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1、精品资料 欢迎下载 一元二次方程难题解答（一）1.已知 m 是方程022 xx的一个根，则代数式)12)(2mmmm的值是_ 解：m 是方程022 xx的一个根 022 mm 即22 mm 0m方程两边除以m得：021mm 12mm 4)11(2)12)(2mmmm 2.已知ax 是方程0120162xx的一个根，求代数式12016140312222aaaa的值 解：ax 是方程0120162xx的一个根 0120162aa 120162aa或aa201612 12016140312222aaaa=aaaaa2016201614032222aaaa1)2016(22 11)1(2 3.关于 m
2、 的方程02722 mnnm的一个根为 2，求22 nn的值。解：由题意得：2m 把2m代入方程得：022742 nn 整理得：01722nn 方程两边除以n得：0172nn 721nn 方程两边平方得：281222nn 2622nn 4.已知36)41(222mm，求mm1的值。解：36)41(222mm 64122mm 精品资料 欢迎下载 10122mm或2122mm（舍去）102)1(2mm 即8)1(2mm 221mm 5.用换元法解下列方程：（1）0)1(3)1(222xx 解：设yx 12，则原方程为032 yy 0)3(yy 3021yy 当0y时，012x 1x 当3y时，31
3、2x 2x 原方程的解为22114321xxxx 6.设yx、为实数，求542222yyxyx的最小值，并求出此时x与y的值。解：542222yyxyx1)44()2(222yyyxyx 1)2()(22yyx 0)2(0)(22yyx 11)2()(22yyx 当020yyx 即22yx时，该式的最小值为 1 7.关于x的方程)0(0)(2mkhmkhxm均为常数，、的解是31x 22x，求方程0)3(2khxm的解。解：0)(2khxm mkhx2)(mkhx mkhx 3mkh 2mkh 以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得
4、整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用换元法解下列方程解设则原方程为是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的根试判断的形状并说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明理由如果是等边三精品资料 欢迎下载 0)3(2khxm mkhx2)3(mkhx3 3mkhx 0331x 5
5、322x 8.对于*，我们作如下规定：2*22baba，试求满足10*)12(xx的x的值。解:由题意得：102)12(22xx 0214422xxx 07432 xx 0)73)(1(xx 07301xx 37121xx 9.解含绝对值的方程：解方程：0112xx 解：当01x时，即1x，11xx 原方程化为01)1(2xx 即02 xx 解得：1021xx 1x，故是原方程的解舍去）1(021xx 当01x时，即1x，xx11 原方程化为01)1(2xx 即022 xx 解得：2121xx 1x，故是原方程的解舍去）2(121xx 综上所述，原方程的解为2,121xx 10.解方程：1)1
6、(2122xxxx 解：配方得：03)1(2)1(2xxxx 以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用换元法解下列方程解设则原方程为是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的根试判断的形状并
7、说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明理由如果是等边三精品资料 欢迎下载 设yxx1，原方程可化为0322 xy，解得1321yy 当31y时，31xx，即0132 xx，解得253x 当12y时，11xx，即012 xx，方程无实数解。经检验：2531x，2532x是原方程的解。11.解方程：1221222xxxx 解：01212222xxxx 设yxx 22，则原方程可化为0112yy，0122yy，解得：3421yy 当41y时，422 xx，即0422 xx，此方程无实数解 当32y时，322 xx，即0322 xx，解得：1,321xx 经检验：1,321xx是原方程的
8、解。17.已知关于x的一元二次方程0)(2)(2cabxxca，其中ca、b分别为ABC三边的长。（1）如果1x是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。解：（1）把1x代入方程得：02cabca baba即022 ABC为等腰三角形（2）2222222444)(44)(4)2(cabcabcacab 以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用
9、换元法解下列方程解设则原方程为是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的根试判断的形状并说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明理由如果是等边三精品资料 欢迎下载 又方程有两个相等的实数根 0444222cab 即222acb ABC为直角三角形(3)当cba时，原方程化为02 xx 解得：1021xx 18
10、.已知关于x的方程的方程01)1(2)3(12xmxmm（1）m为何值时，原方程是一元二次方程？（2）m为何值时，原方程是一元一次方程？解:(1)由题意得：21032mm 解得3m 方程时，原方程为一元二次当3m（2）当原方程是一元一次方程时，m的值应分三种情况讨论：0)1(203mm 解得3m 0)1(23112mmm 解得2m 0)1(2012mm 解得1m 综上所述：当22,1,3或m时，原方程是一元一次方程。19.用配方法求二次三项式的最大值与最小值)1(当x为何值时，代数式1222 xx有最小值？并求出最小值 121)21(2141)21(21)4141(21)(212222222x
11、xxxxxxx23)21(22 x 0)21(22x 2323)21(22x 以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用换元法解下列方程解设则原方程为是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的
12、根试判断的形状并说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明理由如果是等边三精品资料 欢迎下载 当21x时，代数式1222 xx有最小值23 （2）当x为何值时，代数式4632xx有最大值？并求出最大值 解：7)1(34)112(3463222xxxxx 0)1(32 x 77)1(32x 当1x时，代数式有最大值 7.20.若a满足不等式组021112aa，则关于x的方程021)12()2(2axaxa的根的情况是_ 解：解不等式组得3a 2a 则方程为一元二次方程 52)21)(2(4)12(2aaaa 3a 152 a 即0 关于x的一元二次方程没有实数根。21.关于x的一元二次
13、方程0112xkx有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解由题意得：04)1(012kk 511kk 1k 22.关于x的方程012mxmx有以下三个结论：当0m时，方程只有一个实数根；当0m时，方程有两个不相等的实数根；无论m取何值时，方程都有一个负数解；其中正确的是_ 解：当0m时，原方程为101xx 方程只有一个实数根 当0m时，0)12(144)1(4122mmmmm 方程有两个实数根 以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用换元法解下列方程解设则原方程为
14、是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的根试判断的形状并说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明理由如果是等边三精品资料 欢迎下载 当0m时，1x 当0m时，mmmmx2)12(12)12(12 11121xmx 无论m取何值时，方程都有一个负数解 23.关于x的方程068)6(2xxa有实数根，则整数a的
15、最大值是_ 解：当6a时，原方程为43068xx 当6a时，020824)6(2464aa 438a 整数a的最大值是 8 24.已知关于x的一元二次方程mxx)2)(3(，求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是 1，求m的值及方程的另一个根。解：（1）mxx)2)(3(0652mxx 014)6(4)5(2mm 对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根（2）把1x代入原方程得：m)21)(31(2m 原方程为2)2)(3(xx 41045212xxxx 2m，方程的另一根为4x 25.已知关于x的方程022)13(22kkxkx，（1）求证：无论k取何实数
16、值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形 ABC的一边长6a，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长。解：1）0)1(1288169)22(4)13(222222kkkkkkkkkk 无论k取何实数值，方程总有实数根（2）2)1(132)1(132kkkkx 1221kxkx 以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用换元法解下列方程解设则原方程为是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程
17、化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的根试判断的形状并说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明理由如果是等边三精品资料 欢迎下载 当cb 时，方程有两个相等的实数根，即112kkk 2 cb 622不能构成三角形。当腰长为 6 时，62 k 3k 41k 16466 ABCC 或102561kkk 221066 ABCC 综上所述：16 ABCC或 22 26.若关于x的方程mxmx4)5(2恰好有 3 个实数
18、根，则实数_m 解：04)5(2mxmx 方程恰好有 3 个实数根 0021xx 404mm 27.若关于x的方程0)2(22axaax有实数根，则实数a的取值范围_ 解：当0a时，原方程为04 x方程有解0 x 当0a时，8848844)2(22222aaaaaa 方程有实数根 088 a 1a 综上所述：1a 28.如果关于x的一元二次方程01122xkkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围_ 解：由题意得：08)12(01202kkkk 解得：2121k且0k 29.设方程42 axx只有 3 个不相等的实数根，求a的值和相应的 3 个根。解:4422axxaxx或 040422axx
19、axx或 以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用换元法解下列方程解设则原方程为是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的根试判断的形状并说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明
20、理由如果是等边三精品资料 欢迎下载 01621a 第一个方程有两个不相等的实数根 1622a 原方程只有 3 个不相等的实数根，02 即40162aa 当4a时，04404422xxxx或 2222222321xxx 当4a时，04404422xxxx或 2222222321xxx 综上所述：4a，当4a时，2222222321xxx 当4a时，2222222321xxx 30.已知函数xy2和)0(1kkxy，（1）若这两个函数图象都经过点）a,1(，求a和k的值。（2）当k取何值时，这两个函数总有公共点？解：（1）函数xy2经过点）a,1(2a 该点为)2,1(112kk（2）12kxyx
21、y 022xkx 两个函数总有公共点 方程有实数解 0810kk 解得：081kk且 31.已 知 关 于x的 一 元 二 次 方 程02)12(22kxkx的 两 根 为1x和2x，且0)(2(211xxx，求k的值。解：0)(2(211xxx 002211xxx 当21x时，把21x代入原方程得：02)12(242kk 整理得：0442 kk 解得：2k 以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用换元法解下列方程解设则原方程为是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我
22、们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的根试判断的形状并说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明理由如果是等边三精品资料 欢迎下载 当021 xx时，方程有两个相等的实数根，即0)2(4)12(22kk 解得：49k 综上所述：2k或49 31.(1)已知：012pp，012qq，且1pq，求qpq 1的值。解：由012pp，012qq 00
23、qp 又1pq qp1 012qq可化为011)1(2qq 012pp与011)1(2qq是同解方程 p和q1是方程012 xx的两个不相等的实数根 11qp 即11qpq(2)若01112mm，01112nn且nm11，求2211nm的值。解：01112mm与01112nn是同解方程，且nm11 nm1,1为方程012 xx的两个不相等的实数根 11111mnnm 3)2(12)11(11222mnnmnm(3)若01522mm，02512nn且nm，求2)(nm的值。解：0n 02512nn方程两边乘以n得：01522nn 01522mm与01522nn是同解方程 nm、为方程01522
24、xx的两个不相等的实数根 2125mnnm 433)21(4)25(4)()(222mnnmnm 关于x的一元二次方程01)12(22kxkx有两个不相等的实数根21,xx，（1）求实以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用换元法解下列方程解设则原方程为是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化
25、为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的根试判断的形状并说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明理由如果是等边三精品资料 欢迎下载 数k的取值范围；（2）若方程两实数根21,xx满足2121xxxx，求k的值。解：（1）34)1(4)12(22kkk 又方程有两个不相等的实数根 43034kk（2）00010)12(2122121xxkxxkxx 2121xxxx 2121xxxx 1122kk 2021kk 43k 2k 以得已知是方程的一个根求代数式的值解是方程的一个根或关于的方程的一个根为求的值解由题意得把代入方程得整理得方程两边除以得方程两边平方得已知求的值解精品资料欢迎下载或舍去即用换元法解下列方程解设则原方程为是求方程的解解精品资料欢迎下载对于我们作如下规定试求满足的的值解由题意得解含绝对值的方程解方程解当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去当时即原方程化为即解得故是原方程的解舍去综上所述原方程的解为解方程则原方程可化为解得当时即此方程无实数解当时即解得经检验是原方程的解已知关于的一元二次方程其中分别为三边的长如果是方程的根试判断的形状并说明理由如果方程有两个相等的实数根试判断的形状并说明理由如果是等边三