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1、 全等三角形 专题一 全等三角形基本性质【知识点 1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。）【知识点 2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。【知识点 3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题 1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边，CA 与 是对应边；(2)A 与 是对应角，ABC 与 是对应角，BAC 与 是对应角
2、【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习 1】如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)BOD ；(2)ACD .DABCOEABCDC A B B A 【例题 2】已知图 2 中的两个三角形全等，则度数是（）A.72 B.60 C.58 D.50 【例题 3】如图，若111ABCABC，且11040AB ，则1C 【练习 1】如图，ACBAC B，BCB30，
3、则ACA的度数为（）A 20 B30 C35 D40 【练习 2】如图，ABD 绕着点 B 沿顺时针方向旋转 90到EBC，且 ABD90。（1）ABD 和 EBC 是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。（2）若 AB3cm,BC 5cm,你能求出 DE 的长吗？（3）直线 AD 和直线 CE有怎样的位置关系？请说明理由 专题二 全等三角形的判定 -（以图形常见类型为标准）三角形全等的判定方法 1、如图：ABC 与 DEF 中 2、如图：ABC 与 DEF 中 A B C C1 A1 B1 个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合
4、的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等_ _ ABCDEF（SSS ）ABCDEF（SAS ）3、如图：ABC 与 DEF 中 4、
5、如图：ABC 与 DEF 中 _ _ ABCDEF（ASA ）ABCDEF（AAS ）5、如图：Rt ABC 与 Rt DEF 中，90 _ Rt ABC Rt DEF（HL ）【题型一】公共边类型的全等三角形 图形 1 图形 2 图形 3 注意隐含条件 ADAD 隐含条件 ABBA 隐含条件 ACCA 【例 1】在ABC中，AB=AC,AD平分BAC，求证：ABDACD ABCDABCDBCAD DCBA个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三
6、角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等【针对训练】1.已知：如图 BDCD,1 2,求证：B C.2.如图，已知：ADAB，CDCB.求证：BDAC.3.已知：在ABC中，M在BC上，D在AM上，DCDBACAB,（如图）
7、求证：MCMB 4.如图所示，已知CDCBADAB,，E是AC上一点.求证：AEDAEB.5.如图，在ABC中,M 在 BC 上，D 在 AM 上，ABAC,DB DC。求证：MBMC 6.【例 2】如图,ABC DCB,ACB DBC,求证：ACDB.个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一
8、定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 【针对训练】1.已知：（如图）21,DA.求证：DOAO 2.如图：AC BC,AD BD,AD BC,CE AB,DF AB,垂足分别是 E,F，求证：CEDF.【例 3】已知：如图，AB CD，ABCD求证：AD BC 【题型二】边加减类型的全等三角形 图形 1 图形 2 图形 3 图形 4 ABCDCDAEFBADBEFC(1)A
9、BFECD(4)ABF EDC(2)ABEFDC(3)BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE 个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向
10、旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 【例 4】已知点 B,E,C,F 在同一条直线上，ABDF,AC DE,BE CF.求证：A D.【例 5】如图，已知：.,CFBEDEACDFAB求证：DFAB/.【例 6】如图，已知：BFCEDFAECDAB,.求证：（1）DEAF;(2)AE DF.【例 7】已知：如图，A、C、F、D 在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEF 【针对训练】1.已知 A,B,C,D 在同一条直线上，ABCD，DE AF，且 DEAF，求证：AFCDEB.B C D E F A
11、 BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE ADBECF 个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是
12、例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 2.已知 B,E,F,D 在同一条直线上，ABCD,B D,BF DE.求证：（1）AECF,(2)AE CF，(3)AFE CED 3.已知：如图，ABDC,AC DB,BE CE.求证：AEDE.【题型三】公共角类型的全等三角形 右图中全等的三角形有 写出他们所有的对应边与对应角 【例 7】如图，AB=AC,BE 和 CD相交于 P，PB=PC,求证：PD=PE.个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角
13、形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等【针对训练】1.如图，已知：21，AEAD.求证：OCO
14、B.2、已知：如图，PMPN，M N求证：AMBN 3.如图，已知：BECD，B C，求证：1 2。4.已知：如图，ABAC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BECD 5.已知：如图 ABC 中，BD AC，CE AB，BD、CE 交于 O 点，且 BDCE 求证：OBOC.6.如图，已知点 D、E 分别是线段 AB、AC 上的点，ABAC，ADAE.求证：CDE BED.A E D B C O 1 2 A C B D E F 个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知
15、识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等DFCOAEB 【题型四】对顶角类型的全等三角形 图形 1 图形 2 【例 8】如图 1，已知：AB=CD，AD=CB.求证：B
16、=D.【针对训练】已知：如图，ACBD，ADAC，BCBD 求证：ADBC；【例 9】如图，两条直线 AC,BD 相交于 O，BO=DO,AO=CO，直线 EF 过点 O 且分别交 AB、CD 于点E,F，求证：OE=OF 【针对训练】1、如图 4，AB DE，AB=DE，1=2.求证：BG=DF.个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法
17、有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 2.如图已知：AB=CD，AD=BC，O 是 BD 中点，过 O 点的直线分别交 DA 和 BC 的延长线于 E，F.求证：AE=CF.【题型五】旋转类型的全等三角形 图形 1 图形 2 图形 3 图形 4 【例 10】已知：如图(1)，AB=AD，BC=DE，1=2.求证：(1)AC=AE
18、；(2)CAE=CDE.【针对训练】1.如图，点 E 在 ABC 的外部，点 D 在 BC 边上，DE 交 AC 于点 F，若 1=2=3，AC=AE，求证：AB=AD。D F C O B A E EDCBANMFEDCBAEDCBA个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的
19、对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 2.已知：如图，ABAD，ACAE，1 2求证：BCDE 【例 11】已知：如图(2)，E=F=90，B=C，AE=AF，给出下列结论：1=2；BE=CF；CANABM；CD=DN.其中正确的结论是_.【例 12】如图，已知 AB=AD，B=D，1=2，证明：BC=DE 【针对训练】1.如图，在 ABE 中，ABAE,ADAC,BAD EAC,BC、DE
20、交于点 O.求证：(1)ABCAED；(2)OB OE.OCEBDA个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对
21、应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 2.如图，已知：ED，AMEMCNDN.求证：点B是线段AC的中点.【例 13】已知 A、C、B 共线，ACD 和 BCE 为等边三角形，直线 BD、AE 交与 F，AE、CD 相较于点 M，BD、AE 相较于点 N。如图 1，求证：AE=BD 求 AFB 的度数 求证：CM=CN 求证：MN AB 求线段 BF、EF、CF 的关系 【题型六】大山型的全等三角形 【例 14】已知：如图，AB CD,ED BD，AB=CD，BC=DE，求证：AC CE.NMFECDAB个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识
22、点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 【针对训练】1、已知：如图，在MPN中，H是
23、高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.2已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC 求证：EDAC 3.已知，如图 14，在 ABC 中，AD BC，AD=BD，E 是 AD 上一点，ED=CD，连结 BE 并延长交 AC 于 F，求证：BE=AC，BE AC.4.已知，如图 7，AD 为 ABC 的高，E 为 AC 边上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC，FD=CD.求证：（1）BE AC；（2）若把条件 BF=AC 和结论 BE AC 互换，那么这个命题成立吗？5.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，ABCB，EBDB，ABCEBD9
24、0），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论 个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指
25、出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 6.如图所示：在 ABC 和 DBC 中，ACB=DBC=90,E 是 BC 的中点，EF AB,垂足为 F，且 AB=DE.（1）求证：BD=BC;（2）若 BD=8cm，求 AC 的长.【题型七】以等腰直角三角形为背景的全等三角形 【例 15】如图，在ABC中，ACB90，ACBC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EFAEBF （2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间
26、的关系ADBD；ADBD；ADBD CEBAFD个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求
27、出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 【题型八】角的平分线的性质 1如图，CDAB，BEAC，垂足分别为 D，E，BE，CD 相交于点 O，OB=OC 求证1=2 2如图，OC 是AOB 的平分线，P 是 OC 上的一点，PDOA 交 OA 于 D，PEOB 交 OB 于 EF 是OC 上的另一点，连接 DF，EF求证 DF=EF 3如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEAB，个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形
28、的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等DFAC，垂足分别是 E，F，BE=CF 求证：AD 是ABC 的角平分线 4如图,在 ABC 中,A90,BD 平分 B,DEBC 于 E,且 BEEC,(1)求ABC 与C 的度数；(
29、2)求证：BC2AB.【题型九】倍长中线与截长补短法 1在ABC 中，AB=5，AC=3，AD 为 BC 边的中线，则 AD 的长 的取值范围是（）.A.14 B.35 C.23 D.0AC，D、E 分别在 AB、AC 上，且 BD=CE,BCD=CBE，BE、CD 相交于 O 点，求BOC 的度数.6 ABC 中，D 是 BC 中点，DEDF，E 在 AB 边上，F 在 AC 边上，判断并证明 BE+CF 与 EF 的大小？.7已知：如图，在ABC 中，A=90，AB=AC，1=2，求证：BC=AB+AD（分别用截长法和补短法各证一次）8已知，如图，在正方形 ABCD 中 AB=AD，BD9
30、0 （1）如果 BEDFEF，求证：EAF45；FA 平分DFE （2）如果EAF45，求证：BEDFEFFA 平分DFE ABCDEFABCDEFA 2 1 C B D 个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形
31、全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 （3）如果点 F 在 DC 的延长线上，点 E 在 CB 的延长线上，且 DFBE EF，求证：EAF45；FA 平分DFE（画图并证明）【题型十】压轴题中的坐标系与三角形全等 1已知：C 点的坐标为（4，4），A 为 y 轴负半轴上一动点，连 CA，CBCA 交 x 轴于 B。求证：CACB；问 OBOA 是否为定值，是定值并求其定值。2已知 A（4，0），B（0，4），C（0，4），过 O 作 OMON 分别交
32、AB、AC 于 M、N 两点。求证：OMON；ABCO个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若
33、你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等 连 MN，MN 交 x 轴于 Q，若 M 点的纵坐标为 3，求 M 与 N 的坐标。ABCOXYMNQ个三角形的大小和形状完全一样与他们的位置没有关系知识点两个三角形重合在一起重合的顶点叫做对应顶点重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角知识点全等三角形的对应边相等对应角相等由定义还可知道全等三角形的周长相与是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与是对应角方法总结在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法有公共边的公共边一定是对应边有公共角的公共角一定是对应角有对顶角的对顶角是对应角在两个全等三角形中最长的例题已知图中的两个三角形全等则度数是例题如图若且则练习如图则的度数为练习如图绕着点沿顺时针方向旋转到且和是否全等如果全等请指出对应边与对应角若你能求出的长吗直线和直线有怎样的位置关系请说明理由专题二全等