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1、绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1. 已知集合，则_.2. 已知且满足，求_.3. 已知向量，则与的夹角为_.4. 已知
2、二项式，则展开式中含项的系数为_.5. 已知x、y满足，求的最小值为_.6. 已知函数周期为，且当，则_.7. 若，且，则的最大值为_.8. 已知数列前n项和为，且满足，则_.9. 过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，则_.10. 某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_.11. 已知数列满足（），在双曲线上，则_.12. 已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则_.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）A. B. C. D. 14. 一个直角三角形的两条直
3、角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 15. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）A. B. C. D. 16. 已知.存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第四象限；A. 均正确； B. 均错误； C. 对，错； D. 错，对；三.解答题（本大题共5题，共76分）17. （本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，.（1）求直线与平面的夹角；（2）求点到平面的距离.18.（本题满分14分）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，有零点，求的范围.19.（本题满分1
4、4分）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，.（1）求长度；（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）20.（本题满分16分）已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.（1）若AB垂直于轴时，求；（2）当时，在轴上方时，求的坐标；（3）若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分）数列有项，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.（1）若，求可能的值；（2）若不为等差数列，求证：中存在满足性质；（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择
5、题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1.已知集合，则_.【思路分析】然后根据交集定义得结果【解析】：根据交集概念，得出：.【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2.已知且满足，求_.【思路分析】解复数方程即可求解结果【解析】：，.【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础3.已知向量，则与的夹角为_.【思路分析】根据夹角运算公式求解【解析】：.【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础4.已知二项式，则展开式中含项的系数为_.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含项的的项，再求系数【解析】：令，则，系数为.【归纳与总结】本题
6、主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础5.已知x、y满足，求的最小值为_.【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当，时，. 【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6.已知函数周期为，且当，则_.【思路分析】直接利用函数周期为1，将转到已知范围内，代入函数解析式即可【解析】：.【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题7.若，且，则的最大值为_.【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有的式子求解【解析】：法一：，；法
7、二：由，（），求二次最值.【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题8.已知数列前n项和为，且满足，则_.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.【解析】：由得：（） 为等比数列，且， .9.过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，则_.【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得：，设M坐标有：，代入有：即：.【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题10某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.【解析】
8、：法一：（分子含义：选相同数字选位置选第三个数字）法二：（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题11.已知数列满足（），在双曲线上，则_.【思路分析】利用点在曲线上得到关于n的表达式，再求极限.【解析】：法一：由得：，利用两点间距离公式求解极限。法二（极限法）：当时，与渐近线平行，在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：，所以.【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题12.已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则_.【思路分析】【解析】：【归纳与总结】二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直线
9、方程的一个方向向量可以是（ ）B. B. C. D. 【思路分析】根据直线的斜率求解.【解析】：依题意：为直线的一个法向量， 方向向量为，选D.【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）B. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【思路分析】根据直线的斜率求解.【解析】：依题意：，选B.15.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）B. B. C. D. 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验的奇偶性，选C
10、；法二：，若为偶函数，则，且也为偶函数（偶函数偶函数=偶函数）， ，当时，选C.16.已知.存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第四象限；B. 均正确； B. 均错误； C. 对，错； D. 错，对；【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令和，求看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.法二：解：设，则原式可化为，整理得，以为主元，则要使方程有解，需使有解，令，则恒成立函数在上单调递减，又存在使，当时设方程的两根分别为，当时，故必有一负根，对；当时，故两根均为负根，错；选D.
11、三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，.（1）求直线与平面的夹角；（2）求点到平面的距离.【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面的法向量求解.【解析】：（1）依题意：，连接AC，则与平面ABCD所成夹角为； ，为等腰直角，； 直线与平面的夹角为.（2） 法一（空间向量）：如图建立坐标系：则：，求平面的法向量：，得：A到平面的距离为：法二（等体积法）：利用求解，求时，需要求出三边长（不是特殊三角形），利用求解.【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
12、位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18.（本题满分14分）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，有零点，求的范围.【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与值域.【解析】：（1）当时，；代入原不等式：；即：移项通分：，得：；（2） 依题意：在上有解参编分离：，即求在值域，在单调递增，；，故：.【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化与划归思想的应用19.（本题满分14分）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，.（1）求长度；（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）【思路分析
13、】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形.【解析】：（1）依题意：，弧BC所在圆的半径弧BC长度为：km（2）根据正弦定理：，求得：，kmCD=36.346km D到海岸线最短距离为35.752km.【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想的应用20.（本题满分16分）已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.（1）若AB垂直于轴时，求；（2）当时，在轴上方时，求的坐标；（3）若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【思路分析】直接求出A,B坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.
14、根据面积关系转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程.【解析】：（1）依题意：，当ABx轴，则坐标， （2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：；又：，即所以A在短轴端点，即直线（即）方程为：，联立：，得.法二（常规）：依题意：设坐标， （注意：用点更方便计算）则有：又A在椭圆上，满足：，即： ，解出：，B点坐标求解方法同法一，.（3） 设坐标，直线l：（k不存在时不满足题意）则：；联立方程：，韦达定理：由直线方程：得M纵坐标：；由直线方程：得N纵坐标：；若，即 ，代入韦达定理：得：，解出： 存在直线或满足题意.【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计
15、算能力，属于中档题21.（本题满分18分）数列有项，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.（1）若，求可能的值；（2）若不为等差数列，求证：中存在满足性质；（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.【思路分析】根据定义式子代入即可求解；通过证明逆否命题证明；去掉具有P性质三项，求和 【解析】：（1）可能的值为3,5,7；（2）要证明中存在满足性质，即证明：若数列中不存在满足性质的项，则为等差数列（原命题的逆否命题）显然时，满足性质，不成立；时，同理时，不成立；时，所以以此类推，其中时不成立只有，即成立，即为等差数列，即得证明：不为等差数列，中存在满足性质（3）将数列中具有性质P的三项去掉，形成一个新数列时，且中元素满足性质P的项，根据（2）为等差数列，所以即又因为三项去掉和为c，所以【归纳与总结】本题考查新定义“性质”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布