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1、-.-.word.zl.第三章 线性方程组 1 消元法 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,(1)的 方 程 组，其 中nxxx,21代 表n个 未 知 量，s是 方 程 的 个 数，),2,1;,2,1(njsiaij称为线性方程组的系数，),2,1(sjbj称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数ija的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是jx的系数.所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数nkkk,21组
2、成的有序数组),(21nkkk，当nxxx,21分别用nkkk,21代入后，(1)中每个等式都变成恒等式.方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有一样的解集合，它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就根本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 ssnssnnbaaabaaabaaa21222221111211 (2)来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加
3、减-.-.word.zl.消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例如，解方程组.522,4524,132321321321xxxxxxxxx 第二个方程组减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变成.42,24,1323232321xxxxxxx 第二个方程减去第三个方程的 2 倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得.6,42,132332321xxxxxx 这样，就容易求出方程组的解为9，-1，-6.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进展变换，而所用的变换也只是由
4、以下三种根本的变换所构成：1.用一非零数乘某一方程；2.把一个方程的倍数加到另一个方程；3.互换两个方程的位置.定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换.二、线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的
5、显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.对于方程组(1)，首先检查1x的系数.如果1x的系数12111,saaa全为零，那么方程组(1)对1x没有任何限制，1x就可以取任何值，而方程组(1)可以看作nxx,2的方程组来解.如果1x的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可以设01
6、1a.利用初等变换 2，分别把第一个方程的111aai倍加到第i个方程(ni,2).于是方程组(1)就变成,222222211212111snsnsnnnnbxaxabxaxabxaxaxa (3)其中 njsiaaaaajiijij,2,2,1111 这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 nnsnsnnbxaxabxaxa2222222,(4)的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出1x的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4
7、)有解.对(4)再按上面的考虑进展变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式
8、解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.00,00,0,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc (5)其中ricii,2,1,0.方程组(5)中的“0=0这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.现在考虑(5)的解的情况.如(5)中有方程10rd，而01rd.这时不管nxxx,21取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.当1rd是零或
9、(5)中根本没有“0=0的方程时，分两种情况：1nr.这时阶梯形方程组为,2222211212111nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc (6)其中nicii,2,1,0.由最后一个方程开场，11,xxxnn的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.例 1 解线性方程组.522,4524,132321321321xxxxxxxxx 2nr.这时阶梯形方程组为 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个
10、数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.,11,2211,222221111,11212111rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc 其中
11、ricii,2,1,0.把它改写成.,11,211,222222111,111212111nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc (7)由此可见，任给nrxx,1一组值，就唯一地定出rxxx,21的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把rxxx,21通过nrxx,1表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而nrxx,1称为一组自由未知量.例 2 解线性方程组.142,4524,132321321321xxxxxxxxx 从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组
12、中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否那么有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.定理 1 在齐次线性方程组 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指
13、标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 中，如果ns
14、，那么它必有非零解.矩阵 ssnssnnbaaabaaabaaa21222221111211 (10)称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进展，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.例 3 解线性方程组.042,4524,132321321321xxxxxxxxx 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的
15、系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.2 n维向量空间 定义 2 所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组),(21naaa (1)ia称为向量(
16、1)的分量.用小写希腊字母,来代表向量.定义 3 如果n维向量),(,),(2121nnbbbaaa 的对应分量都相等，即),2,1(nibaii.就称这两个向量是相等的，记作.n维向量之间的根本关系是用向量的加法和数量乘法表达的.定义 4 向量),(2211nnbababa 称为向量),(,),(2121nnbbbaaa 的和，记为 由定义立即推出：交换律：.(2)结合律：)()(.(3)定义 5 分量全为零的向量 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解
17、就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.)0,0,0(称为零向量，记为 0;向量),(21naaa称为向量),(21naaa的负向量，记为.显然对于所有的，都有 0.(4)0)(.(5)(
18、2)(5)是向量加法的四条根本运算规律.定义 6)(定义 7 设k为数域P中的数，向量),(21nkakaka 称为向量),(21naaa与数k的数量乘积，记为k 由定义立即推出：kkk)(,(6)lklk)(,(7)()(kllk,(8)1.(9)(6)(9)是关于数量乘法的四条根本运算规那么.由(6)(9)或由定义不难推出：00,(10)1(,(11)00 k.(12)如果0,0k，那么 0k.(13)程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数
19、组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.定义 8 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间.在3n时，3 维实向量空间可以认为就是几
20、何空间中全体向量所成的空间.以上已把数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数构造，即数域P上n维向量空间.向量通常是写成一行：),(21naaa.有时也可以写成一列：naaa21.为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.3 线性相关性 一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的构造至关重要。一、线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数k使 k.定义 9 向量称为向量组s,21的一个线性组合，如果有数域P中的数skkk,21，使 程组其中代表个
21、未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.
22、word.zl.sskkk2211,其中skkk,21叫做这个线性组合的系数.例如，任一个n维向量),(21naaa都是向量组 )1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(21n 1 的一个线性组合.向量n,21称为n维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合.当向量是向量组s,21的一个线性组合时，也说可以经向量组s,21线性表出.定义 10 如果向量组t,21中每一个向量),2,1(tii都可以经向量组s,21线性表出，那么向量组t,21就称为可以经向量组s,21线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组t,21
23、可以经向量组s,21线性表出，向量组s,21可以经向量组p,21线性表出，那么向量组t,21可以经向量组线性表出.向量组之间等价具有以下性质：1反身性：每一个向量组都与它自身等价.2对称性：如果向量组s,21与t,21等价，那么向量组t,21与s,21等价.3传递性：如果向量组s,21与t,21等价，t,21与p,21等价，那么向量组s,21与p,21等价.程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有
24、一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.定义 11 如果向量组s,21)2(s中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组s,21线性相关.从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组21,线性相关就表示21k或者12k
25、(这两个式子不一定能同时成立).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量1与2共线.三个向量321,线性相关的几何意义就是它们共面.定义 11向量组s,21)1(s称为线性相关的，如果有数域P中不全为零的数skkk,21，使 02211sskkk 这两个定义在2s的时候是一致的.定义 12 一向量组s,21)1(s不线性相关，即没有不全为零的数skkk,21，使 02211sskkk 就称为线性无关；或者说，一向量组s,21称为线性无关，如果由 02211sskkk 可以推出 021skkk 由定义有，如果一向量组的一局部线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它
26、的任何一个非空的局部组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.定义 11包含了由一个向量组构成的向量组的情形.单独一个零向量线性程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去
27、加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.相关，单独一个非零向量线性无关.不难看出，由n维单位向量n,21组成的向量组是线性无关的.具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组 siaaainiii,2,1),(21 (2)是否线性相关，根据定义 11，就是看方程 02211ssxxx (3)有无非零解.(3)式按分量写出来就是.0,0,0221122221121221
28、111ssnnnssssxaxaxaxaxaxaxaxaxa (4)因之，向量组s,21线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解.例 1 判断3P的向量)9,7,1(),0,1,2(),3,2,1(321 是否线性相关。例 2 在向量空间xP里，对于任意非负整数n nxxx,12 线性无关.例 3 假设向量组321,线性无关，那么向量组13322134,5,2也线性无关.从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的1n维的向量组 siaaaaniiniii,2,1,),(1,21 (5)程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量
29、的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.也线性无关.定理 2 设r,21与s,21是两
30、个向量组.如果 1向量组r,21可以经s,21线性表出，2 sr，那么向量组r,21必线性相关.推论 1 如果向量组r,21可以经向量组s,21线性表出，且r,21线性无关，那么sr.推论 2 任意1n个n维向量必线性相关.推论 3 两个线性无关的等价的向量组，必含有一样个数的向量.定理 2 的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果2s，那么可以由向量21,线性表出的向量当然都在21,所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当2r时，这些向量线性相关.两个向量组21,与21,等价，就意味着它们在同一平面上.二、极大线性无关组 定义 13 一向量组的一个局部组称为一个极大线性无关组，如果
31、这个局部组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的局部向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一个根本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.例 4 看3P的向量组)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性
32、方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.在这里21,线性无关，而213，所以21,是一个极大线性无关组.另一方面，31,，32,也都是向量组321,的极大线性无关组.由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无
33、关组都是等价的.定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有一样个数的向量.定理 3 说明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有 定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数一样.每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有一样的秩.含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的局部向量都能扩大成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩
34、为零.现在把上面的概念与方程组的解的关系进展联系，给定一个方程组)(,)(,)(,2211222222121111212111ssnsnssnnnnAdxaxaxaAdxaxaxaAdxaxaxa 各个方程所对应的向量分别是,),(),(22222121112111daaadaaann),(21ssnsssdaaa.设有另一个方程 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解
35、的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.)(,2211Bdxbxbxbnn它对应的向量为),(21dbbbn.那么是s,21的线性组合，sslll2211当且仅当)()()()(2211ssAlAlAlB，即方程(B)是方程)(,),(),(21sAAA 的线性组合.容易验证
36、，方程组)(,),(),(21sAAA的解一定满足(B).进一步设方程组)(,)(,)(,2211222222121111212111rrnrnrrnnnnBcxbxbxbBcxbxbxbBcxbxbxb 它的方程所对应的向量为r,21.假设r,21可经s,21线性表出，那么方程组)(,),(),(21sAAA的解是方程组)(,),(),(21rBBB的解.再进一步，当s,21与r,21等价时，两个方程组同解.例 5 1设321,线性无关，证明321211,也线性无关；对n个线性无关向量组n,21，以上命题是否成立？2当321,线性无关，证明133221,也线性无关，当n,21线性无关时，11
37、3221,nnn是否也线性无关？例 6 设在向量组n,21中，01且每个i都不能表成它的前1i个向量121,i的线性组合，证明n,21线性无关.程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个
38、方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.4 矩阵的秩 一、矩阵的秩 如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.例如，矩阵 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所
39、谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.0000500041201311A 的行向量组是)0,0,0,0(,)5,0,0,0(,)4,1,2,0(,)1,3,1,1(432
40、1 它的秩是 3.它的列向量组是)0,5,4,1(,)0,0,1,3(,)0,0,2,1(,)0,0,0,1(4321 它的秩也是 3.矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的.引理 如果齐次线性方程组 0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 1 的系数矩阵 snssnnaaaaaaaaaA212222111211 的行秩nr，那么它有非零解.定理 4 矩阵的行秩与列秩相等.因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.二、矩阵的秩与行列式的联系 定理 5 nn矩阵 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未
41、知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.nnnnnnaaaaaaaaaA21222
42、2111211 的行列式为零的充要条件是A的秩小于n.推论 齐次线性方程组 0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 有非零解的充要条件是它的系数矩阵 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 的行列式等于零.定义 16 在一个ns矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的2k个元素按原来的次序所组成的k级行列式，称为A的一个k级子式.在定义中，当然有),min(nsk，这里),min(ns表示ns,中较小的一个.定理 6 一矩阵的秩是r的充要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有1r级子式全为零.
43、从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两局部，一局部是，矩阵A的秩r的充要条件为有一个r级子式不为零；另一局部是，矩阵的秩r的充要条件为的所有1r级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为r的矩阵中，不为零的r级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组.三、矩阵的秩的计算 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如
44、果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.在前面，作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形.实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法.首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有一样的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换
45、也不改变矩阵的秩.其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.例 利用初等变换求下面矩阵的秩：161154113943110732175211A.程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出
46、它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.5 线性方程组有解判别定理 设线性方程组为 snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,(1)引入向量 ssnnnnssbb
47、baaaaaaaaa2121222122121111,.(2)于是线性方程组(1)可以改写成向量方程 nnxxx2211.(3)显然，线性方程组(1)有解的充要条件为向量可以表成向量组n,21的线性组合.用秩的概念，线性方程组(1)有解的条件可以表达如下：定理 7(线性方程组有解判别定理)线性方程组(1)有解的充要条件为它的系数矩阵 snssnnaaaaaaaaaA212222111211 与增广矩阵 程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成
48、的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减去第一个方程就变-.-.word.zl.ssnssnnbaaabaaabaaaA21222221111211 有一样的秩.应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的.用消元法解线性方程组(1)的第一步就
49、是用初等行变换把增广矩阵A化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：000000000000000001222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdcccc 或者 000000000000000000222221111211rrnrrnrnrdccdcccdcccc 其中0,2,1,01riidric.在前一种情形，原方程组无解，而在后一种情形方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性方程组(1)的系数矩阵A经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加 1 时，方
50、程组无解.程组其中代表个未知量是方程的个数称为线性方程组的系数称为常数项方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等系数的第一个指标表示它在第个方程第二个指标表示它是的系数所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数解或者说求出它的解集合如果两个方程组有一样的解集合它们就称为同解的显然如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项那么这个线性方程组就根本上确定了确切地说线性方程组可以用下面的矩阵来表示实际上有了之后除去加减消元法和代入消元法解二元三元线性方程组实际上这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如解方程组第二个方程组减去第一个方程的倍第三个方程减