《2016年上海市高考数学真题(理科)试卷(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年上海市高考数学真题(理科)试卷(含解析).pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、绝密绝密启用前启用前2012016 6 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（理工农医类）（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意考生注意1.1.本场考试时间本场考试时间 120120 分钟，试卷共分钟，试卷共 4 4 页，满分页，满分 150150 分，答题纸共分，答题纸共 2 2 页页.2.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置题纸指定位置.3.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域所有作答务必填涂或书写在
2、答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位不得错位.在试卷上作答一在试卷上作答一律不得分律不得分.4.4.用用 2B2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1414 题，满分题，满分 5656 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得结果，每个空格填对得 4 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.1设 xR,则不等式13 x的解集为_2设32izi，其中i为虚数单位，则Imz=_3已知平行直线012:,01
3、2:21yxlyxl，则 l1与 l2的距离是_4某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_（米）5已知点(3,9)在函数xaxf1)(的图像上，则_)()(1xfxf的反函数6如图，在正四棱柱1111DCBAABCD中，底面ABCD的边长为 3，1BD与底面所成的角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于_7方程3sin1 cos2xx 在区间0,2上的解为_.8在nxx23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_9已知ABC的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等
4、于_10设.0,0ba若关于,x y的方程组11axyxby，无解，则ba的取值范围是_11 无穷数列 na由 k 个不同的数组成，nS为 na的前 n 项和.若对任意Nn，3,2nS，则 k 的最大值为_.12在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是曲线21xy上一个动点，则BABP的取值范围是_.13.设,0,2a bR c.若对任意实数x都有cbxaxsin33sin2，则满足条件的有序实数组cba,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O 为正八边形821AAA的中心，0,11A.任取不同的两点jiAA,，点 P 满足0jiOAOAOP，则点 P 落在第
5、一象限的概率是_.二、二、选择题选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设Ra，则“1a”是“12a”的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（）.（A）cos56（B）65sin（C）cos56（D）65sin17.已知无穷等比数列 na的公比为q，前 n 项和为nS，且SSnnlim.下列条件中，使得2NnSS n恒成立的是（）.（A）7.06.0,01qa（B）6.07.0,01qa
6、（C）8.07.0,01qa（D）7.08.0,01qa18设()f x、()g x、()h x是定义域为 R 的三个函数，对于命题：若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均是增函数，则()f x、()g x、()h x中至少有一个增函数；若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均是以T为周期的函数，则()f x、()g x、()h x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.（A）和均为真命题（B）和均为假命题（C）为真命题，为假命题（D）为假命题，为真命题三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须 在答题纸相应编
7、号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 6 分.将边长为 1 的正方形11AAOO（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧.（1）求三棱锥111CO AB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小.20（本题满分 14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2
8、S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38.设M是C上纵坐标为 1 的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值.21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为12FF、，直线l过2F且与双
9、曲线交于AB、两点.（1）若l的倾斜角为2，1F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b，若l的斜率存在，且11()0F AF BAB，求l的斜率.22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.已知aR，函数21()log()f xax.（1）当5a 时，解不等式()0f x；（2）若关于x的方程2()log(4)250f xaxa的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1,12t，函数()f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值范围.23.（本题满
10、分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.若无穷数列 na满足：只要*(,N)pqaap q，必有11pqaa，则称 na具有性质P.（1）若 na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa，67821aaa，求3a；（2）若无穷数列 nb是等差数列，无穷数列 nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc，判断 na是否具有性质P，并说明理由；（3）设 nb是无穷数 列，已知*1sin(N)nnnaba n.求证：“对任意1,naa都具有性质P”的充要条件为“nb是常数列”.考生注意考生注意：1.本
11、试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分.考试时间 120 分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1414 题，满分题，满分 5656 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得结果，每个空格填对得 4 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.1设 xR,则不等
12、式13 x的解集为_【答案】（2,4）【解析】试题分析：由题意得：1x31，解得2x4.考点：绝对值不等式的基本解法.2设32izi，其中i为虚数单位，则Imz=_【答案】-3【解析】试题分析：32i23,Im z=3.izi考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则l1与 l2的距离是_【答案】2 55【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得122222|cc|1 1|2 5d5ab21.考点：两平行线间距离公式.4某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是
13、_（米）【答案】1.76考点：中位数的概念.5已知点(3,9)在函数xaxf1)(的图像上，则_)()(1xfxf的反函数【答案】2log(1)x【解析】试题分析：将点（3，9）代入函数 xf x1 a 中得a2，所以 xf x12，用y表示x得2xlog(y 1)，所以 12log(fxx1).考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.6如图，在正四棱柱1111DCBAABCD中，底面ABCD的边长为 3，1BD与底面所成的角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于_【答案】2 2【解析】试题分析：连结 BD，则由题意得111122tan2 2333 2DDDDDBDDDBD.考点：线面
14、角7方程3sin1 cos2xx 在区间0,2上的解为_.【答案】566，【解析】试题分析：化简3sinx1 cos 2x 得：23sinx22sin x，所以22sin x3sinx20，解得1sinx2或sinx2（舍去），又0,2x，所以566x或.考点：二倍角公式及三角函数求值.8在nxx23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_【答案】112【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为n2，即n2256，所以n8，又二项展开式的通项为8 4rr8 rrrr33 3r 1882TC(x)()(2)C xx，令84r033，所以r2，所以3T112
15、，即常数项为 112.考点：二项式定理.9已知ABC的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_【答案】7 33【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边 7 所对应角的余弦值为22235712 3 52 ，所以此角的正弦值为32，由正弦定理得72R32,所以7 3R3.考点：正弦、余弦定理.10设.0,0ba若关于,x y的方程组11axyxby，无解，则ba的取值范围是_【答案】2+（，）【解析】试题分析：将方程组中上面的式子化简得y1 ax，代入下面的式子整理得(1 ab)x1 b，方程组无解应该满足1 ab0且1 b0，所以ab1且b1，所以由基本不等式得ab2 ab2，即
16、ba的取值范围是2+（，）.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.11 无穷数列 na由 k 个不同的数组成，nS为 na的前 n 项和.若对任意Nn，3,2nS，则 k 的最大值为_.【答案】4考点：数列的项与和.12在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是曲线21xy上一个动点，则BABP的取值范围是_.【答案】0,1+2【解析】试题分析：由题意设(cos,sin)P,0,，则(cos,1 sin)BP，又(1,1)BA ，所以=cossin1=2sin()+1 0,124BP BA .考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13.设,0,2a bR c.若对任
17、意实数x都有cbxaxsin33sin2，则满足条件的有序实数组cba,的组数为.【答案】4【解析】试题分析：当2a 时，5sin(3)sin(32)sin(3)333xxx，5(,)(3,)3b c，又4sin(3)sin(3)sin(3)333xxx，4(,)(3,)3b c ，注意到0,2)c，所以只有 2 组：5(2 3,)3，,4(23,)3，满足题意；当2a 时，同理可得出满足题意的cba,也有 2 组，故共有 4 组.考点：三角函数14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O 为正八边形821AAA的中心，0,11A.任取不同的两点jiAA,，点 P 满足0jiOAOAOP，则点 P
18、 落在第一象限的概率是_.【答案】528【解析】试题分析：共有2828C 种基本事件，其中使点 P 落在第一象限的情况有2325C 种，故所求概率为528.考点：古典概型三、三、选择题选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设Ra，则“1a”是“12a”的（）.（B）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111aaaaa 或，所以“1a”是“12a”的充分非必要条件，选A.考点：充要条件17.下列极坐标方程
19、中，对应的曲线为如图的是（）.（B）cos56（B）65sin（C）cos56（D）65sin【答案】D【解析】试题分析：依次取30,22，结合图形可知只有65sin满足，选 D.考点：极坐标方程18.已知无穷等比数列 na的公比为q，前 n 项和为nS，且SSnnlim.下列条件中，使得2NnSS n恒成立的是（）.（B）7.06.0,01qa（B）6.07.0,01qa（C）8.07.0,01qa（D）7.08.0,01qa【答案】B考点：1.数列的极限；2.等比数列求和.18设()f x、()g x、()h x是定义域为 R 的三个函数，对于命题：若()()f xg x、()()f xh
20、 x、()()g xh x均是增函数，则()f x、()g x、()h x中至少有一个增函数；若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均是以T为周期的函数，则()f x、()g x、()h x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.（A）和均为真命题（B）和均为假命题（C）为真命题，为假命题（D）为假命题，为真命题m【答案】D【解析】试题分析：因为()g(x)()(x)g()(x)()2f xf xhxhf x，所以(+)g(+)(+)(+)g(+)(+)(+)2f x Tx Tf x Th x Tx Th x Tf x T,又()()f xg x、()()f x
21、h x、()()g xh x均是以T为周期的函数，所以()g()()()g()()(+)=()2f xxf xh xxh xf x Tf x，所以()f x是周期为T的函数，同理可得()g x、()h x均是以T为周期的函数，正确；()f x、()g x、()h x中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以不正确.选 D.考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出
22、必要的步骤.19.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 6 分.将边长为 1 的正方形11AAOO（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧.（1）求三棱锥111CO AB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小.【答案】（1）312；（2）4.【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r，1113 ，再由三角形面积公式计算111S 后即得.（2）设过点1的母线与下底面交于点，根据11/，知1C 或其补角为直线1C与1所成的角，再结合题设条件确定C3 ，
23、C1 得出1C4 即可试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r 由11 的长为3，可知1113 111111111113sin24S ，111111C13V312Sh 从而直线1C与1所成的角的大小为4考点：1.几何体的体积；2.空间角.来20（本题满分 14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标
24、系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.（3）求菜地内的分界线C的方程;（4）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38.设M是C上纵坐标为 1 的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值.【答案】（1）24yx（02y）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S面积的“经验值”【解析】试题分析：（1）由C上的点到直线与到点F的距离相等，知C是以F为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积
25、与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可试题解析：（1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为24yx（02y）（2）依题意，点的坐标为1,14所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.双曲线
26、2221(0)yxbb的左、右焦点分别为12FF、，直线l过2F且与双曲线交于AB、两点.（1）若l的倾斜角为2，1F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b，若l的斜率存在，且11()0F AF BAB，求l的斜率.【答案】（1）2yx；（2）155.【解析】试题分析：（1）设,xy，根据题设条件得到244 13bb，从而解得2b的值（2）设11,x y，22,xy，直线:l2yk x与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l与双曲线交于两点，可得230k，且236 10k 再设的中点为,xy，由11FF0 即1F0 ，从而得到1F1kk，进而构建关于k的方程求解即可试题解析：
27、（1）设,xy由22132yxyk x，得222234430kxk xk因为l与双曲线交于两点，所以230k，且236 10k 设的中点为,xy由11FF0 即1F0 ，知1F ，故1F1kk 而2122223xxkxk，2623kyk xk，1F2323kkk，所以23123kkk，得235k，故l的斜率为155考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.已知aR，函数21()log()f xax.（1）当5a 时，解不等式()0f
28、 x；（2）若关于x的方程2()log(4)250f xaxa的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1,12t，函数()f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值范围.【答案】（1）1,0,4x ；（2）1,23,4；（3）2,3【解析】试题分析：（1）由21log50 x，得151x，从而得解（2）将其转化为24510axax，讨论当4a、3a 时，以及3a 且4a 时的情况即可（3）讨论 f x在0,上的单调性，再确定函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值之差，从而得到2110atat，对任意1,12t成立试题解析：（1）由21l
29、og50 x，得151x，解得1,0,4x （2）1425aaxax，24510axax，当4a 时，1x ，经检验，满足题意当3a 时，121xx，经检验，满足题意当3a 且4a 时，114xa，21x ，12xx1x是原方程的解当且仅当110ax，即2a；2x是原方程的解当且仅当210ax，即1a 于是满足题意的1,2a综上，a的取值范围为1,23,4因为0a，所以函数211yatat在区间1,12上单调递增，12t 时，y有最小值3142a，由31042a，得23a 故a的取值范围为2,3考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.23.（本题满分 18 分）本题共有
30、3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.若无穷数列 na满足：只要*(,N)pqaap q，必有11pqaa，则称 na具有性质P.（1）若 na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa，67821aaa，求3a；（2）若无穷数列 nb是等差数列，无穷数列 nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc，判断 na是否具有性质P，并说明理由；（3）设 nb是无穷数列，已知*1sin(N)nnnaba n.求证：“对任意1,naa都具有性质P”的充要条件为“nb是常数列”.【答案】（1）16；（2）na不具有性质，理由见解
31、析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332aaaa，结合67821aaa求解即可（2）根据 nb的公差为20，nc的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nnnnabcn通过计算1582aa，248a，63043a，26aa，即知 na不具有性质（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明试题解析：（1）因为52aa，所以63aa，743aa，852aa于是678332aaaa，又因为67821aaa，解得316a（2）nb的公差为20，nc的公比为13，所以12012019nbnn，1518133nnnc520193nnnnabcn1582aa，但248a，63043a，26aa，所以 na不具有性质证（3）充分性：当 nb为常数列时，11sinnnaba对任意给定的1a，只要pqaa，则由11sinsinpqbaba，必有11pqaa充分性得证必要性：用反证法证明假设 nb不是常数列，则存在k，使得12kbbbb，而1kbb下面证明存在满足1sinnnnaba的 na，使得121kaaa，但21kkaa设 sinf xxxb，取m，使得mb，则0f mmb，0fmmb，故存在c使得 0f c 考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.