2022年黑龙江省大庆高三二诊模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高 考 数 学 模 拟 试 卷 注 意 事 项：1.答 题 前，考 生 先 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 码 填 写 清 楚，将 条 形 码 准 确 粘 贴 在 条 形 码 区 域 内。2.答 题 时 请 按 要 求 用 笔。3,请 按 照 题 号 顺 序 在 答 题 卡 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答，超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效；在 草 稿 纸、试 卷 上 答 题 无 效。4.作 图 可 先 使 用 铅 笔 画 出，确 定 后 必 须 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 描 黑。5.保 持 卡 面 清 洁，不 要 折 暴、不 要

2、 弄 破、弄 皱，不 准 使 用 涂 改 液、修 正 带、刮 纸 刀。一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已 知 a e R 若（1-ai）（3+2，）为 纯 虚 数，则 a 的 值 为（）2D.-32.A A B C 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a/,c,(2a-b)cosC=ccosB,则 内 角 C=()63.如 图，ZUBC 内 接 于 圆。，AB 是 圆。的 直 径，D C=BE,D C/BE,D C 工 CB,D C 上 CA,A

3、 B=2EB=2,则 三 棱 锥 E-A B C 体 积 的 最 大 值 为（）4.已 知 复 数 z=（l-a）+（/l）i（i为 虚 数 单 位，al）,贝!|z在 复 平 面 内 对 应 的 点 所 在 的 象 限 为（）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 5.若 复 数 z=（7+1）+（2-加（加 6 火）是 纯 虚 数，贝（卜（）A.3 B.5 C.V?D.3A/56.若 函 数/（x）=3cosx+4sinx在 x=6 时 取 得 最 小 值，则 cos6=（）3 4 4 3A.-B.C.D.-5 5 5 57.数 列“满 足：“+2+

4、an an+，4=1，。2=2,S 为 其 前 项 和，贝！JS2O1 9=（）A.0 B.1 C.3 D.48.设 机，是 空 间 两 条 不 同 的 直 线，a,夕 是 空 间 两 个 不 同 的 平 面，给 出 下 列 四 个 命 题:若 m/a,nl I(3,al I(3,则 加；若。_L/?,m L/3,m a a,则 加/a；若 m a,all。，则/；若 aJ_p,ap=l,ml la,m l,则 根 J4.其 中 正 确 的 是()A.B.C.D.9.复 数 z满 足 z（l-i）=|l-网，则 复 数 二 等 于。A.-i B.1+z C.2 D.-2x+y 010.设 不

5、等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 为 Q,若 从 圆 C：/+/2=4 的 内 部 随 机 选 取 一 点 7 3,则 p 取 自 Q 的 x-yJ3y0概 率 为（）5 7 八 11 17A.B.C.D.24 24 24 2411.已 知 正 四 面 体 的 内 切 球 体 积 为 也 外 接 球 的 体 积 为 匕 则 上=()VA.4 B.8 C.9 D.2712.若 不 相 等 的 非 零 实 数 x,y,z成 等 差 数 列，且 x,y,z成 等 比 数 列，则=（）Z5 7A.-B.-2 C.2 D.-2 2二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分

6、。13.已 知 数 列 4 递 增 的 等 比 数 列，若 出+%=12，6 4=2 7,则%=.14.下 图 是 一 个 算 法 流 程 图，则 输 出 的 攵 的 值 为.x+y-2 016.边 长 为 2 的 正 方 形 经 裁 剪 后 留 下 如 图 所 示 的 实 线 围 成 的 部 分，将 所 留 部 分 折 成 一 个 正 四 棱 锥.当 该 棱 锥 的 体 积 取 得 最 大 值 时，其 底 面 棱 长 为.V三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.（12分）已 知 椭 圆 C:r2上+v2乙=1的 右 顶 点

7、为。，E 为 上 顶 点，点 A 为 椭 圆 C 上 一 动 点.4 3（1）若 D E 上 A E,求 直 线 与）轴 的 交 点 坐 标；（2）设 尸 为 椭 圆。的 右 焦 点，过 点“（4,0）与 x 轴 垂 直 的 直 线 为/。，用 0 的 中 点 为 N,过 点 A 作 直 线 4 的 垂 线，垂 足 为 B,求 证：直 线 与 直 线 3 N 的 交 点 在 椭 圆。上.18.（12分）已 知 圆 C 的 极 坐 标 方 程 是 夕=4cos。，以 极 点 为 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点，极 轴 为 x 轴 的 正 半 轴，建 立 平面 直 角 坐 标 系，直 线/

8、的 参 数 方 程 是 夜 x=t+m2。是 参 数)，若 直 线/与 圆 C 相 切，求 实 数”的 值.19.(12分)在 四 棱 柱 ABC。-A U G 中，底 面 A3C。为 正 方 形，A C B D=O,4。，平 面 A3CD.(1)证 明：4。平 面 4 c，；(2)若 A5=A41,求 二 面 角 R-A4-A 的 余 弦 值.20.(12分)某 工 厂 生 产 某 种 电 子 产 品，每 件 产 品 不 合 格 的 概 率 均 为。，现 工 厂 为 提 高 产 品 声 誉，要 求 在 交 付 用 户 前 每 件 产 品 都 通 过 合 格 检 验，已 知 该 工 厂 的 检

9、 验 仪 器 一 次 最 多 可 检 验 5件 该 产 品，且 每 件 产 品 检 验 合 格 与 否 相 互 独 立.若 每 件 产 品 均 检 验 一 次，所 需 检 验 费 用 较 多，该 工 厂 提 出 以 下 检 验 方 案：将 产 品 每 人 个(女 4 5)一 组 进 行 分 组 检 验，如 果 某 一 组 产 品 检 验 合 格，则 说 明 该 组 内 产 品 均 合 格，若 检 验 不 合 格，则 说 明 该 组 内 有 不 合 格 产 品，再 对 该 组 内 每 一 件 产 品 单 独 进 行 检 验，如 此，每 一 组 产 品 只 需 检 验 1次 或 1+Z 次.设 该

10、 工 厂 生 产 1000件 该 产 品，记 每 件 产 品 的 平 均 检 验 次 数 为 X.(1)求 X 的 分 布 列 及 其 期 望；(2)(i)试 说 明，当，越 小 时，该 方 案 越 合 理，即 所 需 平 均 检 验 次 数 越 少；(ii)当=01 时，求 使 该 方 案 最 合 理 时 k 的 值 及 1000件 该 产 品 的 平 均 检 验 次 数.r2 2 同 21.(12分)已 知 椭 圆 E：+4=1(b 0)的 离 心 率 为 e=X,且 短 轴 的 一 个 端 点 3 与 两 焦 点 A,C 组 成 a2 h2 2的 三 角 形 面 积 为(I)求 椭 圆

11、E 的 方 程；(E D 若 点 尸 为 椭 圆 E 上 的 一 点，过 点 尸 作 椭 圆 E 的 切 线 交 圆 O：/+、2=/于 不 同 的 两 点 知，N(其 中 M 在 N的 右 侧)，求 四 边 形 ACM N 面 积 的 最 大 值.22.(10 分)已 知 函 数/(x)=ln(x+l)+x2.(1)当 a=T 时，求/(x)的 单 调 区 间；(2)若 函 数/(x)有 两 个 极 值 点 x，x2,且 苦%，/(力 为/(x)的 导 函 数，设 根=/(%2)+匚/(芯+1)，8求 加 的 取 值 范 围，并 求 取 到 最 小 值 时 所 对 应 的 a 的 值.参 考

12、 答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.A【解 析】根 据 复 数 的 乘 法 运 算 法 则 化 简 可 得 3+勿+(2-3a)i,根 据 纯 虚 数 的 概 念 可 得 结 果.【详 解】由 题 可 知 原 式 为 3+2a+(2 3 a)i,该 复 数 为 纯 虚 数，3+2。0 3所 以=2 3a 声 0 2故 选：A【点 睛】本 题 考 查 复 数 的 运 算 和 复 数 的 分 类，属 基 础 题.2.C【解 析】由 正 弦 定 理 化 边

13、为 角，由 三 角 函 数 恒 等 变 换 可 得.【详 解】V(2a-Z?)cosC=ccosB,由 正 弦 定 理 可 得(2sin A-sin 5)cosC=sin Ceos 5,2 sin AcosC=sin 5 co sC+sin Ceos B=sin(B+C)=sin A,1 7t三 角 形 中 s in A rO,.,.c o sC u-,C=一.2 3故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 正 弦 定 理，考 查 两 角 和 的 正 弦 公 式 和 诱 导 公 式，掌 握 正 弦 定 理 的 边 角 互 化 是 解 题 关 键.3.B【解 析】根 据 已 知 证 明 BE 1 平

14、 面 A B C,只 要 设 AC=无，则 8C=j 4-（o x 2）,从 而 可 得 体 积 在 X-1-6-BCA7=-2（4-2）,利 用 基 本 不 等 式 可 得 最 大 值.因 为 D C=BE,D C/B E,所 以 四 边 形 0 c B e为 平 行 四 边 形.又 因 为 D C CB,D C l CA,CBrCA C,CB u 平 面 ABC,C 4 u平 面 ABC,所 以。C_L平 面 A B C,所 以 BE 1 平 面 ABC.在 直 角 三 角 形 43E中，A B=2EB=2,设 AC=x,则 3。=，4-l 2（0%2）,所 以=,所 X1-6=2X-_

15、_/2 A 2 Y%旧 匚 严.又 因 为 X2（4一*2）尸 匚，当 且 仅 当.（X2+4-X2 x2（4-x2），即 x=V5时 等 号 成 立，I 2,所 以 化 故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 求 棱 锥 体 积 的 最 大 值.解 题 方 法 是：首 先 证 明 线 面 垂 直 同，得 棱 锥 的 高，然 后 设 出 底 面 三 角 形 一 边 长 为 X,用 建 立 体 积 V与 边 长 x 的 函 数 关 系，由 基 本 不 等 式 得 最 值，或 由 函 数 的 性 质 得 最 值.4.B【解 析】分 别 比 较 复 数 二 的 实 部、虚 部 与 0 的 大 小 关

16、系，可 判 断 出 z在 复 平 面 内 对 应 的 点 所 在 的 象 限.【详 解】因 为 时，所 以 1 一 a 0,所 以 复 数 二 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 二 象 限.故 选:B.【点 睛】本 题 考 查 复 数 的 几 何 意 义，考 查 学 生 的 计 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.5.C【解 析】先 由 已 知，求 出 团=-1,进 一 步 可 得 9=1-2i,再 利 用 复 数 模 的 运 算 即 可 z【详 解】由 z是 纯 虚 数，得 加+1=0 且 2-加。0,所 以 m=-1,z=3i._,.6+3i 6+3z I/T因 此，=-

17、2z|-5.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 复 数 的 除 法、复 数 模 的 运 算，考 查 学 生 的 运 算 能 力，是 一 道 基 础 题.6.D【解 析】利 用 辅 助 角 公 式 化 简/(x)的 解 析 式，再 根 据 正 弦 函 数 的 最 值，求 得 了(x)在 x=e 函 数 取 得 最 小 值 时 cos。的 值.【详 解】3 4、3 4解：/(x)=3cosx+4sinx=5|cosx+sinx=5sin(x+a),其 中，sina=,cosa=,5 5 j 5 5故 当 9+a=2k兀-%(k 0,即 9=2%万 一 至 一 e(ZwZ)时，函 数 取 最 小

18、值/(。)=一 5,所 以 cos 0-cos(2Z;r-a)=cos(-y-a)=-sin a=,故 选：D【点 睛】本 题 主 要 考 查 辅 助 角 公 式，正 弦 函 数 的 最 值 的 应 用，属 于 基 础 题.7.D【解 析】用+1去 换 a,4+%=4 田 中 的 n,得 4+3+。,向=%+2，相 加 即 可 找 到 数 列 叫 的 周 期，再 利 用$2019=336s6+%+。2+“3 计 算【详 解】由 已 知，a,.+a=an+l，所 以 all+3+an+i=a+2，+，得 an+3=-a,从 而 4+6=4,数 列 是 以 6 为 周 期 的 周 期 数 列，且

19、前 6 项 分 别 为 1,2,1,-1,-2,-1,所 以 S6=0,S 2 0 1 9=336(q+a2+%)+q+a，+q=0+l+2+l=4.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 周 期 数 列 的 应 用，在 求%19时，先 算 出 一 个 周 期 的 和 即$6,再 将$2019表 示 成 33656+%+/+%即 可，本 题 是 一 道 中 档 题.8.C【解 析】根 据 线 面 平 行 或 垂 直 的 有 关 定 理 逐 一 判 断 即 可.【详 解】解：7、也 可 能 相 交 或 异 面，故 错：因 为 a_L/7,m L p,所 以 m u a 或 机/。，因 为 W a,

20、所 以 m/a,故 对：/夕 或 u/?,故 错；如 图 因 为 a _LA，ap|/?=/,在 内 a 过 点 E 作 直 线/的 垂 线 a,则 直 线。，力，a_L/又 因 为 设 经 过 加 和 a 相 交 的 平 面 与 a 交 于 直 线 b,则 m/。又 m l,所 以 因 为。_U,bA.1,b u a,a u a所 以 b/a/m,所 以 根，月，故 对.故 选：C【点 睛】考 查 线 面 平 行 或 垂 直 的 判 断，基 础 题.9.B【解 析】通 过 复 数 的 模 以 及 复 数 的 代 数 形 式 混 合 运 算，化 简 求 解 即 可.【详 解】复 数 z满 足

21、z(l-i)=|l-疯=2,2 _ 2(l+z).Z-T-7 7-7-1+Z,1-z(l-z)(l+z)故 选 B.【点 睛】本 题 主 要 考 查 复 数 的 基 本 运 算，复 数 模 长 的 概 念，属 于 基 础 题.10.B【解 析】画 出 不 等 式 组 表 示 的 可 行 域，求 得 阴 影 部 分 扇 形 对 应 的 圆 心 角，根 据 几 何 概 型 概 率 计 算 公 式，计 算 出 所 求 概 率.【详 解】作 出 Q 中 在 圆 C 内 部 的 区 域，如 图 所 示,因 为 直 线 x+y=o,%-百=()的 倾 斜 角 分 别 为 三，-4 63万 TI所 以 由

22、图 可 得 P取 自 Q 的 概 率 为 4-6=7.271 2 4故 选：B【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 几 何 概 型 的 计 算，考 查 线 性 可 行 域 的 画 法，属 于 基 础 题.11.D【解 析】设 正 四 面 体 的 棱 长 为 1,取 8 c 的 中 点 为。，连 接 A。，作 正 四 面 体 的 高 为 首 先 求 出 正 四 面 体 的 体 积，再 利 用等 体 法 求 出 内 切 球 的 半 径，在 R tM M N中,根 据 勾 股 定 理 求 出 外 接 球 的 半 径，利 用 球 的 体 积 公 式 即 可 求 解.【详 解】设 正 四 面 体 的 棱

23、 长 为 1,取 8。的 中 点 为。，连 接 A。，作 正 四 面 体 的 高 为 PM=y/p-A M2=,3V _1 6 瓜 _ 0叭=丁 7=五 设 内 切 球 的 半 径 为，内 切 球 的 球 心 为。,则 VP-ABC=4%-AHC=4 X；X 4 r,解 得：r=逅 12设 外 接 球 的 半 径 为 R,外 接 球 的 球 心 为 N,则|阿=|夕 _/?|或 AN=R,在 RfAAMN中，由 勾 股 定 理 得:AM2+MN2=AN2,1F3 3/=R 2,解 得 宠=西，4.旦 3,Y故 选：D【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 多 面 体 的 内 切 球、外 接 球

24、问 题，考 查 了 椎 体 的 体 积 公 式 以 及 球 的 体 积 公 式，需 熟 记 几 何 体 的 体 积 公 式,属 于 基 础 题.12.A【解 析】由 题 意，可 得 y=z2=xy,消 去 得 x2+xz-2z2=0,可 得 上=-2,继 而 得 到=一 彳，代 入 即 得 解 2 z 2【详 解】由 x,y,z成 等 差 数 列，X+7所 以 y=-y，又 X，z,)成 等 比 数 列，所 以 z2=xy,消 去)得 f+xz 2z2=0,所 以+-2=0,解 得 土=1 或=-2,z)z z Z因 为 y,z是 不 相 等 的 非 零 实 数，X 7所 以=-2,此 时 丁

25、=一 三，z 2所 以 11=_2_4=_4.z 2 2故 选:A【点 睛】本 题 考 查 了 等 差 等 比 数 列 的 综 合 应 用，考 查 了 学 生 概 念 理 解，转 化 划 归，数 学 运 算 的 能 力，属 于 中 档 题.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。13.3T【解 析】a a4=a2a3=27,建 立 的，生 方 程 组，且 42。3，求 出 生，小，进 而 求 出,的 公 比，即 可 求 出 结 论.【详 解】数 列 4 递 增 的 等 比 数 列，%。2，凡 的+42=-127 解 得:=3%=9所 以 q 的 公 比 为 3

26、,勺=3.故 答 案 为：3“T.【点 睛】本 题 考 查 等 比 数 列 的 性 质、通 项 公 式，属 于 基 础 题.14.3【解 析】分 析 程 序 中 各 变 量、各 语 句 的 作 用，根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序，即 可 得 出 结 论.【详 解】解:初 始 第 一 次 循 环：6,%1；第 二 次 循 环：-3,比 2；第 三 次 循 环：1,左 一 3；经 判 断=1,此 时 跳 出 循 环，输 出 k=3.故 答 案 为：3【点 睛】本 题 考 查 了 程 序 框 图 的 应 用 问 题，解 题 的 关 键 是 对 算 法 语 句 的 理 解，属 基 础 题.15

27、.-1【解 析】画 出 满 足 条 件 的 平 面 区 域，求 出 交 点 的 坐 标，由 z=2 x+y 得 y=-2 x+z,显 然 直 线 过 4（一 加 一 2,-机）时，z最 小,代 入 求 出 m 的 值 即 可.【详 解】x+y-2 4 0作 出 不 等 式 组（x-y+2 2 0所 表 示 的 可 行 域 如 下 图 所 示：y+m 0 x-y+2=0 x=-m-2/、联 立 c,解 得,则 点 A（-?-2,一）y+m=O y=-m由 z=2x+y得 y=-2x+z,显 然 当 直 线 y=-2x+z过 A（T-2,T W）时，该 直 线 3 轴 上 的 截 距 最 小，此

28、时 二 最 小,：.-2 m 4 m=-,解 得 加=一 1.故 答 案 为：一 1.【点 睛】本 题 考 查 了 简 单 的 线 性 规 划 问 题，考 查 数 形 结 合 思 想，是 一 道 中 档 题.416.-5【解 析】根 据 题 意，建 立 棱 锥 体 积 的 函 数，利 用 导 数 求 函 数 的 最 大 值 即 可.【详 解】设 底 面 边 长 为 2%,则 斜 高 为 l-x,即 此 四 棱 锥 的 高 为 所 以 此 四 棱 锥 体 积 为 V=-V1-2X=-7 X4-2 X5,3 3令=x4-2x5（0 x,令 3=4丁 _10 4=2 3（2-5x）=0,/、2易 知

29、 函 数（x）在 X=不 时 取 得 最 大 值.4故 此 时 底 面 棱 长 2x=1.4故 答 案 为：y【点 睛】本 题 考 查 棱 锥 体 积 的 求 解，涉 及 利 用 导 数 研 究 体 积 最 大 值 的 问 题，属 综 合 中 档 题.48 _ 2j3 fTy=-尤+/32 2，可 得/二 一 U4 3y 二 一 25773后 三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(1)(2)见 解 析【解 析】(1)直 接 求 出 直 线 4 E 方 程，与 椭 圆 方 程 联 立 求 出 A 点 坐 标，从 而 可 得 直

30、 线 A O 方 程，得 其 与)轴 交 点 坐 标；(2)设 4 4,%),则 8(4,%),求 出 直 线 3 N 和 A E 的 方 程，从 而 求 得 两 直 线 的 交 点 坐 标，证 明 此 交 点 在 椭 圆 上,即 此 点 坐 标 适 合 椭 圆 方 程.代 入 验 证 即 可.注 意 分%=1和 说 明.【详 解】解：本 题 考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 的 综 合，(1)由 题 知 0(2,0),目 0,6)，则 脸=弓.因 为 所 以 脸=半，则 直 线 A E 的 方 程 为 y=x+6,联 立 3故 4 一 亡,-7：.贝！I A。、=巧 而=，直

31、线 A D 的 方 程 为 y=.令 x=0,I 25 25 I DA j 4 8 14 425得),=程，故 直 线 A D 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为 0,-j.(2)证 明：因 为 尸(1,0),(4,0),所 以 N 展,0)设 点 贝 设 当 天=1时，设 贝！此 时 直 线 A E 与 轴 垂 直，其 直 线 方 程 为 x=l,直 线 8 N 的 方 程 为=即,=彳 _.-2在 方 程 y=x：中，令 1=1,得=，得 交 点 为（1，一|），显 然 在 椭 圆 C 上.同 理 当 4（1,一）时，交 点 也 在 椭 圆 c 上.当 时，可 设 直 线 B N 的 方

32、程 为=5,即 y=2直 线 A E 的 方 程 为=y工、。一 1）,联 立 方 程 y消 去 y 得 工 片-1）,化 简 并 解 得=xT5xg 82X Q 55xn-8 y0/八 3yo将 代 入=-d（D 中,化 简 得 二 卓 T所 以 两 直 线 的 交 点 为 25x（80 xg+64+12%*-5）2因 为 1（这 二 4 1 2%-525x；-80XQ+64所 以 点 在 椭 圆 C 上.综 上 所 述，直 线 A E 与 直 线 B N 的 交 点 在 椭 圆。上.【点 睛】4（2/一 5 2 2又 因 为+会=1,所 以 4尤=12-3片，川 25x：-80%+64+1

33、2y；4xj-20%+25（2x0-5）14（2%-5）2（2x0-5）*2（2X0-5）2，本 题 考 查 直 线 与 椭 圆 相 交 问 题，解 题 方 法 是 解 析 几 何 的 基 本 方 程，求 出 直 线 方 程，解 方 程 组 求 出 交 点 坐 标，代 入 曲 线 方 程 验 证 点 在 曲 线.本 题 考 查 了 学 生 的 运 算 求 解 能 力.18.m=2 2V2【解 析】将 圆 C 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程，直 线 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程，再 根 据 直 线/与 圆 C相 切，利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 等

34、 于 半 径，即 可 求 实 数 心 的 值.【详 解】由。=4cos。，得 2=4 QCOS8,二 9+/二 代，即 圆。的 方 程 为(x-2)+/=4,9洌+，0252-,Xy.由 又 直 线，与 圆。相 切，二 2 n=2,二 而=22我.【点 睛】本 题 重 点 考 查 方 程 的 互 化，考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，解 题 的 关 键 是 利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径，研 究 直 线 与 圆 相 切.19.(1)详 见 解 析；(2)叵.5【解 析】(D 连 接 A G，设&A c 4 G=a，可 证 得 四 边 形 A0C。为 平 行 四

35、 边 形，由 此 得 到 4。，根 据 线 面 平 行 判 定 定 理 可 证 得 结 论；(2)以。为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 二 面 角 的 空 间 向 量 求 法 可 求 得 结 果.【详 解】(1)连 接 4 G，设 与，C 4=。，连 接 q c,在 四 棱 柱 ABCO A g C Q 中，。，。分 别 为/小 弓 的 中 点，。44。，；.四 边 形 A Q C Q 为 平 行 四 边 形，A0 O。,.A。Z平 面 B C D 1,0(C u 平 面 B C R，:.弓。平 面 B.CD,.（2）以。为 原 点，。注。,。4 所 在 直 线 分 别

36、为 尤,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系。一 町 z.设 04=1,四 边 形 ABC。为 正 方 形，.AB=A41=0,，O A=1，则 A(0,-l,0),A(0,0,1),4(1,1,1),D,(-1,1,1),.-.AB,=(1,2,1),函=(-2,0,0),丽=(1,1,0),设 勺=（%,%，4）为 平 面 的 法 向 量，=（%2，%，22）为 平 面 AAB1的 法 向 量,由，得：x+2 y+4=0l-2x,=0 令 必 则 寸。，,由%,福=得.J2 4 4=o+2 必+z9=0,令/=1，则 必=-1，Z2=l,+了 2=0=(0,1,-2),n2.COS=勺

37、%1 2 J15同.同=甚 百=一 可.二 面 角 4 A B-A 为 锐 二 面 角,，二 面 角 A-A4-4 的 余 弦 值 为 警.【点 睛】本 题 考 查 立 体 几 何 中 线 面 平 行 关 系 的 证 明、空 间 向 量 法 求 解 二 面 角 的 问 题；关 键 是 能 够 熟 练 掌 握 二 面 角 的 向 量 求 法,易 错 点 是 求 得 法 向 量 夹 角 余 弦 值 后，未 根 据 图 形 判 断 二 面 角 为 锐 二 面 角 还 是 钝 二 面 角，造 成 余 弦 值 符 号 出 现 错 误.20.(1)见 解 析，1一(1 一)+1(2)(i)见 解 析(ii

38、)Z=4 时 平 均 检 验 次 数 最 少，约 为 594次.K【解 析】(1)由 题 意 可 得 P(X=2=(l-p),X 的 可 能 取 值 为!和 生 4，分 别 求 出 其 概 率 即 可 求 出 分 布 列，进 而 可 求 出 V kJ k k期 望.(2)由(1)记/(p)=l(l-p);；,根 据 函 数 的 单 调 性 即 可 证 出；(ii)记 g(Z)=l(l+；=1-0.9*+；,K,K-T v当 g(左)1且 取 最 小 值 时，该 方 案 最 合 理，对 攵 进 行 赋 值 即 可 求 解.【详 解】(1)p x=：=(i-由 题，x 的 可 能 取 值 为 和

39、空 h)k kj=l-(l-p)故 X 的 分 布 列 为 X1k1+左 kp(l-p),E(X)=X l pJ+1 1 一(1一)=1一(1一)“+：(2)(i)由 记/(p)=i_(i_py+，因 为 o,所 以/(p)在 pe(O,l)上 单 调 递 增，故。越 小，/(P)越 小，即 所 需 平 均 检 验 次 数 越 少，该 方 案 越 合 理(ii)记 g 伏 k k当 g(左)1且 取 最 小 值 时，该 方 案 最 合 理，因 为 g(l)=l.l,g(2)=0.69,g(3)0.604,(4)0.594,(5)0.61所 以 左=4 时 平 均 检 验 次 数 最 少，约 为

40、 1()()0 x0.594=594 次.【点 睛】本 题 考 查 了 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列、数 学 期 望，考 查 了 分 析 问 题、解 决 问 题 的 能 力，属 于 中 档 题.丫 221.(I)+y2=l；(H)4.4【解 析】(I)结 合 已 知 可 得=走，Oc=G 求 出 4,B 的 值，即 可 得 椭 圆 方 程;a 2(H)由 题 意 可 知，直 线 的 斜 率 存 在，设 出 直 线 方 程，联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程，利 用 判 别 式 等 于 0可 得/=4公+1,联 立 直 线 方 程 与 圆 的 方 程，结 合 根 与 系 数

41、 的 关 系 求 得 S co+S，利 用 弦 长 公 式 及 点 到 直 线 的 距 离 公 式，求 出 SMON，得 到 SACMN=S&VON+S&MC。+S w o，整 理 后 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值.【详 解】解：(I)可 得=,bc=由 结 合 a2=+c2,a 2解 得 a=2,c=6，b=,得 椭 圆 方 程 工+：/=i4(II)易 知 直 线 M N 的 斜 率 A存 在，设 M N：y=kx+m,由 7 4，得(短+1)%2+8加 a+4(1)=0,由 八=64公 加 2 16(4左 2+)(m2-1)=0,得 加 2=4女 2+,*SACMN=AMON+

42、SAMCO+Swvo，设 点 0 到 直 线 M N：丘 一+m=0 的 距 离 为 心 dm=5*2MN=2ylO M f-d2=2.14-kz+由*y=kx-mx2+y2=4,得(厂+卜 2+2/7nY+?2-4=0.-2km m2-4X+*,=-T,%.%,=1-公+1 1-Jt2+1:.%+%=例+m+A%2+m=k(x+x2)+2m2kmk2+2,”=三 k2+l*SMCO+S邸 AO=x V3(|yj|+|y2|)=-(|必+%D=冬 粤,N N K 1(、百 帆 ACM N=S&w O N+(SAO+S M C O)=.2+而=4 公+1，2 2=生 了，易 知 女 2 NO,，

43、裙 2 i,则 同 之 1,0 _ 2 6|时 _ 8百 同 _ 8 G 873 四 边 形 ACMN的 面 积 一 加 2一 1，一 机 2+3 一 3 一 20 一-+1 W+H3当 且 仅 当 向=|时，即 加=百 时 取=”.本 题 考 查 了 由 a/,c 求 椭 圆 的 标 准 方 程，直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，考 查 了 学 生 的 计 算 能 力，综 合 性 比 较 强，属 于 难 题.22.(1)单 调 递 增 区 间 为 1-1,与|,单 调 递 减 区 间 为(与,+8(2)，”的 取 值 范 围 是+l n|,l-l n 2 j;对 应 的。的 值 为【解

44、 析】(1)当 a=-l 时，求/(x)的 导 数 可 得 函 数 的 单 调 区 间；(2)若 函 数/(x)有 两 个 极 值 点 再，声，且 玉，利 用 导 函 数 f(X)=一+依=2二 竺 1,可 得 的 范 围，再 表 达，=/6)+手 尸(玉+1),构 造 新 函 数 可 求 加 的 取 值 范 x+1 无+1 8围，从 而 可 求 2取 到 最 小 值 时 所 对 应 的。的 值.【详 解】(1)函 数/(X)=/(X+1)+X2由 条 件 得 函 数 的 定 义 域：X|X-1,当 a=-1 时，/(x)=历(x+1)-;V,1 一 工 2 y 1所 以：f(x)=-x=,x

45、+l X4-1_r(x)=o 时，丫=起 土 2当 犬(_1,4 1)时，r(X)0,当 X(县 1,+8)时，f(X)-1,1(幻=一+以=竺 二 竺 2,X+l X+1由 条 件 得。(、)=江+办+1=0有 两 根：*,X2，满 足 一 1 0,可 得：a 4；由“.9(-1)0,可 得：a 0.:.a 4,J函 数。(x)的 对 称 轴 为 x=-g,-1%!x2,所 以：x2 e(-,0)；.axl+ax2+=0,可 得：a=-工 2(/+1)f(x2)=ln(x2+1)+Xj=/n(x2+1)-2 2(X2+1):芭+/=一,贝！|：x,=-x,-1,a-,.X+2 l-x2 ax

46、,2-a x2+所 以：-./Xx,+I)=-f-x2)-o o o4(%+1)所 以：?=/(工 2+D-+-=ln(x2+1)-,22(w+l)4(再+1)2 4(2+1)令 h(x)=Inx-4xx=x2+le(,1),n则/.1*)=1 _ _3_=4 一 x；3，x 4x 4x3 1 3 3因 为：(x)=0 时，x=w，所 以：必 在，不 上 是 单 调 递 减，在(1,1)上 单 调 递 增,因 为：(；)=及 2,h(1)=：,(=g+/V，心 h(1),1 3所 以 人(%)勺+历“1 一 加 2)；即 沈 的 取 值 范 围 是：+/”；,1-/2)；3 3x=-,所 以 有=+1=：，4 4e 1 1 16则 无 2=-7，a=-r=;2 4 x2(x2+1)3所 以 当?取 到 最 小 值 时 所 对 应 的。的 值 为 巧【点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 和 单 调 区 间 问 题，考 查 利 用 导 数 求 函 数 的 最 值，体 现 了 转 化 的 思 想 方 法，属 于 难 题.