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1、学习必备 欢迎下载 专题二：空间距离 一、基础梳理（1）点到平面的距离（简称“点面距”）：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。（2）直线到平面的距离（简称“线面距”）：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。（3）两个平行平面间的距离（简称“面面距”）：两个平行平面间的公垂线段的长度。（4）两条异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度。（5）线段AB与平面相交于M点，且M是AB的中点，则,A B到平面的距离相等。（也可推广到成比例的情形）（此性质常用于转化求点面距）几个距
2、离的转化：线线距离（异面直线）线(或面）面距离 点面距离 点点距离二、能力巩固 考点一：点到直线的距离 求点到直线距离的方法：利用三垂线定理作出点到直线的垂线，进而解三角形。借助于三角形面积公式（即面积法）解方程求解。例 1 在060二面角a 内有一点P，P到、的距离分别为 3 和 5，求P到a的距离。发散：点P到060的二面角a 的两个面、的距离分别为 3 和 5，求P到a的距离。变式训练 1：（1）已知直二面角,l A B A B、两点均不在直线l上，又直线AB与l成030角，且线段8 AB，求线段AB的中点M到l的距离。学习必备 欢迎下载（2）如图所示，在正三棱柱1 1 1ABC A B
3、 C 中，1 AB。若二面角1C AB C 的大小为060，则点1C到直线AB 的距离为 _。考点二：点到平面的距离 求点到平面的距离的方法：（1）一般解法：找出或作出过点P且与平面垂直的平面，利用面面垂直的性质作出过点P且与平面垂直的直线，进而解三角形求解。（2）体积法：利用三棱锥体积相等，通过解方程求距离。（3）转化法：当过点P难以作平面的垂线时，可利用线面平行或面面平行或线段的比例关系，转移到另一点上去求。例 2.（07 辽宁）如图，在直三棱柱1 1 1ABC A B C 中，090 ACB，AC BC a，D E，分别为棱AB BC，的 中点，M为棱1AA上的点，二面角M DE A 为
4、030。（I）证明：1 1 1A B C D；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离。变式训练 2：正方体1 1 1 1ABCD A B C D 中，E、F分别为1BB、CD的中点，设棱长为 2。（1）求证：平面AED 平面1 1A FD；（2）求1D到面1A EF的距离。变式训练 3：A B C 1A1B1CABCDA1B1C1EM1A 1B 1C F ABCD1A1B1C1DE F 和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离直线到平面的距离简称线面距一条直线和一个平面平行这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离两个平行平面间的距离简称面面距两个平行平面间的公垂线段的长度
5、 是的中点则到平面的距离相等也可推广到成比例的情形此性质常用于转化求点面距几个距离的转化线线距离异面直线线或面面距离点面距离点点距离二能力巩固考点一点到直线的距离求点到直线距离的方法利用三垂线定理作出点到 的距离发散点到的二面角的两个面的距离分别为和求到的距离变式训练两点均不在直线上又直线与成已直二面角角且线段求线段的中点到的距离学习必备欢迎下载如图所示在正三棱柱的大小为则点若二面角的距离为中到直线考点二学习必备 欢迎下载（1）（08 江西九所重点中学高三联合考试）如图所示，在直三棱柱1 1 1ABC A B C 中，2,BA BC 0 BA BC，异面直线1A B与AC成060的角，点O E
6、，分别是棱AC和1BB的中点，点F是棱 1 1B C上的动点。证明：1A E OF；求点E到面1ABC的距离；求二面角1 1 1B AC C 的大小。（2）平面、两两垂直，点 A，A到、距离都是 1，P 是上动点，P 到的距离是到 A点距离的 2 倍，则 P 点轨迹上的点到距离的最小值是。考点三：异面直线间的距离 求异面直线间的距离的方法：（1）公垂线段法 找出异面直线间的公垂线段，然后计算其长度；（2）转化法 利用异面直线距离、线面距、面面距、点面距的关系将异面直线间的距离转化为点面距，然后利用点面距的求法或体积法解决。例 3如图所示，在三棱柱1 1 1ABC A B C 中，A B 1A1
7、B和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离直线到平面的距离简称线面距一条直线和一个平面平行这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离两个平行平面间的距离简称面面距两个平行平面间的公垂线段的长度 是的中点则到平面的距离相等也可推广到成比例的情形此性质常用于转化求点面距几个距离的转化线线距离异面直线线或面面距离点面距离点点距离二能力巩固考点一点到直线的距离求点到直线距离的方法利用三垂线定理作出点到 的距离发散点到的二面角的两个面的距离分别为和求到的距离变式训练两点均不在直线上又直线与成已直二面角角且线段求线段的中点到的距离学习必备欢迎下载如图所示在正三棱柱的大小为则点若二面角的距离为中
8、到直线考点二学习必备 欢迎下载 1 1AB BB C C 侧面，E为棱1C C上异于 1C C、的一点。1EA EB，已知2,AB 1 12,1,3BB BC BCC，求：异面直 线AB与1EB的距离。变式训练 3：（07 重庆）如图所示，在直三棱柱1 1 1ABC A B C 中，12 AA，1 AB，90 ABC；点D E，分别在1BB，1AD上，且1 1B E A D，四棱锥1C ABDA 与直三棱柱的体积之比为3:5。（）求异面直线DE与1 1B C的距离；（）若2 BC，求二面角1 1 1A DC B 的平面角的正切值。例 4正方体1 1 1 1ABCD A B C D 中，棱长为a
9、。A B C D E 1B 1C 1A 1A 1B 1C 1D F 和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离直线到平面的距离简称线面距一条直线和一个平面平行这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离两个平行平面间的距离简称面面距两个平行平面间的公垂线段的长度 是的中点则到平面的距离相等也可推广到成比例的情形此性质常用于转化求点面距几个距离的转化线线距离异面直线线或面面距离点面距离点点距离二能力巩固考点一点到直线的距离求点到直线距离的方法利用三垂线定理作出点到 的距离发散点到的二面角的两个面的距离分别为和求到的距离变式训练两点均不在直线上又直线与成已直二面角角且线段求线段的中点到的距
10、离学习必备欢迎下载如图所示在正三棱柱的大小为则点若二面角的距离为中到直线考点二学习必备 欢迎下载（1）求1B C与BD的距离；（2）设M为AB的中点，求1BC与1AM的距离；（3）设,M E F分别为棱1 1,AB AA CC的中点，求ME与BF的距离。课后作业：1.（1）已知平面平面,直线l,点P l,平面、间的距离为 8，则在内到点P的距离为 10 且到直线l的距离为 9 的点的轨迹是（）A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点（2）在平面几何中有如下结论：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为 定值，类比上述性质，请叙述在立体几何中的相应结论（任选其一）：。（3）
11、正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 M在 AB上，且 AM=31AB，点 P 在平面 ABCD 上，且动 点 P 到直线 A1D1的距离的平方与 P 到点 M的距离的平方差为 1，以AB所在直线为x轴、AD所 在直线为y轴建立平面直角坐标系 xAy，动点 P 的轨迹方程是。（4）已知直线a与平面所成的角为030，P为空间一定点，过P作与a、所成的角都是045的直线l，则这样的直线l可作（）条 A 2 B 3 C 4 D 无数（5）平面的斜线AB交于点B，斜线AB与平面成 030角，过定点A的动直线l与斜线 AB成 060的角，且交于点C，则动点C的轨迹是。2.如图，某建筑物的基
12、本单元可近似地按以下方法构 作：先在地平面内作菱形 ABCD，边长为 1，BAD 60，再在的上方，分别以ABD与CBD为底 面安装上相同的正棱锥 P-ABD 与 Q-CBD，APB 90。（）求证：PQ BD；（）求二面角 P-BD-Q 的余弦值；（）求点 P 到平面 QBD 的距离。3下面的一组图形为四棱锥S ABCD 的侧面与底面。（1）请画出四棱锥S ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出 a a 2a 2 a a a a a a a a a 和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离直线到平面的距离简称线面距一条直线和一个平面平行这条直线上任意一点到平面的距离
13、叫做这条直线和平面的距离两个平行平面间的距离简称面面距两个平行平面间的公垂线段的长度 是的中点则到平面的距离相等也可推广到成比例的情形此性质常用于转化求点面距几个距离的转化线线距离异面直线线或面面距离点面距离点点距离二能力巩固考点一点到直线的距离求点到直线距离的方法利用三垂线定理作出点到 的距离发散点到的二面角的两个面的距离分别为和求到的距离变式训练两点均不在直线上又直线与成已直二面角角且线段求线段的中点到的距离学习必备欢迎下载如图所示在正三棱柱的大小为则点若二面角的距离为中到直线考点二学习必备 欢迎下载 证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA ABCD 面，E为AB中点，求二面角E SC
14、 D 的大小；（3）求点D到面SEC的距离。4（08 福建）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 底面 ABCD，侧棱 PA=PD 2，底面 ABCD为直角梯形，其中 BC AD，AB AD，AD=2AB=2BC=2，O为 AD中点。（）求证：PO 平面 ABCD；（）求异面直线 PB与 CD所成角的大小；（）线段 AD上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由。5（1）矩形ABCD中，,()AB a AD b a b，沿对 角线AC将矩形折起，使AD BC，求异面直线AD与 BC的距离；（2）如图，已知P为矩形ABCD所在平面
15、外一点，,PA BC PB CD，PA与CD所成角为060，PD与BC所成角为030，PA a。求直线PA与CD间的距离；求直线PB与AD间的距离。6（08 重庆）如图所示，在ABC 中，90 B，152AC，D E，两点分别在AB AC，上，使2AD AEDB EC，3 DE。现将ABC 沿DE折成 直二面角，求：（）异面直线 AD与 BC的距离；（）二面角A EC B 的大小（用反三角函数表示）。课后作业参考答案：1.（1）C 提示：如图，设点 P 在平面 上的射影是 O，则 OP是 平面、的公垂线段，OP=8.在 内，到点 P 的距离等于 10 的点 到点 O的距离等于 6，故点的集合是
16、以 O为圆心，以 6 为半径的圆.在 内，到直线 l 的距离等于 9 的点的集合是两条平行直线 m、n,它们到点 O的距离都等于 17 8 92 2 6,所以直线 m、n 与这个 圆均相交，共有四个交点，因此所求的点的轨迹是四个点，故应 C.PABCD A B C E D A B C D E A B C O D P 和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离直线到平面的距离简称线面距一条直线和一个平面平行这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离两个平行平面间的距离简称面面距两个平行平面间的公垂线段的长度 是的中点则到平面的距离相等也可推广到成比例的情形此性质常用于转化求点面距几个距
17、离的转化线线距离异面直线线或面面距离点面距离点点距离二能力巩固考点一点到直线的距离求点到直线距离的方法利用三垂线定理作出点到 的距离发散点到的二面角的两个面的距离分别为和求到的距离变式训练两点均不在直线上又直线与成已直二面角角且线段求线段的中点到的距离学习必备欢迎下载如图所示在正三棱柱的大小为则点若二面角的距离为中到直线考点二学习必备 欢迎下载（2）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面距离之比为定值。（3）91322 x y 提示：过 P 点作 PQ AD于 Q，再过 Q作 QH A1D1于 H，连 PH，利用三垂 线定理可证 PH A1D1，设 P（x，y），|PH|2-|
18、PH|2=1，x2+1-（x13）2+y2=1，化简得 91322 x y。（4）A（5）双曲线 2.解：（）由 P-ABD，Q-CBD 是相同正三棱锥，可知 PBD与 QBD 是全等等腰 取 BD中点 E，连结 PE、QE，则 BD PE，BD QE 故 BD 平面 PQE，从而 BD PQ（）由（1）知 PEQ是二面角 P-BD-Q 的平面角，作 PM 平面，垂足为 M，作 QN 平面，垂足为 N，则 PM QN，M、N分别是正 ABD 与正 BCD 的中心，从而点 A、M、E、N、C 共线，PM与 QN确定平面 PACQ，且 PMNQ 为矩形，可得 ME NE 63，PE QE 21，P
19、Q MN 33，cos PEQ 3122 2 2 QE PEPQ QE PE，即二面角为31arccos（）由（1）知 BD 平面 PEQ 设点 P 到平面 QBD 的距离为 h，则h h S VQ B D Q B D P12131 362)31(1241sin241312 PEQ BD S VPED QBD P362121 h，32 h 3解：（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图），证明：,AD SA AB SA 且,AB AD是面ABCD 内的交线，SA底面 ABCD。（2）分别取 SC、SD的中点 G、F，连 GE、GF、FA，则 GF/EA,GF=EA,AF/EG 而由 SA面 ABCD
20、 得 SACD，又 ADCD，CD面 SAD，AF CD 又 SA=AD,F是中 点，SD AF AF面 SCD,EG面 SCD,SEC 面面 SCD所以二面角 E-SC-D 的大小为 90。(3)作 DHSC 于 H，面 SEC面 SCD,DH面 SEC,DH之长即为点 D 到面 SEC的距离，在 RtSCD中，aaa aSCDC SDDH3632，点 D 到面 SEC的距离为a36。4解：（）证明：在 PAD中 PA=PD，O 为 AD中点，所以 PO AD，又侧面 PAD 底面 ABCD，平面PAD平面 ABCD=AD，PO 平面 PAD，所以 PO 平面 ABCD（）连结 BO，在直角
21、梯形 ABCD 中，BC AD，AD=2AB=2BC，有 OD BC且 OD=BC，所以四边形 OBCD 是平行四边形，所以 OB DC 由（）知，PO OB，PBO为锐角，所以 PBO是异面直线 PB 与 CD所成的角因为 AD=2AB=2BC=2，在 Rt AOB 中，AB=1，AO=1，所以 OB 2，在 Rt POA中，因为 AP 2，AO 1，所以 OP 1，A B C O D P Q S A B C D E F G H 和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离直线到平面的距离简称线面距一条直线和一个平面平行这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离两个平行平面间的距离简
22、称面面距两个平行平面间的公垂线段的长度 是的中点则到平面的距离相等也可推广到成比例的情形此性质常用于转化求点面距几个距离的转化线线距离异面直线线或面面距离点面距离点点距离二能力巩固考点一点到直线的距离求点到直线距离的方法利用三垂线定理作出点到 的距离发散点到的二面角的两个面的距离分别为和求到的距离变式训练两点均不在直线上又直线与成已直二面角角且线段求线段的中点到的距离学习必备欢迎下载如图所示在正三棱柱的大小为则点若二面角的距离为中到直线考点二学习必备 欢迎下载 在 Rt PBO中，tan PBO 1 2 2arctan2 22PGPBOBO，所以异面直线 PB与 CD所成的角是2arctan2
23、（）假设存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为32设 QD x，则12DQCS x，由（）得 CD=OB=2，在 Rt POC中，2 22 PC OC OP，所以 PC=CD=DP，23 3(2)4 2PCDS，由P DQC Q PCDV V，得1 1 1 3 313 2 3 2 2x，解得322x，所以存在点 Q满足题意，此时13AQQD 5（1）2 2a b；（2）3a，2a。6解：（）在答图 1 中，因AD AEDB EC，故DE BC 又因90 B，从而AD DE 在答图 2 中，因A DE B 是直二面角，AD DE，故AD 底面DBCE，从而AD DB，而DB BC，故 DB为异
24、面直线AD与BC的公垂线 下求DB之长在答图 1 中，由2AD AEDB EC，得23DE ADBC AB 又已知3 DE，从而3 92 2BC DE 2 22 215 962 2AB AC BC 因13DBAB，故2 DB（）在答图 2 中，过D作DF CE，交CE的延长线于F，连接AF由（）知，AD 底面DBCE，由三垂线定理知AF FC，故AFD 为二面角A EC B 的平面角 在底面DBCF中，DEF BCE 2 DB，13EC 15 52 2，因此4sin5DBBCEEC，从而在Rt DFE 中，3 DE，4 12sin sin 35 5DF DE DEF DE BCE 在Rt AF
25、D 中，4 AD，5tan3ADAFDDF 因此所求二面角A EC B 的大小为5arctan3 A B C D E 答图 2 F A B C E D 答图 1 和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离直线到平面的距离简称线面距一条直线和一个平面平行这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离两个平行平面间的距离简称面面距两个平行平面间的公垂线段的长度 是的中点则到平面的距离相等也可推广到成比例的情形此性质常用于转化求点面距几个距离的转化线线距离异面直线线或面面距离点面距离点点距离二能力巩固考点一点到直线的距离求点到直线距离的方法利用三垂线定理作出点到 的距离发散点到的二面角的两个面的距离分别为和求到的距离变式训练两点均不在直线上又直线与成已直二面角角且线段求线段的中点到的距离学习必备欢迎下载如图所示在正三棱柱的大小为则点若二面角的距离为中到直线考点二