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1、学习必备 欢迎下载 余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.【知识梳理】问题 1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数 y=cos x 的图像可以通过将正弦曲线 y=sin x 的图像向 平移 个单位长度得到(如图).(2)五点法:余弦曲线在0,2 上起作用的五个关键点分别为 .问题 2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为 ;(2)值域为 ;(3)单调增区间为 ,减区间为 .问
2、题 3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期 T=;(2)偶函数;(3)对称轴为 (4)对称中心为 .问题 4:余弦函数的复合函数 f(x)=Acos(x+)(A0,0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当 x+=+k 时,即 为对称中心;(2)当 x+=k 时,即 为对称轴;学习必备 欢迎下载(3)当 x+-+2k,2 k 时,求得 x 属于的区间为 区间;当 x+2k,+2k 时,求得 x 属于的区间为 区间.(注:以上 kZ)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用 例 1 画出 ycos x(xR)的简图，并根据图像写出：(1)y12时 x 的集合；(2)12 y32时 x
3、 的集合 解：用“五点法”作出 ycos x 的简图 (1)过0，12点作 x 轴的平行线，从图像中看出：在，区间与余弦曲线交于3，12，3，12点，在，区间内，y12时，x 的集合为x|3 x3.当 xR 时，若 y12，则 x 的集合为 x32kx32k，kZ(2)过0，12，0，32点分别作 x 轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于232k，12，kZ，232k，12，kZ 点和62k，32，kZ，62k，32)，kZ 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当12 y32时 x 的集合为：图像与性质得出余弦函数的性质能理解余弦函数的定义域值域最值周期性奇
4、偶性的意义会求简单函数的定义域值域最小正周期和单调区间知识梳理问题余弦函数的图像的作法平移法余弦函数的图像可以通过将正弦曲线的图像向平移域为值域为单调增区间为减区间为问题余弦函数的周期奇偶性对称轴和对称中心周期偶函数对称轴为对称中心为问题余弦函数的复合函数的对称轴对称中心和单调区间当时即为对称中心当时即为对称轴学习必备欢迎下载当时求得属像写出时的集合时的集合解用五点法作出的简图过点作轴的平行线从图像中看出在区间与余弦曲线交于区间内时的集合为点在当时若则的集合为过点分别作轴的平行线从图像中看出它们分别与余弦曲线交于点和点那么曲线上夹在对学习必备 欢迎下载 x232kx 62k 或62kx232k
5、，kZ.规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性 跟踪演练 1 求函数 f(x)lg cos x 25x2的定义域 解 由题意，x 满足不等式组 cos x025x20，即 5 x5cos x0，作出 ycos x 的图像 结合图像可得：x5，322，232，5.要点二：余弦函数单调性的应用 例 2 求函数 ylog (cos 2x)的增区间 解：由题意得 cos 2x0 且 ycos 2x 递减 x 只须满足：2k2 x2k 2，kZ.k x139 136 0，cos 139 cos 221.图像与性质得出余弦函数的性质能理解余弦函数的定义域值域
6、最值周期性奇偶性的意义会求简单函数的定义域值域最小正周期和单调区间知识梳理问题余弦函数的图像的作法平移法余弦函数的图像可以通过将正弦曲线的图像向平移域为值域为单调增区间为减区间为问题余弦函数的周期奇偶性对称轴和对称中心周期偶函数对称轴为对称中心为问题余弦函数的复合函数的对称轴对称中心和单调区间当时即为对称中心当时即为对称轴学习必备欢迎下载当时求得属像写出时的集合时的集合解用五点法作出的简图过点作轴的平行线从图像中看出在区间与余弦曲线交于区间内时的集合为点在当时若则的集合为过点分别作轴的平行线从图像中看出它们分别与余弦曲线交于点和点那么曲线上夹在对学习必备 欢迎下载(2)cos235cos235
7、 cos4 35cos35，cos174cos174 cos4 4cos4.0435，且 ycos x 在0，上递减，cos35 cos4，即 cos2350，又因为1cos x1，显然 3cosx0，所以 xR.图像与性质得出余弦函数的性质能理解余弦函数的定义域值域最值周期性奇偶性的意义会求简单函数的定义域值域最小正周期和单调区间知识梳理问题余弦函数的图像的作法平移法余弦函数的图像可以通过将正弦曲线的图像向平移域为值域为单调增区间为减区间为问题余弦函数的周期奇偶性对称轴和对称中心周期偶函数对称轴为对称中心为问题余弦函数的复合函数的对称轴对称中心和单调区间当时即为对称中心当时即为对称轴学习必备
8、欢迎下载当时求得属像写出时的集合时的集合解用五点法作出的简图过点作轴的平行线从图像中看出在区间与余弦曲线交于区间内时的集合为点在当时若则的集合为过点分别作轴的平行线从图像中看出它们分别与余弦曲线交于点和点那么曲线上夹在对学习必备 欢迎下载 二、填空题 7函数 ycosx 在区间，a上为增函数，则 a 的取值范围是_ 答案(，0 解析 ycosx 在，0上是增函数，在0，上是减函数，只有 解析 cos4710cos5 310cos310，cos449cos5 9cos9，由 ycosx 在0，上是单调递减的，所以 cos310cos449.三、解答题 9若函数 f(x)absinx 的最大值为3
9、2，最小值为12，求函数 y1acosbx 的最值和周期 解析(1)当 b0 时，若 sinx1，f(x)max32；若 sinx1，f(x)min12，即 ab32，ab12.解得 a12，b1.此时 b10 符合题意，所以 y112cosx.(2)当 b0 时，f(x)a，这与 f(x)有最大值32，最小值12矛盾，故 b0 不成立(3)当 b0 时，显然有 ab32，ab12.图像与性质得出余弦函数的性质能理解余弦函数的定义域值域最值周期性奇偶性的意义会求简单函数的定义域值域最小正周期和单调区间知识梳理问题余弦函数的图像的作法平移法余弦函数的图像可以通过将正弦曲线的图像向平移域为值域为单
10、调增区间为减区间为问题余弦函数的周期奇偶性对称轴和对称中心周期偶函数对称轴为对称中心为问题余弦函数的复合函数的对称轴对称中心和单调区间当时即为对称中心当时即为对称轴学习必备欢迎下载当时求得属像写出时的集合时的集合解用五点法作出的简图过点作轴的平行线从图像中看出在区间与余弦曲线交于区间内时的集合为点在当时若则的集合为过点分别作轴的平行线从图像中看出它们分别与余弦曲线交于点和点那么曲线上夹在对学习必备 欢迎下载 解得 a12，b1，符合题意 所以 y112cos(x)112cosx.综上可知，函数 y112cosx 的最大值为32，最小值为12，周期为 2.一、选择题 1将下列各式按大小顺序排列，
11、其中正确的是()Acos0cos12cos1cos30 cos Bcos0cos cos12cos30 cos12cos1cos30 cos Dcos0cos12cos30 cos1cos 答案 D 解析 在0，2上，0126cos12cos6cos10.又 cos cos12cos6cos1cos.2函数 f(x)xcosx 的部分图像是()答案 D 图像与性质得出余弦函数的性质能理解余弦函数的定义域值域最值周期性奇偶性的意义会求简单函数的定义域值域最小正周期和单调区间知识梳理问题余弦函数的图像的作法平移法余弦函数的图像可以通过将正弦曲线的图像向平移域为值域为单调增区间为减区间为问题余弦函数
12、的周期奇偶性对称轴和对称中心周期偶函数对称轴为对称中心为问题余弦函数的复合函数的对称轴对称中心和单调区间当时即为对称中心当时即为对称轴学习必备欢迎下载当时求得属像写出时的集合时的集合解用五点法作出的简图过点作轴的平行线从图像中看出在区间与余弦曲线交于区间内时的集合为点在当时若则的集合为过点分别作轴的平行线从图像中看出它们分别与余弦曲线交于点和点那么曲线上夹在对学习必备 欢迎下载 解析 由 f(x)xcosx 是奇函数，可排除 A，C.令 x4，则 f(4)4cos4280.故答案选 D.二、填空题 3若 cosx2m13m2，且 xR，则 m 的取值范围是_ 答案(，315，解析 2m13m2
13、|cosx|1，|2m1|3 m2|.(2m1)2(3 m2)2.m 3，或 m 15.m(，315，.4设 f(x)的定义域为 R，最小正周期为32.若 f(x)cosx2 x0，sinxx，则 f154_.答案 22 解析 T32，kTk32(kZ)都是 yf(x)的周期，f154f3234f34 sin34sin422.三、解答题 5利用余弦函数的单调性，比较 cos(235)与 cos(174)的大小 分析 利用诱导公式化为0，上的余弦值，再比较大小 解析 cos(235)cos235cos35，图像与性质得出余弦函数的性质能理解余弦函数的定义域值域最值周期性奇偶性的意义会求简单函数的
14、定义域值域最小正周期和单调区间知识梳理问题余弦函数的图像的作法平移法余弦函数的图像可以通过将正弦曲线的图像向平移域为值域为单调增区间为减区间为问题余弦函数的周期奇偶性对称轴和对称中心周期偶函数对称轴为对称中心为问题余弦函数的复合函数的对称轴对称中心和单调区间当时即为对称中心当时即为对称轴学习必备欢迎下载当时求得属像写出时的集合时的集合解用五点法作出的简图过点作轴的平行线从图像中看出在区间与余弦曲线交于区间内时的集合为点在当时若则的集合为过点分别作轴的平行线从图像中看出它们分别与余弦曲线交于点和点那么曲线上夹在对学习必备 欢迎下载 cos(174)cos174cos4.因为 0435cos35，
15、即 cos(235)0，xR.yx的定义域为 R.(2)要使函数有意义，只要 12cosx0，2sinx10，即 cosx12，sinx12.由下图可得 cosx12的解集为x|32kx532k，kZsinx12的解集为x|62k x562k，kZ它们的交集为x|32kx562k，kZ，即为函数的定义域 图像与性质得出余弦函数的性质能理解余弦函数的定义域值域最值周期性奇偶性的意义会求简单函数的定义域值域最小正周期和单调区间知识梳理问题余弦函数的图像的作法平移法余弦函数的图像可以通过将正弦曲线的图像向平移域为值域为单调增区间为减区间为问题余弦函数的周期奇偶性对称轴和对称中心周期偶函数对称轴为对称
16、中心为问题余弦函数的复合函数的对称轴对称中心和单调区间当时即为对称中心当时即为对称轴学习必备欢迎下载当时求得属像写出时的集合时的集合解用五点法作出的简图过点作轴的平行线从图像中看出在区间与余弦曲线交于区间内时的集合为点在当时若则的集合为过点分别作轴的平行线从图像中看出它们分别与余弦曲线交于点和点那么曲线上夹在对学习必备 欢迎下载 7函数 f(x)12a4acosxcos2x(0 x2)的最大值为 2，求实数 a 的值 解析 令 tcosx，由 0 x2，知 0cos x1，即 t0,1 所以原函数可以转化为 yt2at12a4ta22a2412a4，t0,1(1)若a20，即 a0 时，当 t
17、0 时，ymax12a42，解得 a6.(2)若 0a21，即0a2 时，当 ta2时，ymaxa2412a42，解得 a3 或 a2，全舍去(3)若a21，即 a2 时，当 t1 时，ymax1a12a42，解得 a103.综上所述，可知 a6 或103.图像与性质得出余弦函数的性质能理解余弦函数的定义域值域最值周期性奇偶性的意义会求简单函数的定义域值域最小正周期和单调区间知识梳理问题余弦函数的图像的作法平移法余弦函数的图像可以通过将正弦曲线的图像向平移域为值域为单调增区间为减区间为问题余弦函数的周期奇偶性对称轴和对称中心周期偶函数对称轴为对称中心为问题余弦函数的复合函数的对称轴对称中心和单调区间当时即为对称中心当时即为对称轴学习必备欢迎下载当时求得属像写出时的集合时的集合解用五点法作出的简图过点作轴的平行线从图像中看出在区间与余弦曲线交于区间内时的集合为点在当时若则的集合为过点分别作轴的平行线从图像中看出它们分别与余弦曲线交于点和点那么曲线上夹在对