x，y）不 是 原 点 时，定 义 P 的“伴 随 点”为2 2 2 2(,)y xPx y x y，当 P是 原 点 时，定 义“伴 随 点”为 它 自 身，现 有 下 列 命 题：若 点 A 的“伴 随 点”是 点A，则 点A的“伴 随 点”是 点 A.单 元 圆 上 的“伴 随 点”还 在 单 位 圆 上。若 两 点 关 于 x 轴 对 称，则 他 们 的“伴 随 点”关 于 y 轴 对 称 若 三 点 在 同 一 条 直 线 上，则 他 们 的“伴 随 点”一 定 共 线。其 中 的 真 命 题 是。（写 出 所 有 真 命 题 的 序 号）三、解 答
8、 题：本 大 题 共 6 小 题，共 75 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.1 6、（本 小 题 1 2 分）我 国 是 世 界 上 严 重 缺 水 的 国 家，某 市 为 了 制 定 合 理 的 节 水 方 案，对 居 民 用 水 情 况 进 行 了 调 查，通 过 抽样，获 得 了 某 年 1 0 0 位 居 民 每 人 的 月 均 用 水 量（单 位：吨），将 数 据 按 照 0,0.5），0.5,1），4,4.5 分 成 9 组，制 成 了 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图。（I）求 直 方 图 中 的 a 值；（I I）设 该
9、 市 有 3 0 万 居 民，估 计 全 市 居 民 中 月 均 用 水 量 不 低 于 3 吨 的 人 数 说 明 理 由；（）估 计 居 民 月 均 用 水 量 的 中 位 数。1 7、（1 2 分）如 图，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，P A C D，A D B C，A D C=P A B=9 0，12B C C D A D。（I）在 平 面 P A D 内 找 一 点 M，使 得 直 线 C M 平 面 P A B，并 说 明 理 由；（I I）证 明：平 面 P A B 平 面 P B D。1 8、（本 题 满 分 1 2 分）在 A B C 中，角 A，B，C 所 对 的
10、 边 分 别 是 a，b，c，且cCbBaA s i n c os c os。（I）证 明：s i n A s i n B=s i n C；（I I）若 bc a c b562 2 2，求 t a n B。1 9、（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 数 列na 的 首 项 为 1，nS 为 数 列 na 的 前 n 项 和，11n nS q S，其 中 q0，*n N.（）若2 3 2 3,a a a a 成 等 差 数 列，求 na 的 通 项 公 式；（）设 双 曲 线2221nyxa 的 离 心 率 为ne，且22 e，求2 2 21 2 ne e e.2 0、（本 小 题 满 分
11、 1 3 分）已 知 椭 圆 E：x2a2+2b2=1(a b 0)的 一 个 焦 点 与 短 轴 的 两 个 端 点 是 正 三 角 形 的 三 个 顶 点，点 P(3，12)在椭 圆 E 上。()求 椭 圆 E 的 方 程；()设 不 过 原 点 O 且 斜 率 为12的 直 线 l 与 椭 圆 E 交 于 不 同 的 两 点 A，B，线 段 A B 的 中 点 为 M，直 线 O M 与 椭圆 E 交 于 C，D，证 明：M A M B=M C M D 2 1、（本 小 题 满 分 1 4 分）设 函 数 f(x)=a x2 a l n x，g(x)=1xeex，其 中 a R，e=2.
12、7 1 8 为 自 然 对 数 的 底 数。（）讨 论 f(x)的 单 调 性；（）证 明：当 x 1 时，g(x)0；（）确 定 a 的 所 有 可 能 取 值，使 得 f(x)g(x)在 区 间（1，+）内 恒 成 立。2016 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（四 川 卷）数 学（文 史 类）试 题 参 考 答 案一、选 择 题1.C 2.B 3.D 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 1 0.A二、填 空 题1 1.121 2.331 3.161 4.-2 1 5.三、解 答 题1 6.（本 小 题 满 分 1 2 分）（）由 频 率 分 布 直
13、方 图，可 知：月 用 水 量 在 0,0.5 的 频 率 为 0.0 8 0.5=0.0 4.同 理，在 0.5,1)，(1.5,2，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5)等 组 的 频 率 分 别 为 0.0 8，0.2 1，0.2 5,0.0 6，0.0 4，0.0 2.由 1(0.0 4+0.0 8+0.2 1+.0 2 5+0.0 6+0.0 4+0.0 2)=0.5 a+0.5 a，解 得 a=0.3 0.（）由（），1 0 0 位 居 民 月 均 水 量 不 低 于 3 吨 的 频 率 为 0.0 6+0.0 4+0.0 2=0.1 2.由 以 上 样 本 的 频
14、 率 分 布，可 以 估 计 3 0 万 居 民 中 月 均 用 水 量 不 低 于 3 吨 的 人 数 为 3 0 0 0 0 0 0.1 3=3 6 0 0 0.（）设 中 位 数 为 x 吨.因 为 前 5 组 的 频 率 之 和 为 0.0 4+0.0 8+0.1 5+0.2 1+0.2 5=0.7 3 0.5，而 前 4 组 的 频 率 之 和 为 0.0 4+0.0 8+0.1 5+0.2 1=0.4 8 0.5所 以 2 x 2.5.由 0.5 0（x 2）=0.5 0.4 8，解 得 x=2.0 4.故 可 估 计 居 民 月 均 用 水 量 的 中 位 数 为 2.0 4 吨
15、.1 7.（本 小 题 满 分 1 2 分）（I）取 棱 A D 的 中 点 M(M 平 面 P A D)，点 M 即 为 所 求 的 一 个 点.理 由 如 下：因 为 A D B C,B C=12A D，所 以 B C A M,且 B C=A M.所 以 四 边 形 A M C B 是 平 行 四 边 形，从 而 C M A B.又 A B 平 面 P A B,C M 平 面 P A B,所 以 C M 平 面 P A B.(说 明：取 棱 P D 的 中 点 N,则 所 找 的 点 可 以 是 直 线 M N 上 任 意 一 点)（I I）由 已 知，P A A B,P A C D,因
16、为 A D B C,B C=12A D，所 以 直 线 A B 与 C D 相 交，所 以 P A 平 面 A B C D.从 而 P A B D.因 为 A D B C,B C=12A D，所 以 B C M D,且 B C=M D.所 以 四 边 形 B C D M 是 平 行 四 边 形.所 以 B M=C D=12A D，所 以 B D A B.又 A B A P=A,所 以 B D 平 面 P A B.又 B D 平 面 P B D,所 以 平 面 P A B 平 面 P B D.1 8.（本 小 题 满 分 1 2 分）（）根 据 正 弦 定 理，可 设(0)s i n s i n
17、 s i na b ck kA B C 则 a=k s i n A，b=k s i n B，c=k s i n C.代 入c os c os s i n A B Ca b c 中，有c o s c o s s i ns i n s i n s i nA B Ck A k B k C，可 变 形 得s i n A s i n B=s i n A c o s B+c o s A s i n B=s i n(A+B).在 A B C 中，由 A+B+C=，有 s i n(A+B)=s i n(C)=s i n C，所 以 s i n A s i n B=s i n C.（）由 已 知，b2+c2 a
18、2=65b c，根 据 余 弦 定 理，有2 223c o s2 5b c aAb c.所 以 s i n A=241 c os5A.由（），s i n A s i n B=s i n A c o s B+c o s A s i n B，所 以45s i n B=45c o s B+35s i n B，故 t a n B=s i nc o sBB=4.1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）（）由 已 知，1 2 11,1,n n n nS q S S q S+=+=+两 式 相 减 得 到2 1,1n na q a n+=.又 由2 11 S q S=+得 到2 1a q a=，故1 n
19、na q a+=对 所 有 1 n 都 成 立.所 以，数 列 na 是 首 项 为 1，公 比 为 q 的 等 比 数 列.从 而1=nna q-.由2 3 2 3+a a a a，成 等 差 数 列，可 得3 2 2 32=a a a a+，所 以3 2=2,a a，故=2 q.所 以1*2()nna n-=N.（）由（）可 知，1 nna q-=.所 以 双 曲 线2221nyxa-=的 离 心 率2 2(1)1 1nn ne a q-=+=+.由221 2 e q=+=解 得 3 q=.所 以，2 2 2 2 2(1)1 222 2(1)2(1 1)(1+)1 1 1 11(3 1).
20、2nnnnne e e q qqn q q nqn-+鬃=+鬃+-=+鬃=+-=+-，2 0.（本 小 题 满 分 1 3 分）（I）由 已 知，a=2 b.又 椭 圆2 22 21(0)x ya ba b 过 点1(3,)2P，故2 213414 b b，解 得21 b.所 以 椭 圆 E 的 方 程 是2214xy.（I I）设 直 线 l 的 方 程 为1(0)2y x m m，1 1 2 2(,),(,)A x y B x y，由 方 程 组221,41,2xyy x m 得2 22 2 2 0 x m x m，方 程 的 判 别 式 为24(2)m，由，即22 0 m，解 得 2 2
21、 m.由 得21 2 1 22,2 2 x x m x x m.所 以 M 点 坐 标 为(,)2mm，直 线 O M 方 程 为12y x，由 方 程 组221,41,2xyy x 得2 2(2,),(2,)2 2C D.所 以25 5 5(2)(2)(2)2 2 4M C M D m m m.又22 2 21 2 1 2 1 2 1 21 1 5()()()4 4 4 16M A M B A B x x y y x x x x 2 2 25 5 4 4(2 2)(2)16 4m m m.所 以=M A M B M C M D.2 1.（本 小 题 满 分 1 4 分）（I）21 2 1()
22、2 0).a xf x a x xx x(0 a 当 时，()f x 0，()f x 在 0+（，）内 单 调 递 减.0 a 当 时，由()f x=0，有12xa.当 x 10,)2 a（时，()f x 0，()f x 单 调 递 增.（I I）令()s x=1exx，则()s x=1e 1x.当 1 x 时，()s x 0，所 以1exx，从 而()g x=11 1exx 0.（i i i）由（I I），当 1 x 时，()g x 0.当 0 a，1 x 时，()f x=2(1)l n 0 a x x.故 当()f x()g x 在 区 间 1+)（，内 恒 成 立 时，必 有 0 a.当102a 时，12 a 1.由（I）有1()(1)02f fa,从 而1()02ga，所 以 此 时()f x()g x 在 区 间 1+)（，内 不 恒 成 立.当12a 时，令()h x=()f x()g x(1 x).当 1 x 时，()h x=12 21 1 1 1 12 exax xx x x x x 3 22 22 1 2 10 x x x xx x.因 此()h x 在 区 间 1+)（，单 调 递 增.又 因 为(1)h=0，所 以 当 1 x 时，()h x=()f x()g x 0，即()f x()g x 恒 成 立.综 上，a 1+)2，.