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1、 八年级上学期轴对称练习题精选 一解答题 1如图，ABC 中，O 是 BC 的中点，D 是BAC 平分线上的一点，且 DOBC，过点 D 分别作 DMAB 于 M，DNAC 于 N 求证：BM=CN 2如图，ABC 中，点 D 在 BC 上，AD 的垂直平分线 EF 交 BC 延长线于点 F，若FAC=B，求证：AD 平分BAC 3如图，ABC 中，ABAC，DF 垂直平分 BC 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F 为垂足，DEAB 于 E，连接 BD，CD求证：DBE=DCA 4（2013 荆门）如图 1，在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上（1）
2、求证：BE=CE；（2）如图 2，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BFAC，垂足为 F，BAC=45 ，原题设其它条件不变求证：AEFBCF 5（2013 东营）（1）如图（1），已知：在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E 证明：DE=BD+CE （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D
3、、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点 F 为BAC 平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF 的形状 的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交
4、于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 6（2004 十堰）如图，已知ABC 中，AB=AC，D、E 分别是 AB 和 BC 上的点，连接 DE 并延长与 AC 的延长线交于点 F，若 DE=EF，求证：BD=CF 7（2012 仪陇县模拟）如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 PA，PB，PC，以 BP 为边作PBQ=60，且BQ=BP，连接 CQ观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的
5、结论 8（2012 泸州）如图，ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A在直线 DC 的同侧，连接 AE 求证：AEBC 9已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM，CBN 都是等边三角形，AN 交 MC 于点 E，BM 交 CN 于点 F （1）求证：AN=BM；（2）求证：CEF 为等边三角形 的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与
6、应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 10题目：如图 1，ABD，AEC 都是等边三角形，求证：BE=DC由已知易证ABEADC，得 BE=DC 扩变：1如图 2，若ABD，AEC 都是等腰直角三角形，D=E=90，那么 BE=DC 吗？2如图 3，若四边形 ABF
7、D、四边形 ACGE 都是正方形，（1）那么 BE=DC 还成立吗？（2）BEDC 3如图 4，若点 A 在线段 BC 上，ABD，AEC 都是等边三角形，那么 BE=DC 吗？4在 3 题的条件下，若 AD 与 BE 交于 F 点，AE 与 CD 交于 G 点，如图 5（1）AF=AG 吗？（2）AFG 是等边三角形吗？为什么？11如图，已知MAN=120 ，AC 平分MAN B、D 分别在射线 AN、AM 上（1）在图（1）中，当ABC=ADC=90 时，求证：AD+AB=AC （2）若把（1）中的条件“ABC=ADC=90”改为ABC+ADC=180，其他条件不变，如图（2）所示则（1）
8、中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如
9、图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 12（2013 六盘水）（1）观察发现 如图（1）：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做法如下：作点 B 关于直线 m 的对称点 B，连接 AB，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB 的长度即为 AP+BP 的最小值 如图（2）：在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P
10、，故 BP+PE 的最小值为 _ （2）实践运用 如图（3）：已知O 的直径 CD 为 2，的度数为 60，点 B 是的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为 _ （3）拓展延伸 如图（4）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB、BC 上作出点 M，点 N，使 PM+PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法 13（2009 益阳）如图，ABC 中，已知BAC=45 ，ADBC 于 D，BD=2，DC=3，求 AD 的长 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题 请按照小萍的思路，探究并解
11、答下列问题：（1）分别以 AB、AC 为对称轴，画出ABD、ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，证明四边形 AEGF 是正方形；（2）设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值 14（2008 恩施州）如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC已知AB=2，DE=1，BD=8，设 CD=x 的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经
12、过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图（1）用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长；（2）请问点 C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值 15（2013 石
13、景山区一模）问题解决：已知：如图，D 为 AB 上一动点，分别过点 A、B 作 CAAB 于点 A，EBAB 于点 B，联结 CD、DE（1）请问：点 D 满足什么条件时，CD+DE 的值最小？（2）若 AB=8，AC=4，BE=2，设 AD=x用含 x 的代数式表示 CD+DE 的长（直接写出结果）拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式的最小值 16（2012 青田县模拟）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想 具体方法是这样的：如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC 已知 AB=1，DE=5，BD=
14、8，设 BC=x则，则问题即转化成求 AC+CE 的最小值（1）我们知道当 A、C、E 在同一直线上时，AC+CE 的值最小，于是可求得的最小值等于 _，此时 x=_；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值 17（2012 溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图 1，已知，A，B 在直线 l 的同一侧，在 l 上求作一点，使得 PA+PB 最小 我们只要作点 B 关于 l 的对称点 B，（如图 2 所示）根据对称性可知，PB=PB因此，求 AP+BP 最小就相当于求AP+PB 最小，
15、显然当 A、P、B 在一条直线上时 AP+PB 最小，因此连接 AB，与直线 l 的交点就是要求的点 P 有很多问题都可用类似的方法去思考解决 探究：（1）如图 3，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，P 是 BD 上一动点连接 EP，CP，则 EP+CP 的最小值是 _；的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等
16、边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 运用：（2）如图 4，平面直角坐标系中有三点 A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在 x 轴上找一点 D，使得四边形 ABCD的周长最小，则点 D 的坐标应该是 _；操作：（3）如图 5，A 是锐角 MON 内部任意一点，在MON 的两边 OM，ON 上各求作一点 B，C，组成ABC，使ABC
17、周长最小（不写作法，保留作图痕迹）18（2010 江干区模拟）已知 A，B 两点在直线 l 的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在 l 上找两点 C 和 D（CD的长度为定值 a），使得 AC+CD+DB 最短（不要求写画法）19为庆祝 60 年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：AO，OB）AO桌子上摆满苹果，BO 桌子上摆满桔子，坐在 C 处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位 C 处，AOB 小于90 度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短请作出路线图，并用字母表示所走路线（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）20作图题：要求尺规作图，
18、不写作法，保留作图痕迹，写出结论（1）如图所示，104 国道 OA 和 327 国道 OB 在曲阜市相交于 O 点，在AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要建一个货站 P，使 P 到 OA 和 OB 的距离相等，且使 PC=PD，用尺规作出 P 点的位置（2）在图中直线上找到一点 M，使它到 A、B 两点的距离和最小 的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合
19、点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 21如图（1），A、B 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线 L1、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥 （1）天桥应建在何处才能使由 A 经过天桥走到 B 的路程最短？在图（2）中作出此时桥 PQ 的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计
20、，桥必须与街道垂直）（2）根据图（1）中提供的数据计算由 A 经过天桥走到 B 的最短路线的长（单位：米）的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三
21、角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 八年级上学期轴对称练习题精选 参考答案与试题解析 一解答题（共 21 小题）1如图，ABC 中，O 是 BC 的中点，D 是BAC 平分线上的一点，且 DOBC，过点 D 分别作 DMAB 于 M，DNAC 于 N 求证：BM=CN 考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质 专题：证明题 分析：根据 O 是 BC 的中点，DOBC，可知 OD 是 BC 的垂直平分线，那么 BD=CD，而 AD 是BAC 的平分线，DMAB，DNAC，根据角平分线的性质可得 DM=DN，再
22、根据 HL 可判定 RtBMD RtCND，从而有 BM=CN 解答：证明：连接 BD，CD，如图，O 是 BC 的中点，DOBC，OD 是 BC 的垂直平分线，BD=CD，AD 是BAC 的平分线，DMAB，DNAC，DM=DN，在 RtBMD 和 RtCND 中，RtBMD RtCND，BM=CN 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用 2如图，ABC 中，点 D 在 BC 上，AD 的垂直平分线 EF 交 BC 延长线于点 F，若FAC=B，求证：AD 平分BAC 的垂直平分线交延长线于点若
23、求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 考点：线段垂直平分
24、线的性质 专题：证明题 分析：由 EF 是 ADAD 的垂直平分线，可得 AF=DF，然后由等边对等角，可证得EAF=EDF，然后利用三角形外角的性质与FAC=B，可证得 AD 平分BAC 解答：解：EF 是 ADAD 的垂直平分线，AF=DF，EAF=EDF，EAF=FAC+CAD，EDF=BAD+B，又FAC=B，BAD=CAD，即 AD 平分BAC 点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质以及角平分线的定义此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 3如图，ABC 中，ABAC，DF 垂直平分 BC 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F 为垂足，DEAB 于 E，连接
25、BD，CD求证：DBE=DCA 考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：过 D 作 DGAC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 BD=CD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 DE=DG，然后利用“HL”证明 RtDBE 和 RtDCG 全等，根据全等三角形对应角相等证明即可 解答：证明：过 D 作 DGAC，DF 是 BC 的垂直平分线，BD=DC，AD 是ABC 的外角平分线，DEAB，DGAC，DE=DG，DEAB，DGAC，DEB=DGC=90 ，在 RtDBE 和 RtDCG 中，RtDBE 和 RtDCG（HL），DBE=D
26、CA 的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角
27、形那么吗如图 点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 4（2013 荆门）如图 1，在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上（1）求证：BE=CE；（2）如图 2，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BFAC，垂足为 F，BAC=45 ，原题设其它条件不变求证：AEFBCF 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 专题：证明题 分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得BAE=EAC，然后利用“边角边”证明ABE 和A
28、CE 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）先判定ABF 为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得 AF=BF，再根据同角的余角相等求出EAF=CBF，然后利用“角边角”证明AEF 和BCF 全等即可 解答：证明：（1）AB=AC，D 是 BC 的中点，BAE=EAC，在ABE 和ACE 中，ABEACE（SAS），BE=CE；（2）BAC=45，BFAF，ABF 为等腰直角三角形，AF=BF，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，ADBC，EAF+C=90，BFAC，CBF+C=90，EAF=CBF，的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点
29、为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 在AEF 和BCF 中，AEFBCF（ASA）点评：本题考
30、查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键 5（2013 东营）（1）如图（1），已知：在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E 证明：DE=BD+CE （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（
31、3），D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点 F 为BAC 平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF 的形状 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定 分析：（1）根据 BD直线 m，CE直线 m 得BDA=CEA=90，而BAC=90，根据等角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA，则 AE=BD，AD=CE，于是 DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）与前面的结论得到ADBCEA，则 BD=AE，DBA=CAE，根据等
32、边三角形的性质得ABF=CAF=60，则DBA+ABF=CAE+CAF，则DBF=FAE，利用“SAS”可判断DBFEAF，所以 DF=EF，BFD=AFE，于是DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，根据等边三角形的判定方法可得到DEF 为等边三角形 解答：证明：（1）BD直线 m，CE直线 m，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB 和CEA 中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180 ，的垂直平分线交延长线于点若求证
33、平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 CAE=ABD，在AD
34、B 和CEA 中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF 和ACF 均为等边三角形，ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF 在DBF 和EAF 中，DBFEAF（sas），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，DEF 为等边三角形 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质 6（2004 十堰）
35、如图，已知ABC 中，AB=AC，D、E 分别是 AB 和 BC 上的点，连接 DE 并延长与 AC 的延长线交于点 F，若 DE=EF，求证：BD=CF 考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：过D 作DGAF交BC 于G，证明DGEFCE，得出DG=CF，再证明DB=DG，通过等量代换得到BD=CF 解答：证明：过 D 作 DGAF 交 BC 于 G，如图，则F=GDE，DE=EF，DEG=FEC DGEFCE（ASA），GD=CF，AB=AC，B=ACB，又DGAF，ACB=BGD，的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接
36、求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 B=BGD，BD=GD，又GD=CF，BD=CF 点评：本题考查了等腰
37、三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解题中主要利用全等三角形对应边相等和等角对等边的性质解答，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是难点 7（2012 仪陇县模拟）如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 PA，PB，PC，以 BP 为边作PBQ=60，且BQ=BP，连接 CQ观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论 考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质 专题：探究型 分析：先猜想 AP=CQ，再在ABP 与CBQ 中，由 AB=CB，BP=BQ，ABC=PBQ=60 可得出ABP=CBQ，进而可判断出ABPCBQ，由全等三角形的对应边相等即可得出结论 解
38、答：猜想：AP=CQ 证明：在ABP 与CBQ 中，AB=CB，BP=BQ，ABC=PBQ=60，ABP=ABCPBC=PBQPBC=CBQ，ABPCBQ，AP=CQ 点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出ABPCBQ 是解答此题的关键 8（2012 泸州）如图，ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A在直线 DC 的同侧，连接 AE 求证：AEBC 考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定；等边三角形的性质 的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在
39、中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 专题：证明题 分析：根据等边三角形性质推出 BC=AC，CD=CE，ABC=BCA=
40、ECD=60，求出BCD=ACE，根据 SAS证ACEBCD，推出EAC=DBC=ACB，根据平行线的判定推出即可 解答：证明：ABC 和DEC 是等边三角形，BC=AC，CD=CE，ABC=BCA=ECD=60，BCADCA=ECDDCA，即BCD=ACE，在ACE 和BCD 中，ACEBCD（SAS），EAC=B=60=ACB，AEBC 点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出ACEBCD，主要考查学生的推理能力 9已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM，CBN 都是等边三角形，AN 交 MC 于点 E，BM 交 CN 于点 F （1）求证
41、：AN=BM；（2）求证：CEF 为等边三角形 考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由 SAS 得到ACNMCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得CAN=CMB，进而得出MCF=ACE，由 ASA 得出CAECMF，即CE=CF，又 ECF=60，所以CEF 为等边三角形 解答：证明：（1）ACM，CBN 是等边三角形，AC=MC，BC=NC，ACM=NCB=60，ACM+MCN=NCB+MCN，即ACN=MCB，在ACN 和MCB 中，ACNMCB（SAS），AN=BM （2）CANCMB，CA
42、N=CMB，又MCF=180 ACM NCB=180 60 60=60，MCF=ACE，在CAE 和CMF 中，的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是
43、等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 CAECMF（ASA），CE=CF，CEF 为等腰三角形，又ECF=60，CEF 为等边三角形 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用 10题目：如图 1，ABD，AEC 都是等边三角形，求证：BE=DC由已知易证ABEADC，得 BE=DC 扩变：1如图 2，若ABD，AEC 都是等腰直角三角形，D=E=90，那么 BE=DC 吗？2如图 3，若四边形 ABFD、四边形 ACGE 都是正方形，（1）那么 BE=DC 还成立吗？
44、（2）BEDC 3如图 4，若点 A 在线段 BC 上，ABD，AEC 都是等边三角形，那么 BE=DC 吗？4在 3 题的条件下，若 AD 与 BE 交于 F 点，AE 与 CD 交于 G 点，如图 5（1）AF=AG 吗？（2）AFG 是等边三角形吗？为什么？考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：1、由ABD，AEC 都是等腰直角三角形得到 AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=45，由于DAC=BAE，则可判断ABE 和ADC 不全等，于是 BE 与 DC 不相等 2、（1）根据正方形的性质得到 AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=90，则DAC
45、=BAE，根据“SAS”可判断ABEADC，则 BE=DC；（2）由ABEADC，则AEB=ACD，而BNC=ANE，于是ACD+BNC=AEB+ANE=90，即 BEDC；3、根据等边三角形的性质得到 AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=60，则DAC=BAE，根据“SAS”可判断ABEADC，则 BE=DC；4、（1）由ABEADC 得到ABE=ADC，根据“AAS”可判断ABFADG（ASA），则 AF=AG；（2）由于 AF=AG，而DAE=60，根据等边三角形的判定方法可得到AFG 是等边三角形 解答：解：1BE DC理由如下：ABD，AEC 都是等腰直角三角形，AB=AD，AC
46、=AE，DAB=EAC=45，DAC=BAE，ABE 和ADC 不全等，BE 与 DC 不相等 2（1）BE=DC 成立理由如下：四边形 ABFD、四边形 ACGE 都是正方形，的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点以
47、为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=90，DAC=BAE，在ABE 和ADC 中，ABEADC（SAS），BE=DC；（2）BEDC理由如下：AC 与 BE 相交于 N 点，ABEADC，AEB=ACD，而BNC=ANE ACD+BNC=AEB+ANE=90，BEDC；3BE=DC理由如下：ABD，AEC 都是等边三角形，AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=60，DAC=BAE，在ABE 和ADC 中，
48、ABEADC（SAS），BE=DC；4（1）AF=AG理由如下：ABEADC，ABE=ADC 在ABF 和ADG 中，ABFADG（ASA），AF=AG（2）AFG 是等边三角形理由如下：AF=AG，而DAE=60，AFG 是等边三角形 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等也考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质 11如图，已知MAN=120 ，AC 平分MAN B、D 分别在射线 AN、AM 上（1）在图（1）中，当ABC=ADC=90 时，求证：AD+AB=A
49、C （2）若把（1）中的条件“ABC=ADC=90”改为ABC+ADC=180，其他条件不变，如图（2）所示则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 的垂直平分线交延长线于点若求证平分如图中垂直平分交的外角平分线于点为垂足于连接求证荆门如图在中点是的中点点在上求证如图若的延长线交于点且垂足为原题设其它条件不变求证东营如图已知在中直线经过点直线直线垂足你给出证明若不成立请说明理由拓展与应用如图是三点所在直线上的两动点三点互不重合点为平分线上的一点且和均为等边三角形连接若试判断的形状十堰如图已知中分别是和上的点连接并延长与的延长线交于点若求证仪陇县模拟角形是边上的一点
50、以为边作等边三角形使点在直线的同侧连接求证已知如图点为线段上一点都是等边三角形交于点交于点求证求证为等边三角形题目如图都是等边三角形求证由已知易证得扩变如图若都是等腰直角三角形那么吗如图 考点：全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 分析：（1）由题中条件可得，DCA=BCA=30 ，在直角三角形中可得 AC=2AD，AC=2AB，所以 AD+AB=AC （2）在 AN 上截取 AE=AC，连接 CE，可得CAE 为等边三角形，进而可得ADCEBC，即 DC=BC，DA=BE，进而结论得证 解答：（1）证明：MAN=120 ，AC 平分MAN，DAC=BAC=60 ABC=ADC=