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1、绝密绝密启用前启用前2012017 7 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）1 1、考生注意考生注意2 2、1.1.本场考试时间本场考试时间 120120 分钟，试卷共分钟，试卷共 4 4 页，满分页，满分 150150 分，答题纸共分，答题纸共 2 2 页页.3 3、2.2.作答前作答前，在答题纸正面填写姓名在答题纸正面填写姓名、准考证号准考证号，反面填写姓名反面填写姓名，将核对后的条形码贴在将核对后的条形码贴在答题纸指定位置答题纸指定位置.4 4、3.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位所有作答务必填涂或
2、书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作在试卷上作答一律不得分答一律不得分.5 5、4.4.用用 2B2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，满分满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分）1.已知集合1,2,3,4A，集合3,4,5B，则AB 2.若排列数66 5 4mP，则m 3.不等式11xx的解集为4.已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于5.已知复数z满足30zz，则|z6.设双曲
3、线22219xyb(0)b 的焦点为1F、2F，P为该双曲线上的一点，若1|5PF，则2|PF7.如图，以长方体1111ABCDABC D的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8.定义在(0,)上的函数()yf x的反函数为1()yfx，若31,0()(),0 xxg xf xx为奇函数，则1()2fx的解为9.已知四个函数：yx；1yx；3yx；12yx.从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10.已知数列na和 nb，其中2nan，*nN，nb的项是互不相等的正整数，
4、若对于任意*nN，nb的第na项等于na的第nb项，则1 4 9 161 2 3 4lg()lg()bb b bbb b b11.设1a、2a R，且121122sin2sin(2)，则12|10|的最小值等于12.如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点1P、2P、3P、4P以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合1234,P P P P，点P，过P作直线Pl，使得不在Pl上的“”的点分布在Pl的两侧.用1()PD l和2()PD l分别表示Pl一侧和另一侧的“”的点到Pl的距离之和.若过P的直线Pl中有且只有一条满足12()()PPD lD l，则中所有这样的P为二二.选择题（本
5、大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分）13.关于x、y的二元一次方程组50234xyxy的系数行列式D为（）A.0543B.1024C.1523D.605414.在数列na中，1()2nna ，*nN，则limnna（）A.等于12B.等于 0C.等于12D.不存在15.已知a、b、c为实常数，数列nx的通项2nxanbnc，*nN，则“存在*k N，使得100 kx、200 kx、300 kx成等差数列”的一个必要条件是（）A.0a B.0b C.0c D.20abc16.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221:1364xyC和222:19yCx.P
6、为1C上的动点，Q为2C上的动点，w是OP OQ 的最大值.记(,)|P QP 在1C上，Q在2C上，且OP OQw ，则中元素个数为（）A.2 个B.4 个C.8 个D.无穷个三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=76 分）分）17.如图，直三棱柱111ABCABC的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4和 2，侧棱1AA的长为 5.（1）求三棱柱111ABCABC的体积；（2）设 M 是 BC 中点，求直线1AM与平面ABC所成角的大小.18.已知函数221()cossin2f xxx，(0,)x.（1）求()f x的单
7、调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角 A 所对边19a，角 B 所对边5b，若()0f A，求ABC 的面积.19.根据预测，某地第n*()nN个月共享单车的投放量和损失量分别为na和nb（单位：辆），其中4515,1310470,4nnnann，5nbn，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量24(46)8800nSn（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22
8、:14xy，A为的上顶点，P为上异于上、下顶点的动点，M为 x 正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且|2OP，求P的坐标；（2）设8 3(,)5 5P，若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标；（3）若|MAMP，直线 AQ 与交于另一点 C，且2AQAC，4PQPM ，求直线AQ的方程.21.设定义在R上的函数()f x满足：对于任意的1x、2x R，当12xx时，都有12()()f xf x.（1）若3()1f xax，求a的取值范围；（2）若()f x为周期函数，证明：()f x是常值函数；（3）设()f x恒大于零，()g x是定义在R上、恒大于零的周期函数，
9、M是()g x的最大值.函数()()()h xf x g x.证明：“()h x是周期函数”的充要条件是“()f x是常值函数”.2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海年普通高等学校招生全国统一考试上海-数学试卷数学试卷考生注意1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一一、填空题填空题（本大
10、题共有本大题共有 1212 题题，满分满分 5454 分分，第第 1-61-6 题每题题每题 4 4 分分，第第7-127-12 题每题题每题 5 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合1,2,3,4,3,4,5AB,则AB.【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题【答案】3,42.若排列数6P6 5 4m,则m.【解析】本题考查排列的计算，属于基础题【答案】33.不等式11xx的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题【答案】,04.已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概
11、念，343633RR,所以29SR，属于基础题【答案】95.已知复数z满足30zz，则z.【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，2303zzz 设zabi，则22230,3ababiabi ,22zab，属于基础题【答案】36.设双曲线222109xybb的焦点为12FF、,P为该双曲线上的一点.若15PF,则2PF.【解 析】本 题 考 查 双 曲 线 的 定 义 和 性 质，1226PFPFa（舍），2122611PFPFaPF【答案】117.如图，以长方体1111ABCDABC D的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为(4,3,2)
12、,则1AC 的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得11(4 0 0)(0 3,2)(4 3 2)ACAC ，,属于基础题【答案】(4 3 2)，8.定义在(0,)上的函数()yf x的反函数-1()yfx.若31,0,()(),0 xxg xf x x为奇函数，则-1()=2fx的解为.【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题10,0,()31()()13xxxxgxg xg x ,所以1()13xf x ,当2x 时，8()9f x,所以18()29f【答案】89x 9.已知四个函数：yx；1yx；3yx；12yx.从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数
13、的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有：42C6种，符合题意的就两种：和，和【答案】1310.已知数列na和nb,其中2,Nnann，nb的项是互不相等的正整数.若对于任意Nnnb，中的第na项等于na中的第nb项，则1 4 9 161 2 3 4lglgbb b bbb b b.【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得：222222114293164(),nnabnnbabbbbbbbbbb，所以21 4 9 161 2 3 41 2 3 41 2 3 4lglg=2lglgbb b bbb b b
14、bb b bbb b b【答案】211.设12R，,且121122sin2sin(2)，则1210的最小值等于.【解析】考查三角函数的性质和值域，121111,1,12sin32sin(2)3，要使121122sin2sin(2)，则111122221=122sin2,1=12sin(2)4kk kZk 1212minmin31010(2)44kk,当122=11kk时成立【答案】412.如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点1234,P P P P以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处.设集合1234=,P P P P，点P.过P作直线Pl，使得不在Pl上的“”的点分布在Pl的两侧.用
15、1()PD l和2()PD l分别表示Pl一侧和另一侧的“”的点到Pl的距离之和.若过P的直线Pl中有且只有一条满足12()=()PPD lD l，则中所有这样的P为.【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。四个标记为“”的点的坐标分别为(0,3),(1,0),(4,4),(7,1),设过P点的直线为：0axbyc,此时有向距离1234222222223447,bcacabcabcddddabababab，且由1234+12840320ddddabcabc则过1P的直线满足40bc;此时234abcb ,直线为：2240(4)033bxbybbxy：所以此时满足题意的直线
16、为：24=03xy则过2P的直线满足320abc;此时有无数组解，例如：直线3x，直线2y 等都满足题意.则过3P的直线满足420abc;此时02acb，直线为：20(2)0bybb y,所以此时满足题意的直线为：2=0y.则 过4P的 直 线 满 足660abc;此 时432abcb,直 线 为：4420(2)033bxbybbxy：所以此时满足题意的直线为：4203xy【答案】134,P P P二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 4 题，满分题，满分 2020 分，每题分，每题 5 5 分）每题有且只分）每题有且只有一个正确选项有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表
17、正确选项的小考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑方格涂黑.13.关于xy、的二元一次方程组50234xyxy，的系数行列式D为（）A0543B1024C1523D6054【答案】C14.在数列na，1,N,2nnan 则limnna（）.A等于12B等于 0C等于12D不存在【答案】B15已知abc、为实常数，数列nx的通项2*,Nnxanbnc n，则“存在*Nk,使得100200300,kkkxxx成等差数列”的一个必要条件是（）A0a B0b C0c D20abc【答案】A16在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221:1364xyC和222:+19yCx.P为1C上的动点
18、，Q为2C上的动点，是OP OQ 的最大值.记=,|P QP在1C上，Q在2C上，且=OP OQ ，则中（）A元素个数为 2B元素个数为 4C元素个数为 8D含有无穷个元素【答案】D17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如图，直三棱柱111ABCABC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为 4 和三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7676 分）解答下列各题必须在分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤答题纸的相应位置写出必要的步骤.2，侧棱1AA的长为 5.（1）求三棱柱111ABCABC的体积
19、；（2）设M是BC中点，求直线1AM与平面ABC所成角的大小。【答案】（1）1 1 112 45202ABCA B CV（2）arctan518（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知函数 221cossin,0,2fxxxx.（1）求 f x的单调递增区间；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对的边19a，角B所对的边5b.若 0f A，求ABC的面积.【答案】（1）,2（2）15 34ABCS19（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）根据预测，某地第n*Nn个月共享单车的投放量和损失量分别为na和nb（单位：辆），其中
20、4515,13,10470,4,nnnann5nbn.第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地第 4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量24468800nSn（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935（2）214,1102,2514,311919815,422nnQnnnn，所以当42n 时Q取最大值，为 8782此时2424 42468800=87368782S，所以当Q取最大值时，停放点不能容纳20（本题满分 16 分，第 1 小题满分
21、4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:14xy，A为的上顶点，P为上异于上、下顶点的动点.M为x正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且2OP，求P的坐标；（2）设8 3,5 5P.若以APM、为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若MAMP,直线AQ与交于另一点 C，且2AQAC，4PQPM ，求直线AQ的方程.【答案】（1）2 36,33P；（2）29,020M或3,05M或1,0M；（3）5110yx解析（3）点P是上一动点，设2cos,sinP，,0M t，0t，,qqQ xy，,ccC x y，且0,1A。记线段
22、AP中点为点,nnN xy，则sin1cos,2N4PQPM ，34PQQM ，42cos346cos4134sin033sin413qqtxty，46cos,3sinQt；又2AQAC，ACCQ，C是AQ中点，1323cos,sin22Ct又C 是上的一点，22223cos1 3sin1236 cos3sin044ttt MAMP，MAP为等腰三角形，N为底边AP中点，MNAP sin1cos,2MNt，2cos,sin1AP，12coscossin1 sin102MN APt 24coscoscos0cos4cos4cos0tt（1）若cos0，则0,sinP，由P不在上顶点可知，sin1
23、，P为下顶点，sin1，0,1P2223 603103ttt ，无解；（2）cos0，则33cos40cos04tt，cos022332cos36coscos3sin09sin8sin1044 1sin9 或1（舍），4 5cos9，34 55493t 4 5 1,33Q，1153104 503AQk，直线 AQ 方程5110yx21（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）设定义在R上的函数 f x满足：对于任意的12Rxx，当12xx时，都有 12f xf x.（1）若 31f xax，求a的取值范围；（2）若 f x是周期函数，求
24、证：f x是常值函数；（3）若 f x恒大于零.g x是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是 g x的最大值.函数 h xf x g x，证明：“h x是周期函数”的充要条件是“f x是常值函数”.【答案】（1）记12xx，若 12f xf x，31f xax则3312120fxfxa xx，12xx，33120 xx，0a（2）若 f x是周期函数，记其周期为kT，任取0 xR，则有00kf xf xT又由题意，对任意00,kxx xT,00kf xf xf xT，00kf xf xf xT又00,kf xf xnTnZ，并且 0000000000.3,22,2.kkkkkkkkxT xT
25、xT xTxT xx xTxT xTR所以对任意xR，0f xf xC，为常数，证毕。（3）充分性：充分性：若 f x是常值函数，记 1f xc，设 g x的一个周期为gT，则 1h xc g x，则对任意0 xR，010100ggh xTcg xTcg xh x，故 h x是周期函数成立。必要性：必要性：若 h x是周期函数，记其一个周期为hT。集合|Ax g xm任取0 xA，则必存在2NN，使得020hgxN TxT，即00020,ghxTxxN T x，0000000000.3,22,2.ggggggggxTxTxTxTxTxxxTxTxTR 02020200020202.2,2.hhhhhhxN T xN TxN T xx xN TxN T xN TR000020202=hhhh xg xf xh xN Tg xN Tf xN T因为0020hg xMg xN T，0020hf xf xN T，因此若002hh xh xN T必有002hg xMg xN T，且002=hf xf xN Tc，而由第（2）问证明可知对任意xR，0f xf xC，为常数。必要性证毕。